Podívejme se na funkci dvěma způsoby:
Střípky změn $x$ a $y$ jsou nezávislé, pro takovou funkci je možné poskytnout porozumění soukromým informacím:
Soukromá funkce $f$ v bodě $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pro změnu $x$ -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \vpravo))(\Delta x)\]
Stejným způsobem můžete přiřadit soukromý poplatek za změnu $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \vpravo))(\Delta y)\]
Jinými slovy, abychom poznali privátní funkce některé změny, je nutné opravit rozhodnutí změny, zločin shukano, a pak budeme vědět, že zvichayna se postará o cenu změny. .
Zní to jako hlavní trik pro počítání takových mizerných: stačí vzít v úvahu, že se všechno mění, krym tsієї, є konstanta, po které rozlišujte funkci tak, abyste odlišili „singulární“ - od jednoho zminnoy. Například:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(zarovnat)$
Je zřejmé, že je normální dávat soukromé dovolené z různých změn. Proč je důležitější porozumět, proč, řekněme, v prvním nám bylo klidně naúčtováno $10y$ s-pid špatného znamení a ve druhém - ten první byl vynulován. Všechno je pojímáno prostřednictvím těch, že všechna písmena, krіm zminnoi, pro určitý druh rozlišení, jsou respektována konstantami: lze je obviňovat, poplivat atd.
Co je to „soukromá zábava“?
Dnes si povíme něco o funkcích pár přehazovaček a o soukromých dovolených v nich. Za prvé, jaká je funkce několika náhrad? Do jaké doby jsme volali, abychom zadali funkci jako $y\left(x \right)$ nebo $t\left(x \right)$, nebo v ní tuto jednu nebo tu samou funkci změnili. Teď v nás bude jen jedna funkce a dojde ke změně šprota. Pokud změníte $y$ a $x$, hodnota funkce se změní. Například pokud $x$ vzroste dvakrát, hodnota funkce se změní, pokud se $x$ změní, ale $y$ se nezmění, hodnota funkce se změní sama.
Bylo zřejmé, že funkci ve formě řady proměnných, stejně jako v jedné z proměnných, lze diferencovat. Nicméně, oskіlki zmіnnykh kіlka, pak je možné odlišit od různých zmіnnyh. Komu se vyčítají konkrétní pravidla, která jsou při odlišení jedné změny stejná.
Nejprve za všechno, pokud chceme ztratit své funkce, jsme-li nějak proměnliví, tak si můžeme sami za to, jakou změnu máme opustit – proto se tomu říká soukromý nepořádek. Například máme funkci dvou různých a můžeme opravit її jako $x$, takže $y$ jsou dvě soukromé, které jsou podobné vzhledu zminnyh.
Jiným způsobem, pokud jsme zafixovali jeden ze zminnykh a začneme po něm soukromě respektovat, pak vše ostatní, co vstoupí do funkce funkce, je respektováno konstantami. Například $z\left(xy \right)$, protože je důležité, abychom soukromě překročili $x$, a pak, mžourající, polojednoduše $y$, je důležité, abychom byli konstantní a aby se s námi zacházelo samo jako konstanta. Zokrema, při počítání špatných věcí můžeme vinit $y$ za okov (máme konstantu), ale při počítání špatných peněz, jako máme tady, je to jako virus pomstít $y$ a ne pomstít $x$, pak je dobré virazu dorivnyuvatime "nula" jako dobrá konstanta.
Na první pohled vám může uniknout, že vám o tom vyprávím složeným způsobem a spousta studentů se zatoulá po klasu. Mezi těmi soukromými není nic nadpřirozeného a my se měníme z pažby konkrétních úkolů.
Zodpovědný za radikály a bohaté členy
Manažer č. 1
Vzlykej, abychom nepromarnili hodinu, od samého klasu začneme s pořádnými zadky.
Pro začátek předpokládám následující vzorec:
Jedná se o standardní tabulkovou hodnotu, jak ji známe ze standardního průběhu.
Pro někoho je dobré používat $z$ takto:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Ještě jednou, střepy pod kořenem nestojí $x$, ale nějaký jiný viraz, v tomto případě $\frac(y)(x)$, pak zrychlíme standardní tabulkové hodnoty a pak střepy pod kořeny nestojí $x $, a další viraz, je nutné, abychom vynásobili naše náklady na jeden viraz za druhý viraz. Začněme šlapat na klas:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Obraťme se na naše virazu a zapišme si:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Vše je v principu. Je však špatné ponechat її v takovém pohledu: porazit takovou konstrukci pro ty vzdálené není šikovné, takže to udělejme v maličkosti:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vidpovid nalezen. Nyní se pojďme zabývat $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Vipishemo okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]
Nyní píšeme:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Všechno je rozbité.
Manažer č. 2
Tento zadek je zároveň jednodušší a skládací, nižší dopředu. Více složené, k tomu je zde více akce, ale jednodušší, k tomu zde není kořen, navíc funkce je symetrická k $x$ a $y$, tobto. Jak si pamatujeme $x$ a $y$ jako mise, nezdá se, že by se vzorec změnil. Tse respekt musel být odpuštěn za platbu soukromých výdajů, tobto. Stačí poškodit jeden z nich a v druhém si štětci vzpomenout na $x$ a $y$.
Pojďme k věci:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ vpravo ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))\]
Pojďme se vzrušit:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Prote se bohatě naučte takový záznam nevědomosti, zapíšeme si osu takto:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
V tomto ranku opět přecházíme na univerzálnost algoritmu soukromých příbuzných: oni se o ně nestarali, pokud jsou všechna pravidla správně nastavena, budete to vy sami.
Nyní se podívejme na další soukromý trik našeho skvělého vzorce:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Předpokládejme, že odebereme závislost na našem vzorci a odstraníme ji:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
$x$ je obnoveno. A abychom opravili $y$ ve stejném virazu, nevikonuvujme všechny stejnou posloupností kutilství, ale raději se symetrií našeho živého virazu - jen nahradíme v našem živém viraz všechny $y$ za $x$ a navpak :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Za rahunok symetrie chválili celý viraz bohatě shvidshe.
nuance třešeň
Pro ty soukromé se používají všechny standardní vzorce, což je nejlepší pro ty soukromé, ale to samé platí i pro ty soukromé. Tím však obviňují své vlastní specifické rysy: pokud soukromě respektujeme $x$, pak pokud vezmeme її za $x$, pak to považujeme za konstantu, a tomu її je podobné dražší „nule“ .
Stejně jako a zároveň s nejvýznamnějšími pokhіdnymi, soukromými (jeden a tentýž) můžete zkazit kіlkom různými způsoby. Například stejná konstrukce, která byla tak dobře oceněna, může být přepsána takto:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Najednou o těch, z druhé strany, můžete porazit vzorec v podobě náhodného součtu. Jak víme, jsou tu dražší sumy mrtvých. Napišme například toto:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Nyní, když vše víme, zkusme se zlepšit se serióznějšími způsoby použití, střípky správných soukromých triků nejsou obklopeny více než bohatými pojmy a kořeny: používá se tam trigonometrie, logaritmy a funkce zobrazení. Teď se dáme do práce.
Úloha s goniometrickými funkcemi a logaritmy
Manažer č. 1
Píšeme následující standardní vzorce:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Po zvládnutí těchto znalostí zkusme verš:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Kroměo napište jednu změnu:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Obraťte se na náš design:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Všichni víme o $x$, nyní se pustíme do výpočtu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
No, já vím, obávám se, že jedna viróza:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \vpravo)\]
Vraťme se na konec dne a uvidíme:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Všechno je rozbité.
Manažer č. 2
Zapišme si vzorec, který potřebujeme:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Teď se omlouvám za $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Nalezeno za $ x $. Důležité pro $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Úkol je u konce.
nuance třešeň
Později, protože funkce nebyly převzaty soukromě, jsou pravidla přepsána stejnými, bez ohledu na to, zda pracují s trigonometrií, s kořeny nebo s logaritmy.
Klasická pravidla práce jsou vždy nahrazena standardními a zároveň součtem maloobchodních, privátních a skládacích funkcí.
Zbytek vzorce se nejčastěji vysvětluje na konci dne, kdy schůzka skončí soukromými svátky. Mi zustrіchaєmosya s nimi prakticky skrіz. Ještě tu nebyl městský manažer, takže se tam nedostaneme. Pokud jsme se ale s vzorcem nepozastavili, máme ještě jednu výhodu a pro nás také zvláštnost práce se soukromými procházkami. Takže opravíme jednu změnu, čáry jsou konstanty. Zocrema, protože respektujeme soukromě ztracenou virázu $\cos \frac(x)(y)$ $y$, pak se změní samotné $y$ a $x$ se přepíše konstantou. Stejná praxe a navpaki. Її lze obviňovat ze špatného znamení, ale špatné, protože samotná konstanta je spíše „nula“.
Vše by mělo být dovedeno k tomu, že soukromé vypadá na jeden a tentýž viraz, ale z různých změn mohou vypadat jinak. Například žasnutí nad takovým virazi:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Úloha s demonstrativními funkcemi a logaritmy
Manažer č. 1
Zapišme si následující vzorec:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
S vědomím této skutečnosti, stejně jako skládacích funkcí, se můžeme pokusit vyděsit. Věřím ve dva různé způsoby najednou. První a nejzřetelnější je cena práce:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Podívejme se na tento vir:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot yx .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)(((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Vraťme se k našemu návrhu a pokračujte v jeho prohlížení:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\vpravo)\]
Všechno, $ x $ je pokryto.
Jak jsem však řekl, zároveň se budeme snažit chránit mé soukromí jiným způsobem. Pro koho s úctou:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Zapíšeme to takto:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Ve výsledku jsme si odnesli stejné množství peněz a prote byl účtován jako ten menší. Pro koho dokončit hromadné pamatujte, že když dokončíte show, můžete přidat.
Teď se omlouvám za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Pojďme si zazpívat jednu viraz okremo:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Prodáváme verzi našeho externího designu:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Došlo mi, že jsem mohl zabloudit i jinak, sám bych takhle vypadal.
Manažer č. 2
Do prdele za $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Zastavme jednu viraz okremo:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Prodávané řešení vnějšího designu: $$
Osa je tak jasná.
Ztraceno pro analogii k poznání podle $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right)))^(\prime ))_(y)=\]
Jeden viraz, to je v pořádku, jako zavzhdi okremo:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuєmo virіshennya hlavní designії:
Všechno je zakryté. Jako bachite, ladem, v závislosti na tom, jak se změna bere pro odlišení, vypadají absolutně odlišně.
nuance třešeň
Osa yaskry je příkladem toho, jak lze poškodit jednu a tutéž funkci dvěma různými způsoby. Osa se divit:
\[(((z)")_(x))=\left((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ vlevo(1+\frac(1)(y) \vpravo)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).(\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \vpravo)\ ]
Při výběru různých cest se může výpočet lišit, ale pokud je to pravda, je to v pořádku, vidíte to sami. Ceny jsou hodné klasických a soukromé těch pozdějších. Znovu budu hádat od koho: je to ladem, je to jako, jaká změna, vezmu si dobrý, je to. diferenciace, vіdpovіd může vyyti zovsіm raznoyu. Zázrak:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Nasamkinets pro upevnění veškerého materiálu, zkusme opravit dva nedopalky.
Úloha s goniometrickou funkcí a funkcí se třemi změnami
Manažer č. 1
Napišme tyto vzorce:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Pojďme nyní virishuvate náš viraz:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo porahuemo takový design:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Toto je zbytková částka soukromé změny $ x $. Teď se omlouvám za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo one viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Virishuemo až do konce našeho designu:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Manažer č. 2
Na první pohled jde tento zadek ohrnout, protože jsou zde tři změny. Ve skutečnosti je to jeden z nejjednodušších úkolů dnešní videoprohlídky.
Známý podle $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x(e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left((e)^(y) ) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Nyní se podívejme na $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ) ((e)^(z)) \vpravo))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+(e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Věděli jsme pravdu.
Teď je toho příliš znát $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Pochválili jsme třetí pokhidnu, na které se opět dotváří vidina dalšího úkolu.
nuance třešeň
Stejně jako bachita se v těchto dvou zadcích nic neskládá. Jediná věc, proč jsme to pokazili, je to, že funkce skládání často stagnují a padají, navíc je to soukromě vtipné, budeme se muset změnit podle situace.
Ve zbytku úkolu jsme byli požádáni, abychom vypracovali funkce tří různých. V tsomu není nic hrozného, prote naprikintsі mi se zkřížily cesty, ten smrad je jeden druh a je naprosto dráždivý.
Klíčové momenty
Zbývající poznámky z dnešní videolekce:
- Soukromé výdaje se berou v úvahu jako takové, jako by byly důležité, abychom zohlednili soukromé výdaje jednou změnou, která rozhoduje o všech změnách, které jsou v této funkci zahrnuty, bereme je jako konstanty.
- Pratsyyuyuchi s soukromými pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami standardní vzorce, yak і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu vytvořit і private і, zrozumіlo, pokhіdnu skládací funkce.
Je zřejmé, že zopakování jedné videolekce nestačí, abych mohl toto téma znovu rozšířit, takže na mém webu před tímto videem je hned sada úkolů věnovaných právě tomuto tématu dne - pojďte dál, zavantazhyte , vypishuyte tsі zavdannya іz vіryapovytes. Koneckonců nebudete mít žádné každodenní problémy ze soukromých, jako je spánek nebo samostatná práce. Je zřejmé, že to není zdaleka poslední lekce moderní matematiky, takže přejděte na náš web, přidejte VKontakte, přihlaste se k odběru YouTube, dejte lajky a sledujte nás!
Nechť funkci z - / (x, y) přiřadíme aktuální oblasti D v rovině xOy. Vezměme vnitřní bod (x, y) v oblasti D a dvojnásobné x zvětšíme Ax, tedy bod (x + Ax, y) 6D (obr. 9). Hodnota se nazývá soukromý nárůst funkce z vzhledem k x. Uložení reference Pro bod (x, y) je reference funkcí cíle. Pokud pro Ax -* 0 je rozšíření ^ k poslední hranici, pak se tato hranice nazývá soukromá funkce z = / (x, y) pro nezávislou změnu xy bod (x, y) a značí se symbolem jfc ( jinak / i (x, jj ) ), nebo z "x (x, ve stejné hodnosti, pro jmenovaného abo, který je stejný, Podobně, Yakshcho i je funkcí n nezávislých změn, pak si pamatujte, že se počítá Arz s konstantní hodnotou změny a ATZ - s konstantní hodnotou změny x, viznachennya Private pohіdnih mozhna sformulyuvati tak: Privatnі pohіdnі geometrické Sens Vlastní pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії kіlkoh zmіnnih Potrіbnі mozky diferentsіynostі funktsії dekіlkoh zmіnnih) nazivaєtsya zvichayna pohіdna tsієї funktsії z x, obchislena v pripuschennі scho y - postіyna;, y) nazivaєtsya її odpočitatelná pro y, vypočtená jako příspěvek, sho x - trvalá. i funkce r = /(x, y) y tsij body private podobně jako všechny argumenty nedokazují spojitost funkce y bodů. Funkce tedy není spojitá v bodě 0(0,0). V tomto okamžiku však může být přiřazena funkce soukromá. Důvodem je, že /(x, 0) = 0 і /(0, y) = 0 a že geometrický smysl soukromých podobných funkcí dvou měnících se funkcí nepřerušovaných v aktivní oblasti D a mohou tam mít soukromé prázdniny x a y. Je zřejmé, že geometrická změna podobných v bodě Mo(xo, yo) 6 D, jehož plocha z = f(x)y) označuje bod f(x0)yo)). Když je soukromý bod M0 významný, je důležité, že z je pouze funkcí argumentu x, zatímco argument y má konstantní hodnotu y = yo. Funkce fi(x) je geometricky znázorněna křivkou L, takže plocha S je překryta rovinou y = y o. Z geometrického smyslu podobné funkce jedné proměnné f \ (xo) = tg a, de a - řez, tečky dotichnoї k přímce L v bodě JV0 od přímky Ox (obr. 10). A tak, soukromě ($ |) více tečný úhel a střední šířka Oh a dotic v bodě N0 ke křivce, zkrácené v obvodu plochy z = / (x, y) rovinou y Podobně bereme §6. Diferenciace funkce mnoha proměnných Nechť funkci z = /(x, y) přiřadíme reálné vzdálenosti D v rovině xOy. Vezměme bod (x, y) € D a zvolíme hodnoty x a řekněme přírůstky Ah a Du, ale stále bod. Jmenování. Funkce r = /(x, y) se nazývá diferencovaný * bod (x, y) € 2E, což je dokonalý příklad funkce, která ukazuje nárůst Dx, D y (ale vzagalі lie v_d xiy), a a(Dx, Dy) і /? (Dx, Dy) na nulu, když se předpokládá, že Dx i Dy je nula. . Pokud je funkce z = /(x, y) derivována v bodě (x, y), pak část A Dx 4- VD k růstu funkce, lineární rychlosti Dx a Du, se nazývá horní diferenciál funkce v bodě (x, y) a značí se symbolem dz: Tanim rank, butt. Nechť r = x2 + y2. V bodě be-yakіy (g, y) a pro be-yak Dx і Du maєmo Here. Takže а і / 3 jdou na nulu, zatímco jdou na nulu Dх і Du. Je zřejmé, že funkce je diferencovaná v libovolném bodě v rovině xOy. S ohledem na to je úctyhodné, že v našich světech neexistují žádné formální inkluze tohoto typu, pokud je nárůst Dx, Du porézní, nebo vyvolávají zášť ve výši nula. Vzorec (1) může být zapsán kompaktněji, takže můžete zadat viraz (dejte mezi tečky (Koristing to, můžete napsat) Po označení viraz, co stát v závorkách, přes e, budeme moci to de z leží v J, Du a pravé nule, jako J 0 і Du 0 nebo kratší než p 0. Vzorec (1), který vyjadřuje diferenciální funkci mysli z = f(xt y) y bod (x, y), lze nyní zapsat na první pohled Takže z hlediska aplikace 6.1 je funkce r = /(x, y) derivována na desetinnou čárku, pak je spojitá na tsij bodu e, což potvrzuje přírůstky argumentů J a D, mohou být reprezentovány vizuálně (hodnoty L, B pro daný bod konstanty; následují hvězdy, což znamená, že v bodě (w, y) je funkce gb) , y) diferencováno v daném bodě, mo oko s.ieet v bodě qiy je soukromě podobné $§ i. Nechť je funkce z = / (x, y) derivována v bodě (x, y). růst Dx, Ay argumenty, můžete vidět (1). Vezmeme-li rovnost (1) Dx F 0, Dn = 0, odebereme hvězdy Takže jako pravá strana zbývající rovnosti hodnota A neleží ve vіd, Tse znamená, že v bodě (x, y) je to soukromá relativní funkce r \u003d / (x, y) podle x, navíc Změňme nejednoznačnost (x, je to vlastně soukromá podobná funkce zy, navíc z věty vyplývá Z, ale je to lepší, protože věta 5 potvrzuje existenci soukromého podobného pouze v bodech (x, y), ale o absenci nic neříká nic. y bodů, stejně jako o mém chování v blízkosti bodu (x, y) 6. 2 Dostatečně schopný znát funkki kіlkohh zmіnnynyi, shaho diferenciál ™ ™ yak vіdomo, potřeba dýchat і и и и и и и и и и и иніной иної ї і и отці отної ї иной отці отної ї инінної отні ї иннної ї і и отної ї стоці ї ї ї и отной стоцїїїїі a počet změn se projevuje útočnou větou Věta čl. x, y) diferencované v bodech (x- Podívejme se na funkci rivatnі diferenciály Pokhіdnі skládací funkce Vaughn je přiřazen všude ™ dané funkce v bodě 0(0,0) známe a inkrementace tsієї zaostřit 0 і Du 0. Pojďme D0. Podle stejného vzorce (1) můžeme vypočítat funkci / (x, y) \u003d nediferencovanou v bodě 0 (0, 0), ačkoli a mohou být v bodě ts_y robimo fa a f "r f "t oddělené body § 7. Nový diferenciál.Privátní diferenciály Protože funkce g - f (z> y) je derivována, pak її stylisticky diferenciální dz je pokročilejší diferenciální funkce na nezávislých změnách, když na jejich rozdíly aplikovala diferenciály: Následující vzorec jako příklad je použito totálního diferenciálu funkce Nechť i - 1l (x + y2). , více zbіlshennya Az funkcí z = / (š, y), vzagalі zdánlivé, ne dorіvn yuє součty soukromých přírůstků. Pokud je v bodě (i, y) derivována funkce = /(w, y) a diferenciál dz FD v bodě tsij, pak її celkový přírůstek se přičte k jeho lineární části pouze k součtu zbývajících sčítání aAx 4- /? i Ay - "O nekonečně malém z celkové objednávky, spodní sklad lineární části. Proto, když dz Ф 0, lineární část přírůstku diferencované funkce se nazývá hlavní část přírůstku funkce a je koralizována přibližným vzorcem, protože bude přesnější, čím menší bude v absolutní hodnotě nárůst argumentů. §8. Další skládací funkce 1. Nechť je funkce přiřazena v reálné ploše D v rovině xOy, navíc se skin změní w, na vlastní přímce, funkce argumentu t: Předpokládejme, že při změně t v intervalu mezi plochami D. Přičteme-li hodnotu k funkci z = / (w, y), pak vezmeme skládací funkci o jednu změnu t. M Ano t přírůstek Dt. 2 + (Dy)2 Ф 0 funkce z také odebere přírůstek Dg, protože díky diferenciaci funkce z = /(x, y) y bod (x, y) může být reprezentován ve vizuálním de a) ke změně nuly při nule Ax a Du. Výrazně і /3 at Axe \u003d Ay \u003d 0, poklavshi a Todі a (budou nepřerušované, když J \u003d Dy \u003d 0. Na rozdíl Maєmo In kožní doplněk ^ se můžeme podívat v pravé části (2 ) urážky spіvmultiplikátory mohou být mezi tím, kdy je to účinné, soukromě pokhіdnі і ^ pro danou є konstantní, z duševního důvodu mezi důvody pozdějších ^ i v bodě £ spojitost funkcí x = y(t) a y = k tomu na At 0 pro posunutí nulové pozice, pravá část rovnosti (2) na 0 maє mezi, rovná se Střední, існє na At 0 і mezi levou částí (2), i. vzorec Y okremu vpadku, pokud, pak , z є skládací funkce vіd w, otrimuєmo U vzorec (5) є soukromá pokhіdna funadііg \u003d / (w , y) podle w, při počítání, jak se y vyslovuje / (w, y) argument y je přijat A є pohіdna funkce z pro nezávislý zmіnnoy f, když se počítá jako yy viraz / (w, y) již není přijímán jako půst, ale je respektován svou vlastní funkcí vіd f: y \u003d tp (x) t, a proto úhor z vіd g je kryt pojištěním. zadek. Know і jg, yaksho 2. Nyní se podívejme na diferenciaci skládacích funkcí mnoha změn. Nechť je to ve vašem řádku tak přípustné, že v bodě (() je možné nerušeně soukromé ztráty, 3?" funkce z = z(() y) y bod t7) může být horší a u, і je známo, že být jiný k horšímu. S úctou, scho vіdok vіd vyvchennogo іstotno není vіdіznyаєєє. Při diferenciaci z podle £ přítele se totiž nezávislá změna rj považuje za postinu, načež se v průběhu této operace stanou funkcemi stejné změny w" = c), y = c), když vzorec (3) je zobrazen, vikoristovuyuchi vzorec (3) a formálně nahrazující v nіy pokhіdnі § і ^ na pokhіdnі і vіdpovіdno, otrimaєmo Analogicky známý zadek. Yakscho skládací funktsіya „daná formule tak scho pak, když vikonannі vіdpovіdnih mysli maєmo mají okremomu vipadku, je-li I = de Privatnі pohіdnі geometrický zmіst Private pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії dekіlkoh zmіnnih Neobhіdnі Minds diferentsіynostі funktsії Dostatnі Minds diferentsіynostі funktsіy dekіlkoh zmіnnih Povny diferentsіal Pohіdnі skladnoї funktsії možná zde t-povna. soukromá náhodná funkce i nezávislou změnou x, která je zcela nezávislá na i v x, včetně i až z = z (x, y), a ^ je soukromá derivace.
1°. Vypadok one nezalezhnaya zminnoy. Like z = f (x, y) je funkce, která derivuje, argumenty x a y, jako ve vlastním řádku - derivační funkce nezávislé změny t: , pak podobné skládací funkce 
lze vypočítat podle vzorce
zadek. Víš, yakscho, de.
Řešení. Pro vzorec (1) můžeme:
Zadek. Vědět soukromě, že se ztratím a znovu se ztratím, jako 
.
Řešení. .
Na základě vzorce (2) můžeme předpokládat 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Pojď z=F(X;y)- funkce dvou směn Xі y, dermální funkce t:x=X (t), y =y (t). Která má funkci z=F(X (t);y (t))є skládací funkce jedné nezávislé změny t; změna x a y - přechodné změny.
Teorém. Yakscho z == F(X; y) - bodově diferencované M(x; y)D ta funkce x =X (t)і v =y (t)- funkce, které jsou diferencovány nezávislou t, pak je to skládací funkce z(t) == F(X (t);y (t)) vypočítat podle vzorce
|
|
Kromě vipadok:z = F(X; y), de y = y(x), tobto. z= F(X;y (X)) - skládací funkce jedné nezávislé změny X. Tsej vpadok vede do čela, navíc v roli hada tšedá X. Vhodné pro vzorec (3) může:
.
Zbytek vzorce zvoní přesně stejné vzorce
Horký pád:z = F(X;y), de x =X (u;proti),y=y (u;proti). Todi z = F(X (u;proti);y (u;v)) - skládací funkce nezávislých změn іі proti.Її soukromé pokhіdnі může být známo, vikoristovuyuchi vzorec (3) útočné hodnosti. Po opravení proti, nahradit v nіy, vіdpovіdnymi soukromými
Tímto způsobem je funkce skládání (z) podobná změně nezávislé na kůži (іі proti) lepší součet prací soukromých podobných funkcí (z) pro přechodné změny (x a y) na svých cestách za velkým nezávislým větrným mlýnem (u a v).
Pro všechny názory, na které jsme se podívali, platí vzorec
(Síla invariance totálního diferenciálu).
zadek. Vědět a jak z = F(x, y), de x = uv,.
Řešení. Zastosovuyuchi vzorce (4) a (5), bereme:
zadek. Ukažte, že je funkce splněna 
.
Řešení. Funkce pro uložení vіd х і y prostřednictvím mezilehlého argumentu, tak
Odeslání soukromých výletů do levé části řeky, matimemo:
To znamená, že funkce z splňuje danou rovnici.
Pokhіdna v této přímce, která gradієnt funkce
1°. Pokhіdna působí na koho přímo. Pokhіdny funkce z= F(x, y) u koho přímo volala 
de i - hodnota funkce v bodech i . Protože funkce z je derivována, vzorec je pravdivý
de - kuti mizh přímo vpřed l a pomocí souřadnicových os. Pokhіdna u koho přímo charakterizuje rychlost změny funkce u koho přímo.
zadek. Znát přesnou funkci z = 2x 2 - Zu 2 v bodě P (1; 0) y rovně, pro nastavení výšky řezu OH 120°.
Řešení. Dejte nám vědět soukromé hodnoty funkce a hodnotu bodu P .
zadek. Víš, yakscho, de.
Řešení. Pro vzorec (1) můžeme:
zadek. Vědět soukromě, že se ztratím a znovu se ztratím, jako 
.
Řešení. .
Na základě vzorce (2) můžeme předpokládat 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Pojď z = f(x; y) - funkce dvou směn Xі y, funkce kůže
nezávislý důl t: x = x(t), y = y(t). Která má funkci z=f(x(t); y(t))є
skládací funkce jedné nezávislé změny t; změna x a y - přechodné změny.
Teorém. Yakscho z == F(X; y) - bodově diferencované M(x; y) D funkce
і x = x(t)і v =y(t) - funkce, které jsou diferencovány nezávislou t,
pak je to skládací funkce z(t) == F(x(t); y(t)) vypočítat podle vzorce
 | (3) |
Kromě vipadok: z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x; y(x)) - samotná skládací funkce
nezávislý důl X. Tsej vpadok vede do čela, navíc v roli hada
tšedá X. Vhodné pro vzorec (3) může:
.
Zbytek vzorce zvoní přesně stejné vzorce
Horký pád: = f(x;y), de x = x(u;v), y=y(u;v). Todi z = f(x(u;v); y(u;v)) - skládací
funkce nezávislých změn іі proti.Її soukromé výlety a můžete vědět
vikoristická formule (3) tímto způsobem. Po opravení proti, nahradit v niy,
Vidpovіdnimi soukromými
Tímto způsobem je funkce skládání (z) podobná změně nezávislé na kůži (іі proti)
více součet prací soukromých podobných funkcí (z) pro střed
změněno (x a y) na svých cestách za velkým nezávislým větrným mlýnem (u a v).
Pro všechny názory, na které jsme se podívali, platí vzorec
(Síla invariance totálního diferenciálu).
zadek. Vědět a jak z = F(x, y), kde x = uv, .
Soukromé dovolené zůstávají v čele funkcí malého počtu lidí. Pravidla významnosti jsou úplně stejná jako u funkcí jedné proměnné, jen s tím rozdílem, že jedna z proměnných stop je zohledněna v okamžiku derivace konstantou (konstantním číslem).
Vzorec
Soukromá data pro funkci dvou proměnných $ z (x, y) $ jsou zapsána v dalším pohledu $ z "_x, z"_ y $ a postupujte podle vzorců:
Soukromá dovolená první objednávka
$$ z"_x = \frac(\částečné z)(\částečné x) $$
$$ z"_y = \frac(\částečné z)(\částečné y) $$
Soukromé cesty v jiném pořadí
$$ z""_(xx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné y) $$
Zmishana je dobrá
$$ z""_(xy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné x) $$
Funkce skládání soukromého úložiště
a) Nechť $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, pak budou podobné skládací funkce následovat vzorec:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\částečné z)(\částečné y) \cdot \frac (dy) (dt) $$
b) Nechť $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, poté po vzorci zopakujte následující soukromé funkce:
$$ \frac(\částečné z)(\částečné u) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné u) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné u) $$
$$ \frac(\částečné z)(\částečné v) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné v) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné v) $$
Soukromé dovolené implicitně definované funkce
a) Nechť $ F(x,y(x)) = 0 $, pak $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
b) Nechť $ F (x, y, z) = 0 $, pak $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$
Aplikujte roztok
| zadek 1 |
| Najděte soukromé hodnoty prvního řádu $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
| Řešení |
|
Pro hodnotu soukromé proměnné v $ x $ použijeme $ y $ jako konstantní hodnotu (číslo): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Pro hodnotu soukromé funkce vzhledem k $ y $ je $ y $ významné konstantou: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Pokud si netroufáte porušit svůj úkol, vnuťte před nás jógu. Potřebujeme podrobnější řešení. Můžete se dozvědět o průběhu výpočtu a odnést si informace. Tse dopomozhe každou hodinu vzít halu z vikladach! |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| zadek 2 |
| Najděte soukromé podobné funkce v jiném pořadí $ z = e ^ (xy) $ |
| Řešení |
|
Přitom je nutné znát první krok a s jejich znalostí pak můžete znát kroky jiného řádu. Důležitá konstanta $ y $: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ano^(xy) $$ Položme nyní konstantní hodnotu $ x $: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Znát první pokhіdnі, podobně známe další. Instalujeme $ y $ trvale: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nastavit konstantu $ x $: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nyní jsem ztratil znalosti o zmіshanu pokhіdnu. Můžete diferencovat $ z"_x $ vzhledem k $ y $ nebo můžete diferencovat $ z"_y $ vzhledem k $ x $, podle věty $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| zadek 4 |
| Nechť $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ vložíme implicitní funkci $ F (x, y, z) = 0 $. Poznejte soukromé události prvního řádu. |
| Řešení |
|
Funkci zapíšeme ve formátu: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
