Pažvelkime į funkciją dviem būdais:
$x$ ir $y$ pokyčio skeveldros yra nepriklausomos, tokiai funkcijai galima pateikti privačios informacijos supratimą:
Privati funkcija $f$ taške $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pakeitimui $x$ -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
Taip pat galite priskirti privatų mokestį už $y$ pakeitimą:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Kitaip tariant, norint sužinoti privačias kai kurių pakeitimų funkcijas, būtina pataisyti pakeitimo sprendimą, krіm shukanoї, ir tada sužinosime zvichaynu pokhіdna už pakeitimo kainą.
Skamba kaip pagrindinis triukas skaičiuojant tokius vargšus: tereikia atsižvelgti į tai, kad viskas keičiasi, krym tsієї, є konstanta, po to atskirkite funkciją taip, kad atskirtumėte „vienaskaitą“ - vienu zminnoy. Pavyzdžiui:
$\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right)))^( \ pirminis ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(lygiuoti)$
Akivaizdu, kad privačias šventes dovanoti iš skirtingų pokyčių yra normalu. Kodėl svarbiau suprasti, kodėl, tarkime, pirmajame mums ramiai priskaičiavo 10y $ z-pid blogą ženklą, o kitame - nulinę pirmą priedą. Viskas sumanyta per tuos, kad visos raidės, krіm zminnoi, dėl kažkokio skirtumo, yra gerbiamos konstantomis: jas galima kaltinti, spjaudyti ir pan.
Kas yra „privatus malonumas“?
Šiandien kalbėsime apie kelių keitiklių funkcijas ir apie privačias šventes juose. Visų pirma, kokia yra kelių pakeitimų funkcija? Iki kurio laiko mes iškvietėme įvesti funkciją, pvz., $y\left(x \right)$ arba $t\left(x \right)$, arba pakeiskite tą vieną ar tą pačią funkciją. Dabar mumyse bus tik viena funkcija, ir bus šprotų kaita. Jei pakeisite $y$ ir $x$, pasikeis funkcijos reikšmė. Pavyzdžiui, jei $x$ padidėja du kartus, keičiasi funkcijos reikšmė, jei $x$ keičiasi, bet $y$ nesikeičia, funkcijos reikšmė keičiasi pati.
Buvo suprasta, kad funkcija kelių kintamųjų forma, kaip ir viename iš kintamųjų, gali būti diferencijuojama. Tačiau oskіlki zmіnnykh kіlka, tada galima atskirti nuo skirtingų zmіnnyh. Kam kaltinamos konkrečios taisyklės, kurios yra vienodos diferencijuojant vieną pakeitimą.
Pirmiausia dėl visko, jei norime prarasti savo funkcijas, jei esame kažkaip permainingi, tai patys kalti, dėl kokių pokyčių turėtume pasitraukti - štai kodėl tai vadinama privačia netvarka. Pavyzdžiui, turime dviejų skirtingų funkcijų ir galime taisyti її kaip $x$, taigi $y$ yra du privatūs, panašūs į zminnyh odą.
Kitaip, jei užfiksavome vieną iš zminnykh ir po jo pradedame gerbti privačiai, tai visa kita, kas patenka į funkcijos funkciją, yra gerbiama konstantomis. Pavyzdžiui, $z\left(xy \right)$, nes mums svarbu privačiai peržengti $x$, tada, prisimerkę, tiesiog $y$, mums svarbu būti konstanta ir gydytis savaime. kaip konstanta. Zokrema, skaiciuojant blogus dalykus galime kaltinti $y$ del pančių (pas mus konstanta), o skaičiuojant blogus pinigus, kaip pas mus tai kaip virusas atkeršyti už $y$ o ne atkeršyti $x$ , tada tai gerai virazu dorivnyuvatime "nulis" kaip gera konstanta.
Iš pirmo žvilgsnio gali išsisukti, kad pasakoju apie tai sulankstytai, ir daug besimokančių nuklysta ant burbuolės. Tarp privačių nėra nieko antgamtiško, o mes keičiamės iš konkrečių užduočių užpakalio.
Atsakingas už radikalus ir turtingus narius
Vadybininkas Nr.1
Nešvaistykite valandos, nuo pat burbuolės pradėsime nuo rimtų užpakaliukų.
Pradedantiesiems, manau, tokia formulė:
Tai yra standartinė lentelės reikšmė, kaip žinome iš standartinio kurso.
Naudinga, kad kas nors naudotų $z$ taip:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Dar kartą pasakysime, kad skeveldros po šaknimi kainuoja ne $x$, o kažkoks kitas virazas, šiuo atveju $\frac(y)(x)$, tada paspartiname standartines lentelės reikšmes, o tada skeveldros po šaknys kainuoja ne $x $, o dar vienas virazas, tai mums reikia padauginti savo išlaidas dar vienam viraz kitam virazui. Pradėkime lipti ant burbuolės:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Atsigręžkime į mūsų virazu ir užsirašykime:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Viskas iš principo. Tačiau palikti її tokioje išvaizdoje yra neteisinga: nugalėti tokią konstrukciją tolimiesiems neparanku, tad padarykime smulkmeną:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1) (2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vidpovidas rastas. Dabar panagrinėkime $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Vipishemo okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]
Dabar rašome:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1) (2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Viskas sugriauta.
Vadybininkas Nr.2
Šis užpakalis iš karto paprastesnis ir labiau sulankstomas, žemesnis į priekį. Labiau sulankstoma, prie to čia daugiau veiksmo, bet paprasčiau, prie to čia nėra šaknies, be to, funkcija simetriška $x$ ir $y$, tobto. Kadangi mes prisimename $x$ ir $y$ kaip misijas, formulė nesikeičia. Tse pagarba turėjo būti atleista už privačių išlaidų apmokėjimą, tobto. Užtenka vieną iš jų sugadinti, o kitame tiesiog prisiminkite $x$ ir $y$ su šepečiais.
Eikime prie esmės:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ dešinė ))^(\pirminė ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \dešinė)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\pirminis ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Džiaukimės:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Prote gausiai išmokite tokį nežinojimo įrašą, ašį užrašysime taip:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Šiame reitinge mes vėl pereiname prie privačių giminaičių algoritmo universalumo: jie jiems nerūpėjo, jei visos taisyklės bus teisingai nustatytos, būsite tas pats.
Dabar pažvelkime į dar vieną privatų mūsų puikios formulės triuką:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \dešinė))^(\pirminis ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\pirminis ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Tarkime, kad mes pašaliname priklausomybę nuo mūsų formulės ir pašaliname ją:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dešinė)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dešinė))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left(((()) (x)^(2))+((y)^(2))+1 \dešinė))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \dešinė))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dešinė))^(2 )))\]
$x$ atkurta. Ir norėdami pataisyti $y$ tame pačiame viraze, nevikonuvatuokime visos tos pačios pasidarykimo sekos, o verčiau vadovaudamiesi mūsų ryškaus virazo simetrija – tiesiog savo ryškiame viraze visus $y$ pakeisime $x$ ir navpak. :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Už simetrijos rahunoką jie gyrė visą virazą gausiai shvidshe.
niuansas vyšnia
Privačioms naudojamos visos standartinės formulės, kurios geriausiai tinka privačioms, bet tas pats galioja ir privačioms. Tačiau dėl to jie kaltina savo specifines savybes: jei privačiai gerbiame $x$, tai jei її imsime už $x$, tai laikome konstanta, o її yra panašus į brangesnį "nulis". .
Kaip ir tuo pačiu metu su reikšmingiausiu pokhіdnymi, privačiu (vienu ir tuo pačiu) galite sugadinti kilkom įvairiais būdais. Pavyzdžiui, tą pačią konstrukciją, kuriai taip gerai pritarta, galima perrašyti taip:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Iš karto apie tuos, iš kitos pusės, galite įveikti formulę atsitiktinės sumos pavidalu. Kaip žinome, yra brangesnės žuvusiųjų sumos. Pavyzdžiui, parašykime taip:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\pirminis ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Dabar viską žinant, pabandykime tobulėti rimtesniais panaudojimais, teisingų privačių gudrybių šukės neapsuptos vien turtingais terminais ir šaknimis: ten naudojama trigonometrija, logaritmai, rodymo funkcijos. Dabar užsiimkime.
Užduotis su trigonometrinėmis funkcijomis ir logaritmais
Vadybininkas Nr.1
Rašome šias standartines formules:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Įgiję šias žinias, pabandykime eiliuoti:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo parašykite vieną pakeitimą:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Kreipkitės į mūsų dizainą:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Visi žinome apie $x$, dabar pereikime prie $y$ skaičiavimo:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Na, aš žinau, bijau vieno viraz:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]
Grįžkime į dienos pabaigą ir toliau žiūrėsime:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Viskas sugriauta.
Vadybininkas Nr.2
Užsirašykite mums reikalingą formulę:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Dabar atsiprašau už $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\pirminis ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Rasta už $x$. Svarbu $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\pirminis ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Užduotis baigta.
niuansas vyšnia
Vėliau, atsižvelgiant į tai, kad funkcijos nebuvo paimtos privačiai, taisyklės perrašomos tomis pačiomis, nepriklausomai nuo to, ar jos veikia su trigonometrija, su šaknimis ar su logaritmais.
Klasikines darbo taisykles visada pakeičia standartinės, o kartu ir mažmeninės, privačios ir sulankstomos funkcijos.
Likusi formulė dažniausiai paaiškinama dienos pabaigoje, kai susitikimas baigiasi privačiomis šventėmis. Mi zustrіchaєmosya su jais praktiškai skrіz. Miesto vadovo dar nebuvo, kad mes ten neišeitume. Bet jei su formule nesisukame, vis tiek gauname dar vieną naudą, o sau – darbo savitumą su privačiais pasivaikščiojimais. Taigi ištaisome vieną pakeitimą, linijos yra konstantos. Zocrema, kaip gerbiame privačiai pamestą virazę $\cos \frac(x)(y)$ $y$, tada pats $y$ pakeičiamas, o $x$ perrašomas konstanta. Ta pati praktika ir navpaki. Її galima kaltinti dėl blogo ženklo, bet blogai, nes pati konstanta yra labiau kaip „nulis“.
Reikėtų viską suvesti iki taško, kad privačiai atrodo vienas ir tas pats virazas, tačiau dėl skirtingų pokyčių jie gali atrodyti kitaip. Pavyzdžiui, stebisi tokiu viraziu:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\pirminis ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Užduotis su demonstracinėmis funkcijomis ir logaritmais
Vadybininkas Nr.1
Užrašykime tokią formulę:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\pirminis ))_(x)=((e)^(x))\]
Žinodami šį faktą, kaip ir sulankstomas funkcijas, galime bandyti išgąsdinti. Tikiu dviem skirtingais būdais vienu metu. Pirmas ir akivaizdžiausias yra darbo kaina:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Pažiūrėkime šį virusą:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)(((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Pažvelkime į savo dizainą ir toliau jį pamatykime:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\right)\]
Viskas, $x$ padengta.
Tačiau, kaip sakiau, tuo pat metu bandysime apsaugoti mano privatumą kitaip. Kam su pagarba:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Užrašome taip:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Dėl to išsinešėme tiek pat pinigų, o prote buvo pakrautas kaip mažesnis. Kam užbaigti didžiąją dalį, atminkite, kad baigę pasirodymą galite pridėti.
Dabar atsiprašau už $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Dainuokime vieną viraz okremo:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Parduodame savo išorinio dizaino versiją:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Man pasirodė, kad galėjau kitaip pasiklysti, pati būčiau taip atrodžiusi.
Vadybininkas Nr.2
Bėk už $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Sustabdykime vieną viraz okremo:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Parduodamas išorės dizaino sprendimas: $$
Ašis tokia aiški.
Analogiją prarado $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Vienas viraz, viskas gerai, kaip zavzhdi okremo:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\pirminis ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuєmo virіshennya pagrindinis dizainasії:
Viskas uždengta. Kaip bachitas, pūdymas, priklausomai nuo to, kaip pokytis imamas diferencijuoti, jie atrodo visiškai skirtingi.
niuansas vyšnia
Jaskros ašis yra pavyzdys, kaip viena ir ta pati funkcija gali būti pažeista dviem skirtingais būdais. Stebėjimosi ašis:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Renkantis skirtingus kelius, skaičiavimas gali skirtis, bet jei tai tiesa, tai viskas gerai, patys matote. Kainos vertos klasikinio, o privačios vėlesnių. Vėl spėsiu iš ko: tai pūdymas, tai kaip, koks pokytis, paimsiu gerą, tiek. diferenciacija, vіdpovіd gali vyyti zovsіm raznoyu. Marvel:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Nasamkinetai visos medžiagos tvirtinimui, pabandykime pataisyti du užpakalius.
Užduotis su trigonometrine funkcija ir funkcija su trimis pakeitimais
Vadybininkas Nr.1
Parašykime šias formules:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Dabar virišuokime savo virazą:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\pirminis ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo porahuemo toks dizainas:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Tai yra privačių pakeitimų $x$ likutinė suma. Dabar atsiprašau už $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo one viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Virishuemo iki mūsų dizaino pabaigos:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Vadybininkas Nr.2
Iš pirmo žvilgsnio šis užpakalis gali būti sulankstytas, nes yra trys pakeitimai. Iš tiesų, tai viena iš paprasčiausių užduočių šios dienos vaizdo apžvalgoje.
Žino $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\pirminis ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ) ^(z)) \dešinė))^(\pirminis ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\ctaškas ((\left(((e)^(y) ) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Dabar pažiūrėkime į $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\ctaškas ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \dešinė))^(\pirminis ))_(y)=\]
\[=x\ctaškas ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Mes žinojome tiesą.
Dabar per daug žinoti $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\pirminis ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \right))^(\pirminis ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\pirminis )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Pagyrėme trečiąją pochidną, ant kurios vėl užbaigiama kitos užduoties vizija.
niuansas vyšnia
Kaip bachite, šiuose dviejuose užpakaliuose nėra nieko susilanksto. Vienintelis dalykas, kodėl mes suklydome, yra todėl, kad sulankstomos funkcijos dažnai yra sustingusios ir pasenusios, nes esame drovūs, todėl turėsime keistis priklausomai nuo situacijos.
Likusioje užduoties dalyje mūsų buvo paprašyta išsiaiškinti trijų skirtingų funkcijų. Nieko baisaus tsomu nėra, prote naprikintų keliai susikirto, ta smarvė yra viena ir ji visiškai erzina.
Pagrindiniai momentai
Likusios pastabos iš šios dienos vaizdo pamokos:
- Į privačias išlaidas atsižvelgiama kaip į tokias, tarsi jos būtų svarbios, kad į privačias išlaidas būtų atsižvelgta vienu pakeitimu, spręsdami visus pokyčius, kurie yra įtraukti į šią funkciją, jas imame kaip konstantas.
- Pratsyyuyuchi s privatus pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami standartinės formulės, jakų і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu sukurti і privatų і, zrozumіlo, pokhіdnu.
Akivaizdu, kad vienos vaizdo pamokos peržiūros neužtenka, kad galėčiau vėl išplėsti šią temą, todėl mano svetainėje iš karto, prieš šį vaizdo įrašą, yra užduočių rinkinys, skirtas būtent šiai dienos temai - užeik, zavantazhyte , vypishuyte tsі zavdannya іz vіryapovytes. Juk neturėsite kasdienių problemų iš privačių, tokių kaip miegas ar savarankiškas darbas. Akivaizdu, kad tai toli gražu ne paskutinė šiuolaikinės matematikos pamoka, todėl eikite į mūsų svetainę, pridėkite „VKontakte“, užsiprenumeruokite „YouTube“, dėkite „patinka“ ir sekite mus!
Tegul funkcija z - / (x, y) bus priskirta tikrajai sričiai D xOy plokštumoje. Paimkime vidinį tašką (x, y) srityje D ir dvigubai x padidinkime Ax, taigi taškas (x + Ax, y) 6D (9 pav.). Reikšmė vadinama privačiu funkcijos z padidėjimu x atžvilgiu. Nuorodos išsaugojimas Taškui (x, y) nuoroda yra paskirties vietos funkcija. Jei Ax -* 0 yra pratęsimas ^ iki paskutinės ribos, tada ši riba vadinama privačia funkcija z = / (x, y) nepriklausomam pokyčiui x y taškas (x, y) ir žymima simboliu jfc ( kitaip / i (x, jj ) ), arba z "x (x, tame pačiame range, paskirtam abo, kuris yra tas pats, taip pat Yakshcho i yra n nepriklausomų pokyčių funkcija, tada atsimenant, kad Arz apskaičiuojamas su pastoviu vertės pokyčių, ir ATZ - su pastoviu vertės pokytis x, viznachennya Asmeninis pohіdnih mozhna sformulyuvati taip: Privatnі pohіdnі geometrinė prasmė Asmeninis pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії kіlkoh zmіnnih Potrіbnі protai diferentsіynostі funktsії dekіlkoh zmіnnih) nazivaєtsya zvichayna pohіdna tsієї funktsії iš x, obchislena in pripuschennі scho y - postіyna;, y) nazivaєtsya її atskaitoma už y, skaičiuojama prie pašalpos, sho x - nuolatinė. i funkcijos r = /(x, y) y ts_y taškai privatūs, panašūs į visus argumentus, neįrodo funkcijos y taškų tęstinumo. Taigi funkcija nėra tolydi taške 0(0,0). Tačiau šiuo metu funkcija gali būti privati yra priskirta. Priežastis yra ta, kad /(x, 0) = 0 і /(0, y) = 0 ir geometrinis pojūtis privačių panašių funkcijų dviejų besikeičiančių funkcijų nepertraukiamai aktyvioje srityje D ir gali turėti privačias šventes ten x ir y. Aišku, kad panašių geometrinis pokytis taške Mo(ho, yo) 6 D, toks paviršius z = f(x)y) rodo tašką f(x0)yo)). Kai privatus taškas M0 yra reikšmingas, svarbu, kad z būtų tik argumento x funkcija, o argumentas y įgautų pastovią y = yo reikšmę. Funkcija fi(x) geometriškai pavaizduota kreive L, todėl paviršių S uždengia plokštuma y = y o. Iš geometrinės prasmės vieno kintamojo panašios funkcijos f \ (xo) = tg a, de a - pjūvis, taškai dotichnoї į tiesę L taške JV0 nuo linijos Ox (10 pav.). Ir taip, tokiu būdu privačiai ($ |) daugiau liestinės kampo ir vidurio pločio Oh ir dotic taške N0 į kreivę, perimetrą paviršiaus z = / (x, y) plokštuma y Panašiai imame §6. Daugelio kintamųjų funkcijos diferencialumas Tegul funkcija z = /(x, y) bus priskirta realiajam atstumui D xOy plokštumoje. Paimkime tašką (x, y) € D ir pasirinkite x reikšmes ir tarkime Ah ir Du žingsnius, bet vis tiek tašką. Paskyrimas. Funkcija r = /(x, y) vadinama diferencijuotu * tašku (x, y) € 2E, kuris yra puikus pavyzdys funkcijos, kuri parodo Dx, D y padidėjimą (ale vzagalі lie v_d x i y), ir a(Dx, Dy) і /? (Dx, Dy) iki nulio, kai laikoma, kad Dx i Dy yra nulis. . Jei funkcija z = /(x, y) yra diferencijuota taške (x, y), tai dalis A Dx 4- VD funkcijos augimui, Dx ir Du tiesiniam greičiui, vadinama viršutiniu diferencialu. funkcijos taške (x, y) ir žymimas simboliu dz: Tanim rangas, užpakalis. Tegu r = x2 + y2. Be-yakіy taške (g, y) ir be-yak Dx і Du maєmo Čia. Taigi а і / 3 pereina į nulį, o pereina į nulį Dх і Du. Akivaizdu, kad funkcija yra diferencijuota bet kuriame xOy plokštumos taške. Atsižvelgiant į tai, garbinga, kad mūsų pasauliuose nėra formalių tokio tipo inkliuzų, jei Dx, Du padidėjimas poringai arba įskiepyti pasipiktinimą nulio kiekiu. Formulę (1) galima užrašyti kompaktiškiau, kad galėtum įvesti virazą (duoti tarp taškų (Koristinėjant galima rašyti) Pažymėję virazą, ką stovėti prie skliaustų, per e galėsime de z yra J, Du ir dešiniajame nulyje, pvz., J 0 і Du 0 arba trumpesnis, pvz., p 0. Formulė (1), kuri išreiškia proto diferencinę funkciją z = f(xt y) y taškas (x, y) , dabar galima parašyti iš pirmo žvilgsnio Taigi 6.1 požiūrio taške funkcija r = /(x, y) yra diferencijuota dešimtainiu tašku, tada ji yra tolydi taške tsij, o tai patvirtina J prieaugius ir D argumentų, gali būti pavaizduoti vaizde (reikšmės L, B tam tikram konstantos taškui; seka žvaigždės, o Rest reiškia, kad taške (w, y) funkcija g b) , y) yra diferencijuota ties duotasis taškas, mo akis s.ieet taške qiy privatus panašus $§ i. Tegul funkcija z = / (x, y) yra diferencijuota taške (x, y). augimo Dx, Ay argumentai, matote (1). Paėmę lygybę (1) Dx F 0, Dn = 0, atimame žvaigždes Taigi, kaip dešinėje likusios lygybės pusėje, reikšmė A nėra vіd, Tse reiškia, kad taške (x, y) tai yra privati santykinė funkcija r \u003d / (x, y) pagal x, be to, keičiame dviprasmiškumą (x, tai iš tikrųjų yra privati panaši funkcija zy, be to, seka teoremos Z, bet tai pagrįsta, kad 5 teorema patvirtina privataus panašumo egzistavimą tik taškuose (x, y), bet neįmanoma kalbėti apie nuolatinius y taškus, taip pat apie mano elgesį šalia taško (x, y) 6. 2 pakankamai galėjo žinoti funki kіlkohh zmіnnyyi, Shaho diferencialo ™ ™ Yak vіdomo, poreikis kvėpuoti і и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и и отні итні стоціїї ї и отной отнілі итцій х0 dekіlkoh zmіnnyh, dešinėje yra gerokai sulankstytas: nėra būtinų ir pakankamų diferencijavimo minčių, tačiau funkcijai z \u003d / (x, y) du nepriklausomi pakeitimai x, y; diferencinis funkcijų pobūdis pakeitimų skaičius pasireiškia puolamąja teorema str. x, y teorema diferencijuota taškuose (x- Pažvelkime į funkciją rivatnі diferencialai Pokhіdnі sulankstymo funkcijos Vaughn priskiriamas visur ™ duotosios funkcijos taške 0(0,0), mes žinome, o didinant tsієї paryškiname 0 і Du 0. Padėkime D0. Formulėms (1) galime apskaičiuoti funkciją / (x, y) \u003d nediferencijuota taške 0 (0,0), nors ir gali būti ts_y taške robimo fa ir f "r f "t atskiri taškai § 7. Naujas diferencialas Privatūs diferencialai Kadangi funkcija g - f (z> y) yra diferencijuota, tai її stilistiškai diferencialinė dz yra labiau pažengusi diferencialinė funkcija nepriklausomiems pokyčiams, pritaikius skirtumus jų skirtumams: Ši formulė kaip pavyzdys naudojamas suminis funkcijos diferencialas. Tegul i - 1l (x + y2). Funkcijos z = f(x, y) diferencialas kintančio x atžvilgiu; її privačių skirtumų suma: Reikšminga, daugiau zbіlshennya Az funkcijų z = / (w, y), vzagalі atrodo, o ne dorіvn yuє privačių priedų sumos. Jei taške (i, y) diferencijuota funkcija = /(w, y), o diferencialas dz FD taške tsij, tai її visas prieaugis prie jo tiesinės dalies pridedamas tik prie likusių priedų aAx sumos 4- /? i Ay --» Apie be galo mažą bendrą užsakymą, apatinį linijinės dalies sandėlį. Todėl, kai dz Ф 0, tiesinė diferencijuotos funkcijos padidėjimo dalis vadinama pagrindinės funkcijos padidėjimo dalimi ir koralizuojama pagal apytikslę formulę, nes ji bus tikslesnė, tuo mažesnė bus absoliuti reikšmė. argumentų gausėjimas. §aštuoni. Kitos lankstymo funkcijos 1. Tegul funkcija yra priskirta realiame plote D xOy plokštumoje, be to, oda pakeičia w, savo tiesėje, argumento t funkciją: Tarkime, kad keičiant t intervale tarp sričių D. Jei prie funkcijos z = / (w, y) pridėsime reikšmę, tai imsime vieno pokyčio t lankstymo funkciją. M Taip t prieaugis Dt. 2 + (Dy)2 Ф 0 funkcija z taip pat atima Dg prieaugis, nes dėl funkcijos z = /(x, y) diferenciacijos y taškas (x, y) gali būti pavaizduotas vaizde de a) pakeisti nulį, kai nulis Ax ir Du. Žymiai і /3 ties Ax \u003d Ay \u003d 0, poklavshi a Todі a (jie bus nepertraukiami, kai J \u003d Dy \u003d 0. Galime pažvelgti į skirtumą Maєmo Odos priede ^ dešinėje dalyje (2). ) įžeidimų spіvdaugikliai gali būti tarp kai jis yra veiksmingas, privačiai pokhіdnі і ^ esant nurodytai є konstantai, dėl psichinės priežasties tarp vėlesnių priežasčių ^ i taške £ funkcijų x = y(t) tęstinumo ir y = į ties 0, kad būtų perkeltas į nulį, dešinė lygybės (2) dalis esant 0 maє tarp, lygi Vidurkis, існє ties 0 і tarp kairiosios dalies (2), t. (2) iki ribos ties -» 0, otrimuєmo nebhіdnu formulė Y okremu vpadku, jei, tada, z є sulankstoma funkcija vіd w, otrimuєmo U formulė (5) є privati pokhіdna funadііg \u003d / w) , skaičiuojant kaip y tariamas / (w, y) argumentas y priimamas A є pokhіdna funkcija z nepriklausomam zmіnnoy w, kai skaičiuojama kaip y y viraz / (w, y) nebepriimama kaip postiyna, bet yra gerbiama pagal savo funkciją vіd f: y \u003d tp (x) t ir todėl pūdymas z vіd g yra apdraustas. užpakalis. Žinokite і jg, yaksho 2. Dabar pažvelkime į daugelio pakeitimų sulankstomų funkcijų diferenciaciją. Tegul jūsų eilutėje yra taip leistina, kad taške (() galima nepertraukiamai privatūs nuostoliai, 3?" funkcija z = z(() y) y taške t7) gali būti blogesnė ir u, і žinoma būk kitoks, tuo blogiau. Su pagarba, scho vіdok vіd vyvchennogo іstotno ne vіdіznyаєєє. Iš tiesų, diferencijuojant z pagal draugo £, nepriklausomas pokytis rj imamas postina, po kurio šios operacijos metu jie tampa to paties pokyčio w" = c), y = c) funkcijomis, kai Formulė (3) parodyta, vikoristovuyuchi formulė (3) ir formaliai pakeičiant nіy pokhіdnі § і ^ ant pokhіdnі і vіdpovіdno, otrimaєmo Analogiškai žinomas užpakalis. Yakscho sulankstomas funktsіya "atsižvelgiant formulė taip mokyklų mainai tada, kai vikonannі vіdpovіdnih protai maєmo turi okremomu vipadku, jei i = de Privatnі pohіdnі geometrinis zmіst Asmeninis pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії dekіlkoh zmіnnih Neobhіdnі Minds diferentsіynostі funktsії Dostatnі Minds diferentsіynostі funktsіy dekіlkoh zmіnnih Povny diferentsіal Pohіdnі skladnoї funktsії gal čia t-povna. privati atsitiktinė funkcija i pagal nepriklausomą pokytį x, kuri yra visiškai nepriklausoma nuo i x, įskaitant i per z = z (x, y), a ^ yra privati išvestinė.
1°. Vypadok one nezalezhnaya zminnoy. Lyg z = f (x, y) yra funkcija, kuri diferencijuoja, argumentai x ir y, kaip jūsų eilutėje - atskiriančios nepriklausomo pokyčio funkcijas t: , tada panašios lankstymo funkcijos 
galima apskaičiuoti pagal formulę
užpakalis. Žinok, yakscho, de.
Sprendimas. Pagal (1) formulę galime:
Užpakalis. Kad žinočiau privačiai, aš pasiklysiu ir vėl pasiklysiu, pvz 
.
Sprendimas. .
Remdamiesi (2) formule galime daryti prielaidą 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Nagi z=f(x;y)- dviejų pamainų funkcija Xі y, odos funkcija t:x=x (t), y =y (t). Kuris turi funkciją z=f(x (t);y (t))є vieno nepriklausomo pakeitimo sulankstymo funkcija t; pakeisti x ir y – tarpiniai pokyčiai.
Teorema. Jakšo z == f(x; y) – diferencijuoti taškais M(x; y)D ta funkcija x =x (t)і adresu =y (t)- funkcijos, kurias išskiria nepriklausomas t, tada tai yra sulankstoma funkcija z(t) == f(x (t);y (t)) apskaičiuoti pagal formulę
|
|
Okremy vipadok:z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x;y (x)) - vieno nepriklausomo pokyčio sulankstoma funkcija X. Tsej vpadok veda į priekį, be to, gyvatės vaidmuo t pilka X. Pagal (3) formulę gali būti:
.
Likusi formulė skamba lygiai tos pačios formulės
Karštas kritimas:z = f(x;y), de x =x (u;v),y=y (u;v). Todi z = f(x (u;v);y (u;v)) - suardoma nepriklausomų pokyčių funkcija іі v.Її privatus pokhіdnі gali būti žinomas, vikoristovuyuchi formulė (3) įžeidžiantis rangas. Sutvarkęs v, pakeisti į nіy, vіdpovіdnymi privačiai
Tokiu būdu lankstymo funkcija (z) yra panaši į nuo odos nepriklausomą pokytį (іі v) geresnė privačių panašių funkcijų darbų suma (z) tarpiniams pokyčiams (x ir y) savo kelionėse dėl didelio nepriklausomo vėjo malūno (u ir v).
Visoms svarstymoms formulė yra teisinga
(Suminio skirtumo invariancijos galia).
užpakalis. Žinokite ir kaip z = f(x, y), de x = uv,.
Sprendimas. Zastosovuyuchi formules (4) ir (5) imame:
užpakalis. Parodykite, kad funkcija įvykdyta 
.
Sprendimas. Funkcija deponuoti vіd х і y per tarpinį argumentą, taigi
Pristatant privačias keliones į kairiąją upės dalį, matimemo:
Tai yra, funkcija z tenkina duotą lygtį.
Pokhіdna šioje tiesioje linijoje, kuri gradієnt funkcija
1°. Pokhіdna funkcijas pas ką tiesiogiai. Pokhidny funkcijos z= f(x, y) pas ką tiesiogiai paskambino 
de i - funkcijos reikšmė taškuose i . Kadangi funkcija z yra diferencijuota, formulė yra teisinga
de - kuti mizh tiesiai į priekį l o koordinačių ašių pagalba. Pokhіdna kieno tiesiogiai apibūdina funkcijos pokyčių greitį, kam tiesiogiai.
užpakalis. Žinokite tikslią funkciją z = 2x 2 - Zu 2 taške P (1; 0) y tiesiai į priekį, kad nustatytumėte OH pjūvio aukštį 120 °.
Sprendimas. Leiskite mums žinoti privačias funkcijos reikšmes ir taško P reikšmę.
užpakalis. Žinok, yakscho, de.
Sprendimas. Pagal (1) formulę galime:
užpakalis. Kad žinočiau privačiai, aš pasiklysiu ir vėl pasiklysiu, pvz 
.
Sprendimas. .
Remdamiesi (2) formule galime daryti prielaidą 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Nagi z = f(x; y) – dviejų pamainų funkcija Xі y, odos funkcija
nepriklausoma kasykla t: x = x(t), y = y(t). Kuris turi funkciją z=f(x(t); y(t))є
vieno nepriklausomo pakeitimo lankstymo funkcija t; pakeisti x ir y – tarpiniai pokyčiai.
Teorema. Jakšo z == f(x; y) – diferencijuoti taškais M(x; y) D funkcija
і x = x(t)і adresu =y(t) – funkcijos, kurias išskiria nepriklausomas t,
tada tai yra sulankstoma funkcija z(t) == f(x (t); y (t)) apskaičiuoti pagal formulę
 | (3) |
Okremy vipadok: z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x; y(x)) – vien sulankstoma funkcija
nepriklausoma kasykla X. Tsej vpadok veda į priekį, be to, gyvatės vaidmuo
t pilka X. Pagal (3) formulę gali būti:
.
Likusi formulė skamba lygiai tos pačios formulės
Karštas kritimas: = f(x;y), de x = x(u;v), y=y(u;v). Todi z = f(x(u;v); y(u;v)) – sulankstomas
nepriklausomų pokyčių funkcija іі v.Її privačios kelionės ir galite žinoti
vikoristo formulė (3) tokiu būdu. Sutvarkęs v, pakeisti niy,
Vidpovіdnimi privatus
Tokiu būdu lankstymo funkcija (z) yra panaši į nuo odos nepriklausomą pokytį (іі v)
daugiau privačių panašių funkcijų darbų suma (z) viduriui
pasikeitė (x ir y) savo kelionėse dėl didelio nepriklausomo vėjo malūno (u ir v).
Visoms svarstymoms formulė yra teisinga
(Suminio skirtumo invariancijos galia).
užpakalis. Žinokite ir kaip z = f(x, y), kur x = uv, .
Nedaugelio žmonių funkcijoms vadovauja privačios šventės. Reikšmingumo taisyklės yra lygiai tokios pačios kaip ir vieno kintamojo funkcijoms, vienintelis skirtumas yra tas, kad į vieną iš kintamųjų pėdsakų atsižvelgiama diferenciacijos pagal konstantą (pastovų skaičių) momentu.
Formulė
Privačios dviejų kintamųjų $ z (x, y) $ funkcijos datos įrašomos sekančiame žvilgsnyje $ z "_x, z"_ y $ ir vadovaukitės formulėmis:
Privačių švenčių pirmas užsakymas
$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$
$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$
Privačios kelionės kita tvarka
$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$
Zmishana yra gera
$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$
Privačios saugyklos sulankstymo funkcija
a) Tegul $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, tada panašios lankstymo funkcijos vyks pagal formulę:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
b) Tegul $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, tada pakartokite šias privačias funkcijas po formulės:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$
Privačių švenčių netiesiogiai apibrėžtos funkcijos
a) Tegul $ F(x,y(x)) = 0 $, tada $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
b) Tegul $ F (x, y, z) = 0 $, tada $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$
Taikyti tirpalą
| užpakalis 1 |
| Raskite pirmos eilės privačias reikšmes $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ |
| Sprendimas |
|
Privataus kintamojo vertei $ x $ naudosime $ y $ kaip pastovią reikšmę (skaičius): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x + 4y $$ Privačios funkcijos vertė, palyginti su $ y $, $ y $ yra reikšminga konstanta: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Jei nedrįstate sulaužyti savo užduoties, priverskite jogą prieš mus. Mums reikia išsamesnio sprendimo. Galite sužinoti apie skaičiavimo eigą ir atimti informaciją. Tse dopomozhe kas valandą imtis salėje iš vikladach! |
| Vidpovidas |
| $$ z"_x = 2x + 4y; z"_y = -2y + 4x $$ |
| užpakalis 2 |
| Raskite privačias panašias funkcijas kita tvarka $ z = e ^ (xy) $ |
| Sprendimas |
|
Tuo pačiu būtina žinoti pirmąjį žingsnį, o vėliau juos žinant galima žinoti ir kitos eilės žingsnius. Svarbi $ y $ konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Dabar įdėkime $ x $ pastovią vertę: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Žinodami pirmąjį pokhіdnі, panašiai žinome ir kitus. Mes įdiegiame $ y $ visam laikui: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nustatyti $ x $ konstantą: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Dabar aš praradau žinias apie zmіshanu pokhіdnu. Galite atskirti $ z"_x $ $ y $ atžvilgiu arba galite atskirti $ z"_y $ $ x $ atžvilgiu pagal teoremą $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Vidpovidas |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| užpakalis 4 |
| Tegul $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ pateikia numanomą funkciją $ F (x, y, z) = 0 $. Žinokite privačius pirmos eilės įvykius. |
| Sprendimas |
|
Funkciją rašome tokiu formatu: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Vidpovidas |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
