Fonksiyona iki şekilde bakalım:
$x$ ve $y$ değişim parçaları bağımsızdır, böyle bir işlev için özel bilgilerin anlaşılmasını sağlamak mümkündür:
$x$ değişikliği için $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ noktasındaki $f$ özel işlevi -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \sağ))(\Delta x)\]
Aynı şekilde, $y$'lık bir değişiklik için özel bir ücret atayabilirsiniz:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \sağ))(\Delta y)\]
Başka bir deyişle, bazı değişikliklerin özel işlevlerini bilmek için, değişiklik kararını düzeltmek gerekir, krіm shukanoї ve sonra değişikliğin fiyatı için zvichaynu pokhіdna'yı bileceğiz.
Böyle zavallıları saymanın ana püf noktası gibi görünüyor: sadece her şeyin değiştiğini hesaba katın, krym tsієї, є sabit, ardından işlevi, “tekili” - bir zminnoy ile farklılaştıracak şekilde farklılaştırın. Örneğin:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \sağ))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) ) )) \sağ))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\sol(x \sağ))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \sağ))_(y))^(\prime )=((\sol(((x)^(2)) \sağ))^( \ asal ))_(y)+10x\cdot ((\sol(y \sağ))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(hiza)$
Farklı değişikliklerden özel tatil verilmesinin normal olduğu aşikardır. Neden anlamak daha önemlidir, diyelim ki, ilkinde sakince 10y $ z-pid kötü bir işaret olarak ücretlendirildik ve diğerinde - ilk eklentiyi sıfırladık. Her şey, bir tür farklılaşma için tüm harflerin, krіm zminnoi'nin sabitler tarafından saygı gördüğü şekilde tasarlanır: suçlanabilir, tükürülebilir, vb.
"Özel eğlence" nedir?
Bugün birkaç değiştiricinin işlevlerinden ve içlerindeki özel tatillerden bahsedeceğiz. Her şeyden önce, birkaç yer değiştirmenin işlevi nedir? Ne zamana kadar $y\left(x \right)$ veya $t\left(x \right)$ gibi bir işlevi girmek için çağırdık ya da içindeki bir veya aynı işlevi değiştirin. Artık bizde sadece bir fonksiyon olacak ve çaça değişimi olacak. $y$ ve $x$'ı değiştirirseniz, işlevin değeri değişecektir. Örneğin, $x$ iki katına çıkarsa, işlevin değeri değişir, $x$ değişir, ancak $y$ değişmezse, işlevin değeri kendini değiştirir.
Değişkenlerden birinde olduğu gibi bir dizi değişken şeklindeki fonksiyonun türevlenebileceği anlaşıldı. Ancak, oskіlki zmіnnykh kіlka, o zaman farklı zmіnnyh'den ayırt etmek mümkündür. Kimin için, bir değişikliği ayırt ederken aynı olan belirli kurallar suçlanır.
Her şeyden önce, eğer fonksiyonlarımızı kaybetmek istiyorsak, eğer bir şekilde değişkensek, o zaman ne tür bir değişiklikten ayrılmamız gerektiği için suçluyuz - bu yüzden buna özel bir karmaşa deniyor. Örneğin, iki farklı fonksiyonumuz var ve $x$ gibi її'yi düzeltebiliriz, yani $y$ zminnyh'in dış görünümüne benzeyen iki özel fonksiyondur.
Farklı bir şekilde, eğer zminnykh'lerden birini sabitlersek ve ondan sonra özel olarak saygı duymaya başlarsak, o zaman fonksiyon fonksiyonuna giren diğer her şeye sabitler tarafından saygı duyulur. Örneğin, $z\left(xy \right)$, özel olarak $x$'ın üzerine çıkmamız önemli olduğundan, o zaman, gözlerini kısarak, yarı-basitçe $y$, sabit olmak ve kendi başına ele alınmak için önemlidir. sabit olarak. Zokrema, kötü şeyleri sayarken, pranga için $y$'ı suçlayabiliriz (bir sabitimiz var) ve kötü parayı sayarken, burada olduğu gibi, $y$'ın intikamını almak ve $x$'ın intikamını almamak bir virüs gibidir. , o zaman iyi bir sabit gibi virazu dorovnyuvatime "sıfır" iyidir.
İlk bakışta, bunu size katlanmış bir şekilde anlattığımdan kurtulabilirsiniz ve birçok öğrenci koçanın üzerinde başıboş kalır. Özel olanlar arasında doğaüstü hiçbir şey yoktur ve belirli görevlerin kıçından değişiyoruz.
Radikallerden ve zengin üyelerden sorumlu
1 Numaralı Yönetici
Bir saat kaybetmemek için ağlayın, koçanın başından itibaren ciddi izmaritlerle başlayacağız.
Yeni başlayanlar için aşağıdaki formülü tahmin ediyorum:
Bu, standart kurstan bildiğimiz gibi standart tablo değeridir.
Birinin $z$'ı şu şekilde kullanması iyi olur:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)\]
Bir kez daha, kökün altındaki kırıkların maliyeti $x$ değil, başka bir viraz, bu durumda $\frac(y)(x)$, sonra standart tablo değerlerini hızlandırırız ve sonra, altındaki kırıklar köklerin maliyeti $x $ değil, başka bir viraz, bir viraz için harcamalarımızı diğer viraz için çarpmamız gerekiyor. Koçanın üzerine basmaya başlayalım:
\[((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Virazu'muza dönelim ve şunu yazalım:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \sol(-\frac(y)(((x)^(2))) \sağ)\]
Her şey prensipte. Ancak, її'yi böyle bir bakışta bırakmak yanlış: böyle bir yapıyı uzaktakiler için yenmek kullanışlı değil, o yüzden bir önemsemeyelim:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \sağ)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vidpovid bulundu. Şimdi $y$ ile ilgilenelim:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)\]
Vipishemo okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]
Şimdi yazıyoruz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Her şey darmadağın.
2 Numaralı Yönetici
Bu popo bir kerede daha basit ve daha katlanır, öne doğru. Daha katlanabilir, burada daha fazla eylem var, ancak daha basit, burada kök yok, ayrıca fonksiyon $x$ ve $y$, tobto ile simetrik. $x$ ve $y$'ı görev olarak hatırladığımız için formül değişmiyor gibi görünüyor. Özel harcamaların ödenmesi için bu saygının affedilmesi gerekiyordu, tobto. Bunlardan birine zarar vermek yeterlidir, diğerinde ise fırçalarla birlikte $x$ ve $y$'ı hatırlamanız yeterlidir.
Gelelim konuya:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ sağ ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \sağ)-xy((\sol(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ) )_(x))(((\sol(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))\]
Haydi heyecanlanalım:
\[((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \sağ))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Prote böyle bir cehalet kaydını zengin bir şekilde öğrenir, ekseni şöyle yazacağız:
\[((\sol(xy \sağ))^(\prime ))_(x)=((\sol(x \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\sol(y \sağ))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Bu sıralamada, bir kez daha özel akrabaların algoritmasının evrenselliğine geçiyoruz: onları umursamadılar, tüm kurallar doğru ayarlanmışsa, kendiniz olacaksınız.
Şimdi harika formülümüzün bir özel numarasına daha bakalım:
\[((\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \sağ))^(\prime ))_(x)+((\sol(((y)^(2)) \sağ))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Formülümüze olan bağımlılığı ortadan kaldırdığımızı ve ortadan kaldırdığımızı varsayalım:
\[\frac(((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ sağ)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ)-xy\cdot 2x)(((\left(((()) ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \sağ))(((\ sol(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\frac(y\sol(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \sağ))((\sol(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2 )))\]
$x$ eski haline getirildi. Ve aynı virazda $y$'ı düzeltmek için, aynı diy dizisini değil, daha ziyade canlı virazımızın simetrisiyle vikonuvat yapalım - sadece canlı virazımızda $y$'ın tamamını $x$ ve navpak ile değiştirelim :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\sol(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \sağ))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))\]
Simetrinin rahunok'u için, tüm virazı zengin bir şekilde övdüler.
nüans kiraz
Özel olanlar için, özel olanlar için en iyisi olan tüm standart formüller kullanılır, ancak aynısı özel formül için de geçerlidir. Ancak bununla kendi özel özelliklerini suçlarlar: $x$'a özel olarak saygı gösterirsek, o zaman $x$ için її alırsak, o zaman onu bir sabit olarak kabul ederiz ve buna її daha pahalı "sıfır"a benzer .
Gibi ve aynı zamanda en önemli pokhіdnymi ile özel (bir ve aynı) bir kіlkom'u farklı şekillerde bozabilirsiniz. Örneğin, çok alkışlanan aynı yapı şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[((\sol(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\sol(\frac(1)(x) \sağ)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Bir kerede bunlar hakkında, diğer taraftan, formülü geçici bir miktar şeklinde yenebilirsiniz. Bildiğimiz gibi, ölülerin daha pahalı meblağları var. Örneğin şunu yazalım:
\[((\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Şimdi her şeyi bilerek, daha ciddi kullanımlarla geliştirmeye çalışalım, doğru özel hilelerin parçaları sadece zengin terimler ve köklerle çevrili değildir: orada trigonometri, logaritma ve görüntüleme işlevleri kullanılır. Şimdi meşgul olalım.
Trigonometrik fonksiyonlar ve logaritmalarla görev
1 Numaralı Yönetici
Aşağıdaki standart formülleri yazıyoruz:
\[((\sol(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\sol(\cos x \sağ))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Bu bilgiye hakim olduktan sonra, ayeti deneyelim:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\sol (\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo bir değişiklik yaz:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Tasarımımıza dönün:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \sağ)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Hepimiz $x$'ı biliyoruz, şimdi de $y$'ı hesaplamaya başlayalım:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\sol (\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
Biliyorum, korkarım bir viraz:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \sağ)\]
Günün sonuna dönelim ve görmeye devam edelim:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Her şey darmadağın.
2 Numaralı Yönetici
İhtiyacımız olan formülü yazalım:
\[((\sol(\ln x \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Şimdi $x$ için üzgünüm:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\sol(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \sağ)=\frac(1)(x+\ln y)\]
$x$ için bulundu. $y$ için önemli:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\sol(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \sağ)=\frac(1)(y\sol(x+\ln y \sağ))\ ]
Görev bitti.
nüans kiraz
Daha sonra fonksiyonların özel alınmaması nedeniyle, trigonometri, kök veya logaritma ile çalışıp çalışmadığına bakılmaksızın kuralların üzerine aynı kişiler yazılır.
Klasik çalışma kuralları her zaman standart olanlarla değiştirilir ve aynı zamanda perakende, özel ve katlanabilir işlevlerin toplamıdır.
Formülün geri kalanı en çok günün sonunda özel tatillerle toplantı bittiğinde açıklanır. Mi zustrіchaєmosya onlarla pratik olarak skrіz. Henüz bir şehir yöneticisi çıkmadı, o yüzden oradan çıkmıyoruz. Ancak formülle kıvranmadıysak, yine de bir fayda daha elde ederiz ve kendimiz için, özel yürüyüşlerle çalışmanın özelliği. Yani bir değişikliği düzeltiriz, çizgiler sabittir. Zocrema, özel olarak kaybolan $\cos \frac(x)(y)$ $y$ virüsünü dikkate aldığımız için, $y$'ın kendisi değiştirilir ve $x$'ın üzerine bir sabit yazılır. Aynı uygulama ve navpaki. Її kötü işaret için suçlanabilir, ancak sabitin kendisi daha çok “sıfır” gibi olduğu için kötü.
Her şey bir ve aynı virazın özel görünüşleri noktasına getirilmelidir, ancak farklı değişikliklerden farklı görünebilirler. Örneğin, böyle bir viraziye hayret etmek:
\[((\sol(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Gösterici işlevler ve logaritmalarla görev
1 Numaralı Yönetici
Aşağıdaki formülü yazalım:
\[((\sol(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Bu gerçeği bilerek, katlanabilir fonksiyonların yanı sıra korkutmaya çalışabiliriz. Aynı anda iki farklı yola inanıyorum. İlk ve en belirgin olanı işin maliyetidir:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
Şu virazı görelim:
\[((\sol(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .((((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2)) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Şimdi tasarımımıza dönelim ve onu görmeye devam edelim:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\sağ)\]
Her şey, $x$ karşılanır.
Ancak dediğim gibi aynı zamanda mahremiyetimi farklı bir şekilde korumaya çalışacağız. Kimin için saygıyla:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Bunu şöyle yazıyoruz:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )))\cdot ((\sol(x+\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \sol(1+\frac(1)(y) \sağ)\]
Sonuç olarak, aynı miktarda parayı aldık ve koruyucu, daha küçük olanı olarak ücretlendirildi. Toplu işi kimin bitireceğini, gösteriyi bitirdiğinizde ekleyebileceğinizi unutmayın.
Şimdi $y$ için üzgünüm:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
Bir viraz okremo söyleyelim:
\[((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Dış tasarımımızın versiyonunu satıyoruz:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2)) )) \sağ)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Yolumu başka bir şekilde kaybedebileceğimi, kendim de böyle görünebileceğimi anladım.
2 Numaralı Yönetici
$x$ için siktir et:
\[(((z)")_(x))=((\sol(x \sağ))_(x))\cdot \ln \sol(((x)^(2))+y \sağ )+x\cdot ((\sol(\ln \sol(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
Bir viraz okremo durduralım:
\[((\sol(\ln \sol(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\sol(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Dış tasarımın satılan çözümü: $$
Eksen çok net.
$y$ ile bilmek analoji için kayboldu:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \sağ))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \sağ)+x\cdot ((\sol(\ln \sol(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
Bir viraz, sorun değil, bir zavzhdi okremo gibi:
\[((\sol(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(y)=((\sol(((x)^(2)) \sağ) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuєmo virіshennya ana tasarımı:
Her şey kaplıdır. Bir bakit gibi, nadas, değişikliğin farklılaşma için nasıl alındığına bağlı olarak, kesinlikle farklı görünürler.
nüans kiraz
Yaskra ekseni, bir ve aynı işlevlerin iki farklı şekilde nasıl zarar görebileceğinin bir örneğidir. Merak edilecek eksen:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ)=( (\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\sol(((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ sol(1+\frac(1)(y) \sağ)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))).((e)^(\frac(x)(y))) \sağ)) ^(\prime ))_(x)=((\sol(((e)^(x+\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\sol(1+\frac(1)(y) \sağ)\ ]
Farklı yollar seçerken hesaplama farklı olabilir, ancak doğruysa, sorun değil, kendiniz görüyorsunuz. Fiyatlar, klasik ve sonrakilerin özeline layık. Kimden tekrar tahmin edeyim: nadas, sanki, ne değişiklik, iyi bir tane alacağım, o kadar. farklılaşma, vіdpovіd raznoyu zovsіm vyyti olabilir. harika:
\[((\sol(\ln \sol(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\sol(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\sol(\ln \sol(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\sol(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Tüm malzemeyi sabitlemek için Nasamkinets, iki izmarit düzeltmeye çalışalım.
Trigonometrik işlevli görev ve üç değişiklikli işlev
1 Numaralı Yönetici
Bu formülleri yazalım:
\[((\left(((a)^(x)) \sağ))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln bir\]
\[((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Şimdi virazımızı virishuvate edelim:
\[(((z)")_(x))=((\sol(((3)^(x\sin y)) \sağ))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo porahuemo böyle bir tasarım:
\[((\left(x\cdot \sin y \sağ))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ sol(\sin y \sağ))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Bu, $x$ özel değişikliğinin kalan miktarıdır. Şimdi $y$ için üzgünüm:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \sağ))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo bir viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \sağ))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ sol(\sin y \sağ))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Tasarımımızın sonuna Virishuemo:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
2 Numaralı Yönetici
İlk bakışta bu popo katlanabiliyor çünkü üç değişiklik var. Gerçekten de, bugünün video turu için en basit görevlerden biridir.
$x$ tarafından bilinir:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \sağ))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e))) ) ^(z)) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y)) ) )) \sağ))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Şimdi $y$'a bakalım:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \sağ))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\sol((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\sol (y \sağ))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Gerçeği biliyorduk.
Artık $z$'ı bilmek çok fazla:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \sağ))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \sağ))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \sağ))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Başka bir görevin vizyonunun tekrar tamamlandığı üçüncü pokhidna'yı övdük.
nüans kiraz
Bir bachit gibi, bu iki izmaritte katlanan bir şey yok. Her şeyi batırmamızın tek nedeni, katlanabilir işlevlerin genellikle durağan ve bayat olması, özel olarak utangaç olduğumuz için duruma göre değişmemiz gerekecek.
Görevin geri kalanında, üç farklı işlevin işlevlerini çözmemiz istendi. Tsomu'da korkunç bir şey yok, prote naprikintsі mi yolları geçti, bu koku bir tür ve tamamen tahriş oldu.
önemli anlar
Bugünkü video dersinden kalan notlar:
- Özel harcamalar sanki önemliymiş gibi dikkate alınır, özel harcamaları tek bir değişiklikle hesaba katmak için, bu fonksiyona dahil olan tüm değişikliklere karar vererek onları sabit olarak alırız.
- Pratsyyuyuchi'nin özel pokhіdnymi vikoristovuєmo sami standart formülleri, yak z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu özel, zrozumіlo, pokhіdnu katlanabilir işlevler yaratır.
Açıkçası, bir video dersini gözden geçirmek yeterli değil, böylece bu konuyu tekrar genişletebilirim, bu yüzden bir kerede sitemde, bu videodan önce, günün bu konusuna adanmış bir dizi görev var - gelin, zavantazhyte , vypishuyte, vіryapovytes'dir. Sonuçta, uyumak veya bağımsız çalışmak gibi özel olanlardan günlük sorunlarınız olmayacak. Açıkçası, bu modern matematikteki son dersten çok uzak, bu yüzden web sitemize gidin, VKontakte ekleyin, YouTube'a abone olun, beğeniler koyun ve bizi takip edin!
z - / (x, y) fonksiyonunun xOy düzleminde gerçek D bölgesine atanmasına izin verin. D alanında bir iç nokta (x, y) alalım ve x'in Ax'i iki katına çıkaralım, yani (x + Ax, y) 6D noktası (Şek. 9). Değer, z fonksiyonunun x'e göre özel artışı olarak adlandırılır. Referansın saklanması (x, y) noktası için referans, hedefin işlevidir. Ax için -* 0, son sınırın bir uzantısı ^ ise, bu sınır, bağımsız bir xy noktası (x, y) değişikliği için z = / (x, y) özel işlevi olarak adlandırılır ve jfc sembolü ile gösterilir ( aksi halde / i (x, jj ) ) veya z "x (x, Aynı sırada, atanan abo için aynıdır, Benzer şekilde, Yakshcho i n bağımsız değişimin bir fonksiyonudur, sonra Arz'ın hesaplandığını hatırlayarak bir sürekli değişim değeri ve ATZ ile - değiştirme x sabit bir değer ile, viznachennya Özel pohіdnih sformulyuvati mozhna böylece: Privatnі pohіdnі geometrik Sens Özel pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії kіlkoh zmіnnih Potrіbnі kafasında diferentsіynostі funktsії dekіlkoh zmіnnih) nazivaєtsya zvichayna pohіdna tsієї funktsії of x, obchislena pripuschennі scho y - postіyna;, y) nazivaєtsya її y için indirilebilir, ödenek üzerinden hesaplandı, sho x - kalıcı. i fonksiyonları r = /(x, y) y ts_y noktaları tüm argümanlara benzer şekilde private y noktaları fonksiyonunun sürekliliğini kanıtlamaz. Böylece fonksiyon 0(0,0) noktasında sürekli değildir. Ancak bu noktada fonksiyon private olarak atanabilir. Bunun nedeni, /(x, 0) = 0 і /(0, y) = 0 ve Geometrik anlamda özel benzer fonksiyonların iki değişen fonksiyonun aktif D alanında kesintisiz olması ve orada x ve y özel tatilleri olabilir. Mo(ho, yo) 6 D noktasındaki benzerlerinin geometrik değişiminin, böyle bir z = f(x)y) yüzeyinin f(x0)yo) noktasını gösterdiği açıktır. M0 özel noktası anlamlı olduğunda, z'nin yalnızca x argümanının bir fonksiyonu olması önemlidir, bu durumda y argümanı y = yo sabit değerini alır. fi(x) fonksiyonu geometrik olarak L eğrisi ile temsil edilir, böylece S yüzeyi bir y = y o düzlemi ile kaplanır. Bir değişken f \ (xo) = tg a, de a - cut, dotichnoї değişkeninin benzer bir fonksiyonunun geometrik anlamından, Ox satırından JV0 noktasında L hattına (Şekil 10). Ve böylece, bu şekilde, özel olarak ($ |) daha teğet açı ve orta genişlik Oh ve N0 noktasında dotik, z yüzeyinin çevresinde kesilmiş = / (x, y) y düzlemi Benzer şekilde, §6'yı alıyoruz. Çok değişkenli fonksiyonun diferansiyelliği z = /(x, y) fonksiyonunun xOy düzleminde gerçek D mesafesine atanmasına izin verin. Bir (x, y) € D noktası alalım ve x'in değerlerini seçelim ve diyelim ki Ah ve Du'nun artışları ama yine de bir nokta. Randevu. r = /(x, y) işlevine farklılaştırılmış * noktası (x, y) € 2E denir; bu, Dx, D y'de bir artış gösteren işlevin mükemmel bir örneğidir (ale vzagalі lie v_d xiy), ve a(Dx, Dy) і /? (Dx, Dy) Dx i Dy'nin sıfır olduğu varsayıldığında sıfıra. . Eğer z = /(x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenirse, o zaman fonksiyonun büyümesine göre A Dx 4-VD kısmına, Dx ve Du'nun lineer hızına üst diferansiyel denir. fonksiyonun (x, y) noktasında bulunur ve dz sembolü ile gösterilir: Tanim rank, butt. r = x2 + y2 olsun. Yak-yakіy noktasında (g, y) ve yak-yak Dx için Burada Du maєmo. Yani а і / 3, sıfıra giderken Dх і Du. Açıkçası, fonksiyon xOy düzleminde herhangi bir noktada türevlenir. Bununla ilgili olarak, dünyalarımızda, Dx'deki artış, Du porously veya sıfır miktarında küskünlük aşılamak için bu türden hiçbir resmi içerme olmaması saygındır. Formül (1) daha kompakt bir şekilde yazılabilir, böylece bir viraz girebilirsiniz (noktalar arasında verin (Koristing, yazabilirsiniz) Viraz'ı belirttikten sonra, parantezlerde ne durması gerektiğini, e ile yapabileceğiz. to de z, J, Du ve sağ sıfırda bulunur, J 0 і Du 0 veya daha kısa, p 0 gibi. Formül (1), zihnin diferansiyel fonksiyonunu ifade eder z = f(xt y) y noktası (x, y) , şimdi bir bakışta yazılabilir Yani, 6.1 bakış açısından r = /(x, y) fonksiyonu ondalık noktada türevlenir, o zaman tsij noktasında e süreklidir, bu da J'nin artışlarını doğrular ve D argümanları, görsel olarak temsil edilebilir (belirli bir sabit nokta için L, B değerleri; yıldızlar takip eder, bu, Dinlenme noktasında (w, y) gb fonksiyonunun , y) farklılaştığı anlamına gelir. verilen nokta, mo eye s.ieet qiy noktasında private $§ i'ye benzer. z = / (x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasında türevi alınsın. büyüme Dx, Ay argümanlarını görebilirsiniz (1). Eşitlik (1) alarak Dx F 0, Dn = 0, yıldızları alıyoruz Yani, kalan eşitliğin sağ tarafı olarak, A değeri vіd'de yatmaz, Tse, (x, y) noktasında olduğu anlamına gelir. x'e göre özel bir göreceli işlevdir r \u003d / (x, y), ayrıca belirsizliği değiştiririz (x, aslında zy'ye benzer özel bir işlevdir, ayrıca, teoremin Z'si aşağıdaki gibidir, ancak Teorem 5'in doğrulandığı doğrulanır yalnızca (x, y) noktalarında özel benzerin varlığını doğrular, ancak değişmez y noktalarından ve ayrıca (x, y) 6 noktasının çevresindeki davranışlarımdan bahsetmek imkansızdır. 2 funki kіlkohh zmіnnynyi, Shaho Differential ™ ™ Yak Vіdomo'yu yeterince tanıyabiliyor, nefes alma ihtiyacı her şeyden önce итцій х0 dekіlkoh zmіnnyh, sağda önemli ölçüde katlanır: gerekli ve yeterli farklılaşma zihinleri yoktur, ancak z \u003d / (x, y) işlevi için iki bağımsız değişiklik x, y; fonksiyonların diferansiyel doğası değişiklik sayısı saldırgan teoremi ile ortaya çıkar. Rivatnі diferansiyeller Pokhіdnі katlama işlevleri Vaughn her yere atanır ™ noktasında verilen işlevler 0(0,0) bildiğimiz ve artırarak 0'dan Du 0'a keskinleştiğini. Haydi D0. Formül (1) için, 0 (0,0) noktasında farklılaşmamış / (x, y) \u003d işlevini hesaplayabiliriz, ancak ts_y noktasında robimo fa ve f "r f "t olabilir ve ayrı noktalar § 7. Yeni diferansiyel Özel diferansiyeller g - f (z> y) işlevi türevlenirken, її stilistik olarak diferansiyel dz, diferansiyelleri farklılıklarına uyguladıktan sonra bağımsız değişikliklerde diferansiyel fonksiyondan daha gelişmiştir: fonksiyonun toplam diferansiyeli örnek olarak kullanılmıştır i - 1l (x + y2) z = f(x, y) fonksiyonunun x'i değiştirmeye göre diferansiyeli її özel diferansiyellerin toplamı: daha fazla zbіlshennya Az işlevleri z = / (w, y), vzagalі görünüyor, dorіvn değil yuє özel artışların toplamı. (i, y) noktasında = /(w, y) fonksiyonu türevlenirse ve tsij noktasındaki dz FD diferansiyeli ise, o zaman її toplam artış doğrusal kısmına yalnızca kalan eklemelerin toplamına eklenir aAx 4- /? i Ay --» Sonsuz küçük toplam sipariş hakkında, lineer parçanın alt deposu. Bu nedenle, dz Ф 0 olduğunda, türevlenen fonksiyondaki artışın lineer kısmı, fonksiyondaki artışın baş kısmı olarak adlandırılır ve yaklaşık formül ile bağdaştırılır, daha doğru olacağından, mutlak değerde daha küçük olacaktır. argümanların artması. §8. Diğer katlama fonksiyonları 1. Fonksiyonun xOy düzleminde D gerçek alanında atanmasına izin verin, ayrıca, dış yüzey w'yi kendi satırında değiştirir, t argümanının fonksiyonu: Alanlar arasındaki aralıkta t'yi değiştirirken olduğunu varsayalım. D. z = / (w, y) fonksiyonuna değer eklersek, o zaman bir değişikliğin katlama fonksiyonunu alırız t. M Evet t artış Dt. 2 + (Dy)2 Ф 0 fonksiyonu z da alır Dg artışı, çünkü, fonksiyonunun türevinden dolayı z = /(x, y) y noktası (x, y) görselinde gösterilebilir de a) sıfır olduğunda Ax ve Du sıfıra değişir. Ax \u003d Ay \u003d 0'da önemli ölçüde bir і/3, poklavshi a Todі a (J \u003d Dy \u003d 0 olduğunda kesintisiz olacaklar. Sağ kısımda Maєmo Deri ekinde ^ farkına bakabiliriz (2 ) hakaret spіvmultipliers etkili olduğu zaman arasında olabilir, özel olarak verilen є sabiti için pokhіdnі і ^, daha sonrakilerin gerekçeleri arasındaki zihinsel nedenden dolayı ^ i noktasında fonksiyonların sürekliliği x = y(t) ve y = buna 0'da sıfır sıra hareket etmek için, eşitliğin sağ kısmı (2) 0 maє arasında, eşit Ortalama, існє'de 0'da sol kısım (2), yani ana eşit Eşitlikte geçiş (2) sınıra At -» 0, otrimuєmo nebhіdnu formülü Y okremu vpadku, eğer, o zaman, z є daraltılabilir işlev vіd w, otrimuєmo U formülü (5) є özel pokhіdna funadіg \u003d / (w , y) w tarafından , y'nin nasıl telaffuz edildiğini sayarken / (w, y) argümanı y kabul edilir Bağımsız bir zmіnnoy w için є pokhіdna işlevi z, ayy viraz olarak sayıldığında / (w, y) artık postiyna olarak kabul edilmez, ancak saygı duyulur kendi işleviyle vіd f: y \u003d tp (x) t ve bu nedenle nadas vіd g sigorta kapsamındadır. popo Biliyorum, yaksho 2. Şimdi birçok değişikliğin daraltılabilir işlevlerinin farklılaşmasına bakalım. Hattınızda o kadar kabul edilebilir olsun ki, (() kesintisiz olarak özel kayıplar mümkün olabilir, 3?" işlevinde z = z(() y) y noktası t7) daha kötü olabilir ve u, і bilinmektedir. daha kötüsü için farklı olmak. Saygılarımızla, scho vіdok vіd vyvchennogo vіdіznyаєєє değildir. Gerçekten de, bir arkadaşın £ 'ına göre z'nin türevini alırken, bağımsız rj değişimi postina için alınır, bundan sonra, bu işlem sırasında, aynı w" = c), y = c) değişiminin fonksiyonları haline gelirler. formül (3) gösterilir, vikoristovuyuchi formülü (3) ve resmen pokhіdnі § і ^ içinde pokhіdnі vіdpovіdno, otrimaєmo Benzer şekilde bilinen popo üzerinde değiştirilir. Yakscho katlanabilir funktsіya "Verilen formülü böylece eğer ben = de Privatnі pohіdnі geometrik zmіst Özel pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії dekіlkoh Neobhіdnі Minds Dostatnі Minds funktsії diferentsіynostі zmіnnih diferentsіynostі funktsіy dekіlkoh zmіnnih Povny diferentsіal Pohіdnі skladnoї, vikonannі vіdpovіdnih zihinleri okremomu vipadku sahip maєmo zaman sonra scho funktsії belki burada t-povna. i'den z'ye kadar = z (x, y) dahil olmak üzere x'teki i'den tamamen bağımsız olan x bağımsız değişimiyle özel bir rastgele fonksiyon i, a ^ özel bir türevdir.
1°. Vypadok bir nezalezhnaya zminnoy. Gibi z = f (x, y), kendi satırınızda olduğu gibi, x ve y argümanlarını farklılaştıran bir işlevdir - bağımsız bir değişimin farklılaşan işlevleri T: , sonra benzer katlama işlevleri 
formüle göre hesaplanabilir
popo Biliyorum, yakscho, de.
Çözüm. Formül (1) için şunları yapabiliriz:
popo Özel olarak bilmek için kaybolacağım ve tekrar kaybolacağım, tıpkı 
.
Çözüm. .
Formül (2) temelinde varsayabiliriz 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Haydi z=F(x;y)- iki vardiya fonksiyonu xі y, dermal fonksiyon t:x=x (t), y =y (T). hangisinin işlevi var z=F(x (T);y (T))є bir bağımsız değişikliğin katlama işlevi T; değiştirmek x ve y - ara değişiklikler.
teorem. Yakscho z == F(x; y) - noktalarda farklılaştırılmış M(x; y)D o işlev x =x (T)і de =y (T)- bağımsız olarak farklılaştırılan fonksiyonlar T, o zaman katlanabilir bir işlev z(T) == F(x (T);y (T)) formülle hesapla
|
|
Okremy vipadok:z = F(x; y), de y = y(x), tobto. z= F(x;y (x)) - bir bağımsız değişikliğin daraltılabilir işlevi X. Tsej vpadok öne çıkıyor, ayrıca yılanın rolü T gri X. Formül (3)'e uygun olarak:
.
Formülün geri kalanı çalıyor tam olarak aynı formüller
Sıcak düşüş:z = F(x;y), de x =x (sen;v),y=y (sen;v). Todi z = F(x (sen;v);y (sen;v)) - bağımsız değişikliklerin daraltılabilir işlevi іі v.Її özel pokhіdnі bilinebilir, vikoristovuyuchi formülü (3) saldırgan rütbe. Sabitlenmiş v, nіy içinde değiştirin, vіdpovіdnymi private
Bu şekilde, katlama işlevi (z) deriden bağımsız değişime benzer. (іі v) ara değişiklikler için özel benzer işlevlerin (z) çalışmalarının daha iyi toplamı (x ve y) büyük bir bağımsız yel değirmeni için yaptıkları gezilerde (u ve v).
İncelenen tüm görüşler için formül doğrudur
(Toplam diferansiyelin değişmezliğinin gücü).
popo Bil ve nasıl z = F(x, y), de x = uv,.
Çözüm. Zastosovuyuchi formülleri (4) ve (5), şunları alıyoruz:
popo Fonksiyonun tatmin olduğunu göster 
.
Çözüm. Ara argüman yoluyla vіd х і y yatırma işlevi, yani
Nehrin sol tarafına özel geziler göndererek, matimemo:
Yani, z fonksiyonu verilen denklemi sağlar.
Dereceli işlevi olmayan bu düz çizgide Pokhіdna
1°. Pokhіdna doğrudan kime çalışır. pokhіdny fonksiyonlar z= F(x, y) doğrudan kime isminde 
de i - fonksiyonun i noktalarındaki değeri. z fonksiyonu türevlendiği için formül doğrudur.
de - kuti mizh dümdüz ben ve koordinat eksenlerinin yardımıyla. Pokhіdna, doğrudan kimin içinde işlevdeki değişimin hızını doğrudan karakterize eder.
popo OH kesiminin 120 ° yüksekliğini ayarlamak için dümdüz ilerideki P (1; 0) y noktasında z = 2x 2 - Zu 2 fonksiyonunu tam olarak bilin.
Çözüm. Fonksiyonun private değerlerini ve P noktasının değerini bize bildirin.
popo Biliyorum, yakscho, de.
Çözüm. Formül (1) için şunları yapabiliriz:
popo Özel olarak bilmek için kaybolacağım ve tekrar kaybolacağım, tıpkı 
.
Çözüm. .
Formül (2) temelinde varsayabiliriz 
.
2°. Vipadok kіlkoh nezalezhnyh zminnyh.
Haydi z = f(x; y) - iki vardiya fonksiyonu xі y, cilt fonksiyonu
bağımsız maden t: x = x(t), y = y(t). hangisinin işlevi var z=f(x(t); y(t))є
bir bağımsız değişimin katlama işlevi T; değiştirmek x ve y - ara değişiklikler.
teorem. Yakscho z == F(x; y) - noktalarda farklılaştırılmış M(x; y) D işlev
і x = x(t)і de =YT) - bağımsız olarak farklılaştırılan fonksiyonlar T,
o zaman katlanabilir bir işlev z(t) == F(x(t); y(t)) formülle hesapla
 | (3) |
Okremy vipadok: z = f(x;y), de y = y(x), tobto. z= f(x; y(x)) - tek başına katlanabilir işlev
bağımsız maden X. Tsej vpadok öne çıkıyor, ayrıca yılanın rolü
T gri X. Formül (3)'e uygun olarak:
.
Formülün geri kalanı çalıyor tam olarak aynı formüller
Sıcak düşüş: = f(x;y), de x = x(u;v), y=y(u;v). Todi z = f(x(u;v); y(u;v)) - katlanabilir
bağımsız değişikliklerin işlevi іі v.Її özel geziler ve bilebilirsin
vicorist formülü (3) bu şekilde. Sabitlenmiş v, niy'de değiştir,
Vіdpovіdnimi özel
Bu şekilde, katlama işlevi (z) deriden bağımsız değişime benzer. (іі v)
orta için özel benzer işlevlerin (z) çalışmalarının daha fazla toplamı
değişti (x ve y) büyük bir bağımsız yel değirmeni için yaptıkları gezilerde (u ve v).
İncelenen tüm görüşler için formül doğrudur
(Toplam diferansiyelin değişmezliğinin gücü).
popo Bil ve nasıl z = F(x, y), burada x = uv, .
Özel tatiller az sayıda insanın işlevlerinin başında yer alır. Önem kuralları, tek değişkenli fonksiyonlarla tamamen aynıdır, tek fark, değişken izlerinden birinin türev anında bir sabit (sabit sayı) ile dikkate alınmasıdır.
formül
$ z (x, y) $ iki değişkenin işlevi için özel tarihler bir sonraki görünümde yazılır $ z "_x, z"_ y $ ve aşağıdaki formülleri izleyin:
Özel tatiller ilk sipariş
$$ z"_x = \frac(\kısmi z)(\kısmi x) $$
$$ z"_y = \frac(\kısmi z)(\kısmi y) $$
Farklı bir düzende özel geziler
$$ z""_(xx) = \frac(\kısmi^2 z)(\kısmi x \kısmi x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\kısmi y \kısmi y) $$
Zmishana iyidir
$$ z""_(xy) = \frac(\kısmi^2 z)(\kısmi x \kısmi y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\kısmi^2 z)(\kısmi y \kısmi x) $$
Özel depolama katlama işlevi
a) $ z(t) = f(x(t), y(t)) $ olsun, o zaman benzer katlama fonksiyonları aşağıdaki formülü izleyecektir:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
b) $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $ olsun, ardından formülden sonra aşağıdaki özel işlevleri tekrarlayın:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \kısmi y) \cdot \frac(\kısmi y)(\kısmi u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \kısmi y) \cdot \frac(\kısmi y)(\kısmi v) $$
Özel tatiller dolaylı olarak tanımlanmış fonksiyonlar
a) $ F(x,y(x)) = 0 $, sonra $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ olsun
b) $ F (x, y, z) = 0 $, sonra $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) olsun) ( F"_z) $$
Çözümü uygula
| popo 1 |
| Birinci mertebeden özel değerleri bulun $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ |
| Çözüm |
|
$ x $'daki özel bir değişkenin değeri için, sabit bir değer (sayı) olarak $ y $'ı kullanacağız: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $ y $'a göre özel bir işlevin değeri için, $ y $ bir sabitle önemlidir: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Görevini bozmaya cesaret edemiyorsan, bizden önce yogayı zorla. Daha detaylı bir çözüme ihtiyacımız var. Hesaplamanın ilerleyişi hakkında bilgi edinebilir ve bilgileri alabilirsiniz. Her saat başı vikladach'tan salonu alın! |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| popo 2 |
| Özel benzer işlevleri farklı bir sırayla bulun $ z = e ^ (xy) $ |
| Çözüm |
|
Aynı zamanda, ilk adımı bilmek gerekir ve daha sonra bunları bilerek, farklı bir düzenin adımlarını bilebilirsiniz. Önemli $ y $ sabiti: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Şimdi $ x $ sabit değerini koyalım: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ İlk pokhіdnі'yı bilmek, benzer şekilde başkalarını da tanıyoruz. $ y $'ı kalıcı olarak kuruyoruz: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ sabitini ayarlayın: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Şimdi zmіshanu pokhіdnu bilgisini kaybettim. $ z"_x $'ı $ y $'a göre ayırt edebilir veya $ z"_y $'ı $ x $'a göre türevlendirebilirsiniz, $ z""_(xy) = z""_(yx) teoremine göre ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| popo 4 |
| $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $, kapalı bir işlev $F (x, y, z) = 0 $ koysun. Birinci dereceden özel olayları bilin. |
| Çözüm |
|
Fonksiyonu şu biçimde yazıyoruz: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
