Pogledajmo funkciju na dva načina:
Dijelovi promjene $x$ i $y$ neovisni su, za takvu funkciju moguće je pružiti razumijevanje privatnih informacija:
Privatna funkcija $f$ u točki $M=\lijevo(((x)_(0));((y)_(0)) \desno)$ za promjenu $x$ -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]
Na isti način možete dodijeliti privatnu naknadu za promjenu od $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]
Drugim riječima, da bismo znali privatne funkcije neke promjene, potrebno je utvrditi odluku o promjeni, krím shukanoí̈, i tada ćemo znati zvichaynu pokhídna za cijenu promjene.
Zvuči kao glavni trik za prebrojavanje takvih loših: samo uzmite u obzir da se sve mijenja, krym tsíêí̈, ê konstanta, nakon čega razlikujete funkciju tako da razlikujete “jedninu” - od jedne zminnoy. Na primjer:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \desno))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prost ))_(y)+10x\cdot ((\lijevo(y \desno))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Očito je da je normalno davati privatne praznike iz različitih promjena. Zašto je važnije razumjeti, zašto nam je, recimo, u prvom mirno naplaćeno $10y$ s-pid lošeg znaka, a u drugom - prvi je nuliran. Sve je koncipirano kroz one da se sva slova, krím zminnoi, za neku vrstu diferencijacije, poštuju konstantama: mogu se kriviti, pljuvati itd.
Što je "privatna zabava"?
Danas ćemo govoriti o funkcijama nekoliko mjenjača i o privatnim praznicima u njima. Prije svega, koja je funkcija nekoliko zamjena? Do kada smo pozvali da unesemo funkciju poput $y\left(x \right)$ ili $t\left(x \right)$, ili pak promijenimo tu jednu ili istu funkciju u njoj. Sada će u nas biti samo jedna funkcija, a bit će promjena papaline. Ako promijenite $y$ i $x$, promijenit će se vrijednost funkcije. Na primjer, ako se $x$ dvaput poveća, vrijednost funkcije se mijenja, ako se promijeni $x$, ali se $y$ ne promijeni, vrijednost funkcije se mijenja sama.
Razumjelo se da se funkcija u obliku većeg broja varijabli, baš kao i u jednoj od varijabli, može diferencirati. Međutim, oskílki zmínnykh kílka, onda je moguće razlikovati od različitih zmínnyh. Kome se okrivljuju konkretna pravila, koja su ista kod razlikovanja jedne promjene.
Prvo za sve, ako želimo izgubiti funkcije, ako smo nekako promjenjivi, onda smo sami krivi, za kakvu promjenu trebamo otići - zato se to zove privatni nered. Na primjer, imamo funkciju od dvije različite, i možemo popraviti njen kao $x$, tako da su $y$ dvije privatne koje su slične skinu zminnyh.
Na drugi način, ako smo jednu od promjena popravili i nakon nje počnemo poštivati privatno, onda se sve ostalo što ulazi u funkciju poštuje konstantama. Na primjer, $z\left(xy \right)$, budući da nam je važno privatno hodati oko $x$, onda nam je, škiljeći, polujednostavno $y$, važno da budemo konstanta i da se sami tretiramo kao konstanta. Zokrema, kod brojanja loših stvari možemo okriviti $y$ za okove (imamo konstantu), ali kada računamo loš novac, kao što imamo ovdje, to je kao virus da osveti $y$ a ne osveti $x$, onda je dobro virazu dorivnyuvatime "nula" kao dobra konstanta.
Na prvi pogled može vam se izvući što vam o tome pričam presavijeno, a puno učenika zaluta na klipu. Među privatnima nema ničeg nadnaravnog, a mi se mijenjamo na temelju konkretnih zadataka.
Odgovoran za radikale i bogate članove
Upravitelj br.1
Jecaj da ne gubimo sat vremena, od samog klipa počet ćemo s ozbiljnim guzicima.
Za početak, pretpostavljam sljedeću formulu:
Ovo je standardna vrijednost tablice, kao što znamo iz standardnog tečaja.
Dobro je da netko koristi $z$ ovako:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\lijevo(\frac(y)(x) \desno))^(\prime ))_(x)\]
Ponovimo još jednom, krhotine ispod roota ne koštaju $x$, nego neki drugi vir, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, zatim ubrzavamo standardne tablične vrijednosti, a zatim, krhotine ispod korijeni ne koštaju $x $, a još jedan viraz, potrebno je da svoje troškove pomnožimo za još jedan viraz za drugi viraz. Počnimo gaziti na klip:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Okrenimo se našem virazu i zapišimo:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]
Sve je u principu. Međutim, pogrešno je ostaviti ju u takvom izgledu: nije zgodno pobijediti takvu konstrukciju za one daleke, pa učinimo to u sitnici:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vidpovid pronašao. Sada se pozabavimo $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Vipishemo okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]
Sada pišemo:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Sve je razbijeno.
Upravitelj br.2
Ova stražnjica je istovremeno jednostavnija i sklopiva, niže naprijed. Više sklopivi, na to ima više akcije ovdje, ali jednostavnije, na to ovdje nema korijena, štoviše, funkcija je simetrična na $x$ i $y$, tobto. Kako se sjećamo $x$ i $y$ kao misija, čini se da se formula ne mijenja. Tse poštovanje moralo se oprostiti za plaćanje privatnih troškova, tobto. Dovoljno je oštetiti jedan od njih, a u drugom se samo kistovima sjetite $x$ i $y$.
Idemo na stvar:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ) )_(x))(((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]
Uzbudimo se:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Prote bogato nauči takav zapis neznanja, os ćemo zapisati ovako:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\lijevo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
U ovom rangu još jednom prelazimo na univerzalnost algoritma privatnih rođaka: oni nisu marili za njih, ako su sva pravila ispravno postavljena, bit ćete sami.
Sada pogledajmo još jedan privatni trik naše sjajne formule:
\[((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=((\lijevo((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Pretpostavimo da oduzimamo ovisnost o našoj formuli i oduzimamo je:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x))(((\lijevo (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]
$x$ se vraća. A da bismo popravili $y$ u istom virazu, nemojmo vikonuvati sve iste sekvence diy-a, nego radije sa simetrijom našeg živopisnog viraza - samo zamijenimo u našem živopisnom virazu sve $y$ s $x$ i navpak :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( ( \lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]
Za rahunok simetrije, hvalili su cijeli viraz bogato shvidshe.
nijansa trešnja
Za privatne se koriste sve standardne formule, što je najbolje za privatne, ali isto vrijedi i za privatnu. Ovime, međutim, okrivljuju svoje vlastite specifičnosti: ako poštujemo $x$ privatno, onda ako uzmemo ê za $x$, onda to smatramo konstantom, a tome je ê slična skupljoj "nuli" .
Kao i u isto vrijeme s najznačajnijim pokhídnymi, privatnim (jednom te istom) možete pokvariti kílkom na različite načine. Na primjer, ista konstrukcija, koja je tako dobro pozdravljena, može se prepisati ovako:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Odmah o onima, s druge strane, možete pobijediti formulu u obliku slučajnog zbroja. Kao što znamo, skuplji su iznosi mrtvih. Na primjer, napišimo ovo:
\[((\lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Sada, znajući sve, pokušajmo se poboljšati ozbiljnijim korištenjem, krhotine pravih privatnih trikova nisu okružene samo bogatim pojmovima i korijenima: tu se koriste trigonometrija, logaritmi i funkcije prikaza. A sada se zaokupimo.
Zadatak s trigonometrijskim funkcijama i logaritmima
Upravitelj br.1
Pišemo sljedeće standardne formule:
\[((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Nakon što smo savladali ovo znanje, pokušajmo stihovati:
\[(((z)")_(x))=((\lijevo(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo napiši jednu promjenu:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Okrenite se našem dizajnu:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Svi znamo za $x$, a sada prijeđimo na izračunavanje $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\]
Pa znam, bojim se jedan viraz:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]
Okrenimo se kraju dana i nastavimo vidjeti:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Sve je razbijeno.
Upravitelj br.2
Zapišimo formulu koja nam je potrebna:
\[((\lijevo(\ln x \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Sad mi je žao za $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Pronađeno za $x$. Važno za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Zadatak je gotov.
nijansa trešnja
Kasnije, s obzirom na to da funkcije nisu preuzete privatno, pravila se prepisuju istim, bez obzira rade li s trigonometrijom, s korijenima ili s logaritmima.
Klasična pravila rada uvijek zamjenjuju standardna, a ujedno i zbroj maloprodajnih, privatnih i sklopivih funkcija.
Ostatak formule najčešće se objašnjava na kraju dana kada je sastanak gotov s privatnim praznicima. Mi zustríchaêmosya s njima praktički skríz. Gradskog menadžera još nije bilo, da ne izađemo. Ali ako se nismo mučili s formulom, ipak imamo još jednu korist, a za sebe posebnost rada s privatnim šetnjama. Dakle, popravljamo jednu promjenu, linije su konstante. Zocrema, pošto poštujemo privatno izgubljenu virazu $\cos \frac(x)(y)$ $y$, tada se sam $y$ mijenja, a $x$ se prepisuje konstantom. Ista praksa i navpaki. Može se kriviti za loš znak, ali loše jer je sama konstanta više kao "nula".
Sve treba dovesti do toga da privatni izgledi jednog te istog viraza, ali iz različitih promjena mogu izgledati drugačije. Na primjer, diveći se takvom viraziju:
\[((\lijevo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Zadatak s pokaznim funkcijama i logaritmima
Upravitelj br.1
Zapišimo sljedeću formulu:
\[((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Poznavajući ovu činjenicu, kao i sklopive funkcije, možemo pokušati uplašiti. Vjerujem na dva različita načina odjednom. Prvi i najočitiji je trošak rada:
\[(((z)")_(x))=((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
Pogledajmo ovaj viraz:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Okrenimo se našem dizajnu i nastavimo ga vidjeti:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\desno)\]
Sve, $x$ je pokriveno.
Međutim, kao što sam rekao, u isto vrijeme pokušat ćemo zaštititi moju privatnost na drugačiji način. Za koga uz poštovanje:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Zapisujemo to ovako:
\[((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=( (\levo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\lijevo(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\]
Zbog toga smo odnijeli isti iznos novca, a prote je naplaćen kao manji. Za koga završiti na veliko zapamtite da kad završite predstavu, možete zbrajati.
Sad mi je žao za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\lijevo(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\]
Zapjevajmo jedan viraz okremo:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Prodajemo verziju našeg vanjskog dizajna:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \desno)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Sinulo mi je da sam mogao na drugi način zalutati, i sam bih ovako izgledao.
Upravitelj br.2
Jebi se za $x$:
\[(((z)")_(x))=((\lijevo(x \desno))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \desno )+x\cdot ((\lijevo(\ln \lijevo(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
Zaustavimo jedan viraz okremo:
\[((\lijevo(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Prodano rješenje vanjskog dizajna: $$
Os je tako jasna.
Izgubljeno za analogiju za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\]
Jedan viraz, ok je, kao zavzhdi okremo:
\[((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \desno) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuêmo viríshennya glavnog dizajna:
Sve je pokriveno. Poput bachita, ugare, ovisno o tome kako se promjena uzima za diferencijaciju, izgledaju potpuno drugačije.
nijansa trešnja
Os yaskre primjer je kako se jedna te ista funkcija može oštetiti na dva različita načina. Os za čudo:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno)=( (\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\lijevo(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\]
\[(((z)")_(x))=((\lijevo(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\lijevo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\lijevo(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]
Prilikom odabira različitih staza izračun bi mogao biti drugačiji, ali ako je istina, sve je u redu, vidite i sami. Cijene su dostojne klasičnih, a privatne onih kasnijih. Pogodit ću opet od koga: ugar je, onako, kakva promjena, uzet ću dobru, to je to. diferencijacija, vídpovíd može vyyti zovsím raznoyu. Čudo:
\[((\lijevo(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\lijevo(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Nasamkineti za pričvršćivanje cijelog materijala, pokušajmo popraviti dvije kundake.
Zadatak s trigonometrijskom funkcijom i funkcijom s tri promjene
Upravitelj br.1
Napišimo ove formule:
\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\lijevo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Hajdemo sada virišovati naš viraz:
\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo porahuemo takav dizajn:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuêmo virishuvati vihídny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Ovo je preostali iznos privatne promjene $x$. Sad mi je žao za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\lijevo(x\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo one viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Virishuemo do kraja našeg dizajna:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Upravitelj br.2
Na prvi pogled ova guza se može sklopiti, jer postoje tri izmjene. Doista, to je jedan od najjednostavnijih zadataka za današnju video turneju.
Poznato po $x$:
\[(((t)")_(x))=((\lijevo(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\lijevo(y\cdot ((e) ) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Pogledajmo sada $y$:
\[(((t)")_(y))=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((\lijevo(y\cdot ) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\lijevo(((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\lijevo (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Znali smo istinu.
Sada je previše znati $z$:
\[(((t)")_(z))=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\lijevo(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\lijevo(y\cdot ((e )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\lijevo(((e)^(z)) \desno))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Pohvalili smo treću pohidnu, na kojoj je ponovno dovršena vizija drugog zadatka.
nijansa trešnja
Kao bachit, u ova dva kundaka nema ništa preklapanja. Jedina stvar, zašto smo zabrljali, to je zato što su sklopive funkcije često ustajale i ustajale, budući da smo privatno sramežljivi, morat ćemo se mijenjati ovisno o situaciji.
U ostatku zadatka od nas je zatraženo da razradimo funkcije tri različite. Nema ništa strašno u tsomu, prote naprikintsí mi su se raskrstili, taj smrad je jedna vrsta i potpuno je iritantan.
Ključni trenuci
Preostale bilješke iz današnje video lekcije:
- Privatni rashodi se uzimaju u obzir kao takvi, kao da su važni, da bismo uzeli u obzir privatne troškove jednom promjenom, odlučujući o svim promjenama koje su uključene u ovu funkciju, uzimamo ih kao konstante.
- Pratsyyuyuchi s privatnim pokhídnymi vikoristovuêmo tí sami standardnim formulama, yak í z znichnym pokhídnymi: suma, raznitsyu, pokhídnu stvoriti í privatne í, zrozumílo, pokhídnu sklopive funkcije.
Očigledno, pregledavanje jedne video lekcije nije dovoljno, da bih mogao ponovo proširiti ovu temu, tako da odjednom na mojoj stranici, prije ovog videa, postoji niz zadataka posvećenih upravo ovoj temi dana - uđite, zavantazhyte , vypishuyte tsí zavdannya íz víryapovytes. Uostalom, nećete imati nikakvih svakodnevnih problema iz privatnih poput spavanja ili samostalnog rada. Očito, ovo je daleko od posljednje lekcije iz moderne matematike, stoga idite na našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkajte i pratite nas!
Neka funkcija z - / (x, y) bude dodijeljena stvarnom području D na ravnini xOy. Uzmimo unutarnju točku (x, y) u području D i udvostručimo x povećavamo Ax, pa je točka (x + Ax, y) 6D (slika 9). Vrijednost se naziva privatnim povećanjem funkcije z u odnosu na x. Pohranjivanje reference Za točku (x, y) referenca je funkcija odredišta. Ako je za Ax -* 0 proširenje ^ do posljednje granice, tada se ova granica naziva privatnom funkcijom z = / (x, y) za neovisnu promjenu xy točke (x, y) i označava se simbolom jfc ( inače / i (x, jj ) ), ili z "x (x, U istom rangu, za imenovanog aboa, koji je isti, Slično, Yakshcho i je funkcija n neovisnih promjena, a zatim se prisjetimo da se Arz izračunava s konstantnom vrijednošću promjene, a Atz - s konstantnom vrijednošću promjene x, viznachennya Private pohídnih mozhna sformulyuvati tako: Privatní pohídní geometrijski Sens Private pohídnih funktsíí̈ dvoh zmínnih Diferentsíyníst funktsííííííííí̈ kílkoh zmíníst funktsííííí̈ kílkoh zmíníst funktsíííí̈ kílkoh zmínístííí̈ kílkoh zmínístíí̈ kílkoh zmínístíí̈ pohídnih zmíníêtíêtíês pohídnih zmíníêsmídíêníêtíêvíktíêtíêtíêtníêvícíêtíêtíe funkcii od x, obchislena u pripuschenní scho y - postíyna;, y) nazivaêtsya íí̈ odbitak za y, izračunat na dodatku, sho x - trajno. i funkcije r = /(x, y) y ts_y točke privatne slične svim argumentima ne dokazuju kontinuitet funkcije y točaka. Dakle, funkcija nije kontinuirana u točki 0(0,0). Međutim, u ovom trenutku, funkcija može biti privatna je dodijeljena. Razlog je taj što je /(x, 0) = 0 í /(0, y) = 0 i taj geometrijski smisao privatnih sličnih funkcija dviju promjenjivih funkcija neprekinutih u aktivnom području D i može imati privatne praznike tamo x i y. Jasno je da geometrijska promjena sličnih u točki Mo(xo, yo) 6 D, čija površina z = f(x)y) označava točku f(x0)yo)). Kada je privatna točka M0 značajna, važno je da je z samo funkcija argumenta x, dok argument y tada uzima konstantnu vrijednost y = yo. Funkcija fi(x) geometrijski je predstavljena krivuljom L, tako da je ploha S prekrivena ravninom y = y o. Iz geometrijskog smisla slične funkcije jedne varijable f \ (xo) = tg a, de a - rez, točkice dotichnoí̈ na liniju L u točki JV0 od pravca Ox (slika 10). I tako je, na takav način, privatno ($ |) više tangentnog kuta i srednje širine Oh i dotičnog u točki N0 na krivulju, skraćenu u presjeku površine z = / (x, y) za ravnina y Slično uzimamo §6. Diferencijacija funkcije mnogih varijabli Neka funkcija z = /(x, y) bude dodijeljena stvarnoj udaljenosti D na ravnini xOy. Uzmimo točku (x, y) € D i izaberimo vrijednosti x i recimo prirast Ah i Du, ali ipak, točku. Ugovoreni sastanak. Funkcija r = /(x, y) naziva se diferencirana * točka (x, y) € 2E, što je savršena varijanta funkcije, koja pokazuje povećanje argumenata Dx, Du, možete zamisliti da možete vidjeti de L i B ne leže u Dx i D y (ale vzagalí leže v_d x i y), i a(Dx, Dy) í /? (Dx, Dy) na nulu kada se pretpostavlja da je Dx i Dy nula. . Ako je funkcija z \u003d / (x, y) diferencirana u točki (x, y), tada se dio A Dx 4- VD do rasta funkcije, linearna stopa Dx i Du, naziva gornjim diferencijal funkcije u točki (x, y) i označava se simbolom dz: Tanim rang, stražnjica. Neka je r = x2 + y2. U točki be-yakíy (g, y) i za be-yak Dx í Du maêmo Ovdje. Dakle, a í / 3 ide na nulu dok ide na nulu Dh í Du. Očito, funkcija je diferencirana u bilo kojoj točki u ravnini xOy. S obzirom na to, respektabilno je da u našim svjetovima nema formalnih uključivanja tog tipa, ako je povećanje Dx, Du porozno, ili da se ulije ogorčenost u iznosu od nule. Formula (1) se može zapisati kompaktnije, tako da možete unijeti viraz (dajte između točaka (Koristeći ga, možete napisati) Nakon što označimo viraz, što treba stajati u zagradi, kroz e, moći ćemo da de z leže u J, Du i desnoj nuli, poput J 0 í Du 0 ili kraće od p 0. Formula (1), koja izražava diferencijalnu funkciju uma z = f(xt y) y točka (x, y), sada se može napisati na prvi pogled Dakle, sa stanovišta aplikacije 6.1, funkcija r = /(x, y) se diferencira na decimalnoj točki, zatim je kontinuirana u točki tsij e, koja pokazuje prirast od J i D argumenata, može se predstaviti vizualno (vrijednosti L, B za danu točku konstante; slijede zvijezde, što Rest znači da je u točki (w, y) funkcija gb), y) diferencirano u danoj točki, mo oko s.ieet u točki qiy privatno je slično $§ i. Neka se funkcija z = / (x, y) diferencira u točki (x, y). rast Dx, Ay argumenti, možete vidjeti (1). Uzimajući u jednakost (1) Dx F 0, Dn = 0, oduzimamo zvijezde Dakle, kao desna strana preostale jednakosti, vrijednost A ne leži u víd, Tse znači da u točki (x, y) to je privatna relativna funkcija r \u003d / (x, y) prema x, štoviše, mijenjamo dvosmislenost (x, to je zapravo privatna slična funkcija zy, štoviše, Z iz teorema slijedi, ali je potkrijepljeno da teorem 5 potvrđuje postojanje privatnog sličnog samo u točkama (x, y), ali je nemoguće govoriti o nepromjenjivo y točkama, kao ni o mom ponašanju u blizini točke (x, y) 6. 2 dovoljno sposoban poznavati funki kílkohh zmínnynyi, Shaho Differential™ ™ Yak Vídomo, potrebu za disanjem í i i i i i i i i inínoj inííííí̈ í̈ í i otcí otní í̈ inínínoj í̈ í i otní íní stocíííí̈ í i otnoj otníli itcij h0 dekílkoh zmínnyh, s desne strane je značajno presavijen: nema potrebnih i dovoljnih umova diferencijacije, ali za funkciju z \u003d / (x, y) dvije neovisne promjene x, y; diferencijalna priroda funkcija a broj promjena očituje se uvredljivim teoremom Teorem čl. x, y) diferencirani u točkama (x- Pogledajmo funkciju rivatní diferencijali Pokhídní preklopne funkcije Vaughnu je dodijeljen svugdje ™ zadane funkcije u točki 0(0,0) koju znamo i povećanje tsíêí̈ izoštrava 0 í Du 0. Let's D0. Na istu formulu (1) možemo izračunati funkciju / (x, y) \u003d koja nije diferencirana u točki 0 (0, 0), iako i može biti u točki ts_y robimo fa i f "r f "t odvojeni točke § 7. Novi diferencijal Privatni diferencijali Kako se diferencira funkcija g - f (z> y), tada je njezin stilski diferencijal dz napredniji od diferencijalne funkcije na neovisnim promjenama, primjenjujući diferencijale na njihove razlike: Sljedeća formula ukupnog diferencijala funkcije koristi se kao primjer. Neka je i - 1l (x + y2). diferencijal funkcije z = f(x, y) s obzirom na promjenu x; zbroj njenih privatnih diferencijala: Značajno , više zbílshennya Az funkcije z = / (w, y), vzagalí naizgled, ne dorívn yuê zbroji privatnih prirasta. Ako je u točki (i, y) funkcija = /(w, y) diferencirana i diferencijal dz FD u točki tsíy, tada se ukupni prirast dodaje njegovom linearnom dijelu samo zbroju preostalih zbrojeva aAx 4 - /? i Ay --» O beskonačno maloj cjelokupnoj narudžbi, donjem skladištu linearnog dijela. Stoga, kada je dz F 0, linearni dio povećanja diferencirane funkcije naziva se glavni dio povećanja funkcije i koraliziran je približnom formulom, jer će to biti točnije, manja će po apsolutnoj vrijednosti biti porast argumenata. §8. Ostale funkcije preklapanja 1. Neka je funkcija dodijeljena u stvarnom području D na ravnini xOy, štoviše, koža mijenja w, na vlastitoj liniji, funkciju argumenta t: Pretpostavimo da kada se mijenja t u intervalu između područja D. Ako funkciji z = / (w, y) dodamo vrijednost, tada ćemo uzeti funkciju preklapanja jedne promjene t. M Da, t prirast Dt. 2 + (Dy)2 F 0 funkcija z također oduzima prirast Dg, jer, zbog diferencijacije funkcije z = /(x, y) y točka (x, y) može biti predstavljena u vizualnom de a) za promjenu nule kada je nula Ax i Du. Značajno a í /3 kod Axe \u003d Ay \u003d 0, poklavshi a Todí a (oni će biti neprekinuti kada J \u003d Dy \u003d 0. Možemo pogledati razliku Maêmo U dodatku kože ^ u desnom dijelu (2 ) uvrede spív množitelji mogu biti između kada je učinkovit, privatno pokhídní í ^ za danu ê konstantu, zbog mentalnog razloga između osnova kasnijih ^ i u točki £ kontinuitet funkcija x = y(t) i y = onom na At 0 za pomicanje nulti rang, desni dio jednakosti (2) na 0 maê između, jednaka srednja vrijednost, ínê na At 0 í između lijevog dijela (2), tj. formule Y okremu vpadku, ako, onda , z ê sklopiva funkcija víd w, otrimuêmo U formula (5) ê privatna pokhídna funadííg \u003d / (w , y) po w, kada se računa kako se y izgovara / (w, y) prihvaća se argument y A ê pohídna funkcija z za neovisno zmínnoy f, kada se računa kao yy viraz / (w, y) više se ne prihvaća kao post, ali ga poštuje vlastita funkcija víd f: y \u003d tp (x) t i stoga je ugar z víd g pokriven osiguranjem. guzicom. Znaj í jg, yaksho 2. Pogledajmo sada diferencijaciju sklopivih funkcija mnogih promjena. Neka u vašoj liniji bude tako dopušteno, da je u točki (() moguće neprekidno privatno gubitke, 3?" funkcija z = z(() y) y točka t7) može biti gora i u, í je poznato da biti drugačiji što je gore. S poštovanjem, scho vídok víd vyvchennogo ístotno ne vídíznyêêê. Doista, pri diferenciranju z prema £ prijatelja, nezavisna promjena rj uzima se za postinu, nakon čega u toku ove operacije postaju funkcije iste promjene w" = c), y = c) kada prikazana je formula (3), vikoristovuyuchi formula (3) i formalno zamjenjujući u níy pokhídní § í ^ na pokhídní í vídpovídno, otrimaêmo Analogno poznatu stražnjicu. Yakscho sklopivi funktsіya „dati formulu kako scho onda kada vikonannі vіdpovіdnih misli maєmo imaju okremomu vipadku, ako je I = de Privatnі pohіdnі geometrijski zmіst Privatna pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії dekіlkoh zmіnnih Neobhіdnі Minds diferentsіynostі funktsії Dostatnі Minds diferentsіynostі funktsіy dekіlkoh zmіnnih Povny diferentsіal Pohіdnі skladnoї funktsíí̈ možda ovdje t-povna. privatna slučajna funkcija i neovisnom promjenom x, koja je potpuno neovisna po i u x, uključujući i do z = z (x, y), a ^ je privatna derivacija.
1°. Vypadok jedan nezalezhnaya zminnoy. Kao z = f (x, y) je funkcija koja diferencira, argumente x i y, kao u vašem retku - razlikovanje funkcija neovisne promjene t: , zatim slične funkcije preklapanja 
može se izračunati prema formuli
guzicom. Znaj, yakscho, de.
Riješenje. Za formulu (1) možemo:
Guzica. Da znam privatno bit ću izgubljen i opet ću biti izgubljen, kao 
.
Riješenje. .
Na temelju formule (2) možemo pretpostaviti 
.
2°. Vipadok kílkoh nezalezhnyh zminnyh.
dođi z=f(x;y)- funkcija dvije smjene xі y, dermalna funkcija t:x=x (t), y =y (t). Koji ima funkciju z=f(x (t);y (t))ê preklopna funkcija jedne neovisne promjene t; promijeniti x i y - međupromjene.
Teorema. Yakscho z == f(x; y) - diferencirani u bodovima M(x; y)D tu funkciju x =x (t)і na =y (t)- funkcije koje se razlikuju neovisnim t, onda je to sklopiva funkcija z(t) == f(x (t);y (t)) izračunaj po formuli
|
|
Okremy vipadok:z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x;y (x)) - sklopiva funkcija jedne neovisne promjene X. Tsej vpadok vodi u prednji dio, štoviše, uloga zmije t siva X. Prikladno za formulu (3) može:
.
Ostatak formule zvoni formule potpuno iste
Vruća jesen:z = f(x;y), de x =x (u;v),y=y (u;v). Todi z = f(x (u;v);y (u;v)) - sklopiva funkcija neovisnih promjena іі v. Njen privatni pokhídní može biti poznat, vikoristovuyuchi formula (3) uvredljiv čin. Popravivši v, zamijeniti u níy, vídpovídnymi privatnim
Na taj je način funkcija preklapanja (z) slična promjeni neovisnoj o koži (іі v) bolji zbroj radova privatnih sličnih funkcija (z) za međupromjene (x i y) na svojim putovanjima za veliku samostalnu vjetrenjaču (u i v).
Za sve promatrane stavove formula je istinita
(Moć invarijantnosti ukupnog diferencijala).
guzicom. Znati i kako z = f(x, y), de x = uv,.
Riješenje. Zastosovuyuchi formule (4) i (5), uzimamo:
guzicom. Pokažite da je funkcija zadovoljena 
.
Riješenje. Funkcija za deponiranje víd h í y kroz srednji argument, dakle
Slanje privatnih izleta na lijevi dio rijeke, matimemo:
To jest, funkcija z zadovoljava zadanu jednadžbu.
Pokhídna u ovoj ravnoj liniji koja gradíênt funkcija
1°. Pokhídna funkcionira kod koga izravno. Pokhídny funkcije z= f(x, y) kod koga izravno pozvao 
de i - vrijednost funkcije u točkama i . Budući da je funkcija z diferencirana, formula je istinita
de - kuti mizh ravno naprijed l a uz pomoć koordinatnih osi. Pokhídna u kome izravno karakterizira brzinu promjene funkcije u kome izravno.
guzicom. Poznajte točnu funkciju z = 2x 2 - Zu 2 u točki P (1; 0) y ravno naprijed, da postavite visinu OH reza 120 °.
Riješenje. Javite nam privatne vrijednosti funkcije i vrijednost točke P.
guzicom. Znaj, yakscho, de.
Riješenje. Za formulu (1) možemo:
guzicom. Da znam privatno bit ću izgubljen i opet ću biti izgubljen, kao 
.
Riješenje. .
Na temelju formule (2) možemo pretpostaviti 
.
2°. Vipadok kílkoh nezalezhnyh zminnyh.
dođi z = f(x; y) - funkcija dvije smjene xі y, funkcija kože
neovisni rudnik t: x = x(t), y = y(t). Koji ima funkciju z=f(x(t); y(t))є
funkcija preklapanja jedne neovisne promjene t; promijeniti x i y - međupromjene.
Teorema. Yakscho z == f(x; y) - diferencirani u bodovima M(x; y) D funkcija
і x = x(t)і na =y(t) - funkcije koje se razlikuju neovisnim t,
onda je to sklopiva funkcija z(t) == f(x(t); y(t)) izračunaj po formuli
 | (3) |
Okremy vipadok: z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x; y(x)) - sama sklopiva funkcija
neovisni rudnik X. Tsej vpadok vodi u prednji dio, štoviše, uloga zmije
t siva X. Prikladno za formulu (3) može:
.
Ostatak formule zvoni formule potpuno iste
Vruća jesen: = f(x;y), de x = x(u;v), y=y(u;v). Todi z = f(x(u;v); y(u;v)) - sklopivi
funkcija neovisnih promjena іі v. Vaša privatna putovanja i možete znati
vikoristička formula (3) na ovaj način. Popravivši v, zamijeniti u niy,
Vídpovídnimi privatni
Na taj je način funkcija preklapanja (z) slična promjeni neovisnoj o koži (іі v)
više zbroj djela privatnih sličnih funkcija (z) za sredinu
promijenio (x i y) na svojim putovanjima za veliku samostalnu vjetrenjaču (u i v).
Za sve promatrane stavove formula je istinita
(Moć invarijantnosti ukupnog diferencijala).
guzicom. Znati i kako z = f(x, y), gdje je x = uv, .
Privatni praznici ostaju na čelu funkcija malog broja ljudi. Pravila značajnosti su potpuno ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedan od tragova varijable u trenutku diferencijacije uzima u obzir konstantom (konstantnim brojem).
Formula
Privatni datumi za funkciju dviju varijabli $ z (x, y) $ upisani su u sljedećem izgledu $ z "_x, z"_ y $ i slijedite formule:
Privatni praznici prve narudžbe
$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$
$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$
Privatna putovanja drugim redoslijedom
$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$
Zmishana je dobra
$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$
Funkcija preklapanja za privatno skladište
a) Neka je $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, tada će slične funkcije savijanja slijediti formulu:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
b) Neka je $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, a zatim ponovite sljedeće privatne funkcije nakon formule:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$
Privatni praznici implicitno definiraju funkcije
a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada je $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
b) Neka je $ F (x, y, z) = 0 $, tada je $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$
Nanesite otopinu
| guza 1 |
| Pronađite privatne vrijednosti prvog reda $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ |
| Riješenje |
|
Za vrijednost privatne varijable u $ x $, koristit ćemo $ y $ kao konstantnu vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Za vrijednost privatne funkcije u odnosu na $ y $, $ y $ je značajna konstantom: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako se ne usuđujete prekršiti svoj zadatak, forsirajte jogu pred nama. Trebamo detaljnije rješenje. Možete saznati o tijeku izračuna i oduzeti podatke. Tse dopomozhe svaki sat uzeti dvoranu iz vikladach! |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| guza 2 |
| Pronađite privatne slične funkcije drugim redoslijedom $ z = e ^ (xy) $ |
| Riješenje |
|
Pritom je potrebno poznavati prvi korak, a zatim poznavajući ih možete znati korake drugog reda. Važna konstanta $ y $: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Stavimo sada $ x $ konstantnu vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prvi pokhídní, slično poznajemo i druge. $ y $ trajno instaliramo: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Postavi $x$ konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada sam izgubio znanje o zmíshanu pokhídnu. Možete razlikovati $ z"_x $ s obzirom na $ y $, ili možete razlikovati $ z"_y $ s obzirom na $ x $, prema teoremu $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| zadnjica 4 |
| Neka $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ stavi implicitnu funkciju $ F (x, y, z) = 0 $. Upoznajte privatne događaje prvog reda. |
| Riješenje |
|
Zapisujemo funkciju u formatu: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
