cebirsel eklemeler- Matris cebirini anlamak; A kare matrisinin aij öğesinin yüzüncü öğesi, aij öğesinin minörünün (1)i+j ile çarpımı olur; Aij atanır: Aij=(1)i+jMij, A= matrisinin de Mij minör elemanı aij, sonra. öncü... ... Ekonomik ve Matematiksel Sözlük

cebirsel uzantı- matris cebirini anlamak; A kare matrisinin aij öğesinin yüzüncü öğesi, aij öğesinin minörünün (1)i+j ile çarpımı olur; Aij atanır: Aij=(1)i+jMij, A= matrisinin de Mij minör elemanı aij, sonra. matris gösteren, … Dovіdnik teknik çeviri

Div at st. Vyznachnik… Büyük Radianska Ansiklopedisi

Minör M için, k mertebesinde M minöre eşit olan sayı, n mertebesindeki A kare matrisinin sayıları ile sekmelerin sayıları ile satırlarda dolaşan; Avikresluvannyam matrisinden alınan n k düzenindeki matris, minör M'deki satırlar ve sütunlar; Matematik Ansiklopedisi

Vikisözlük'te "ek" maddesi şu anlama gelebilir ... Wikipedia

Cennete kadar işlem, Mdan'ın çarpanı X'in çarpanının değerini ayarlar, değilse, zaten Mі N'yi biliyorsanız, o zaman başka bir şekilde kişisel olmayan X'i yenileyebilirsiniz. Ek olarak, ne tür bir yapı gereklidir? kişisel olmayan X ile donatılmıştır, ... Matematik Ansiklopedisi

Abo bir belirleyicidir, matematikte sayıların kaydı bir kare tablo gibidir; Daha da sıklıkla, vyznachnik anlayışı altında, vyznachnik, vyznachnik'in anlamı olarak uvazi'de olabilir, dolayısıyla onun kaydının biçimi. Collier Ansiklopedisi

Div'lerin taşınmazlığı teorisinden teorem hakkında. makale Moivre Laplace'ın yerel teoremi. Laplace teoremi lineer cebirin teoremlerinden biridir. Adını, formülüyle tanınan Fransız matematikçi Pier Simon Laplace (1749-1827)'den almıştır.

- (Laplacian matrisi) yardım matrisinin arkasındaki grafiklerden biri. Kirchhoff matrisi, belirli bir grafiğin (bir ağaç hakkındaki matris teoremi) iskeleti için ve ayrıca grafiklerin spektral teorisinde de muzafferdir. Zmist 1 ... ... Vikipedi

Eşitlikler, cebirde iki paralelin eşitliğini gösteren matematiksel paralellik olarak adlandırılır. Yeniden önce gelen bilinmeyenin kabul edilebilir anlamları için denklik adil ise, buna aynılık denir; örneğin, aklınızı spіvvіdshennya. Collier Ansiklopedisi

Kitabın

• Ayrık Matematik, A.V. Chashkin. 352 sayfa Kılavuz, ayrık matematiğin ana bölümlerinin 17 bölümünden oluşur: kombinatoryal analiz, çizge teorisi, Boole fonksiyonları, hesaplamalı katlama ve kodlama teorisi. İntikam...

bir satırın elemanlarının arkasında vyznnik

Daha fazla güç, küçük ve cebirsel eklemelerin anlaşılmasıyla bağlantılıdır.

Randevu. Küçük bir elemente viznnik denir, Pazar gününden sonra kaybolan elementlerin depolarıioh akarJth stovptsya, peretina yakikh є tsey öğesinde.İlkel öğenin küçük n-inci sıra sipariş verebilir ( n- 1). Yogayı üzerinden tanımlayalım.

örnek 1. Haydi Ayrıca .

Pazar günü A yolundan çıkmak için Cey minör diğer sıra ve üçüncü stovptsya.

Randevu. cebirsel eklemeler öğeye küçük, çarpmalar nat denir. , dei-sıra numarası iJ-Stovptsya, peretin üzerinde belirli bir unsur var.

VІІІ. (Üçüncü sıranın elemanları için vyznachnik'in düzenlenmesi). Cebire en üstteki eklemelerde mevcut satırın öğelerinin yaratımlarının en değerli toplamının imzacısı.

.

popo 2. Gitmeme izin ver

.

Örnek 3.İlk satırın öğelerinin arkasında yoga okuyan matrisin primatını biliyoruz.

Resmen, vyznachnikіv zastosovnі'nın bu іnshi otoritesinin teoremi hala sadece üçüncü dereceden daha yüksek olmayan vyznachnіv matrisleri içindir, іnshі vyznachniki'nin parçaları bizim tarafımızdan dikkate alınmamıştır. Randevunun gelişi, hangi sırayla olursa olsun, yöneticilerin gücünü genişletmenize izin verecektir.

Randevu. Vyznachnik matrisler A n'inci sıraya, cetvellerin diğer güçlerinin dağılımı hakkında teoremin art arda hesaplanması için sayılan sayı denir..

Bazı satırlar ve stovptsiv için böyle bir sırayla daha yüksek rütbeli yetkililer olacağından, hesaplama sonucunun bayat olamayacağına inanmak mümkündür. Vyznachnik randevusunun yardımı için açık.

Daha yüksek mertebenin değeri için açık formülün intikamını almak istemiyorsanız, daha düşük mertebeden matrislere giden yolu izlemenize izin vermiyorsunuz. Böyle bir atama denir tekrarlayan.

Örnek 4. Vyznachnik'i hesaplayın: .

Düzen ile ilgili teoremin herhangi bir satıra veya belirli bir matrise zastosovuvat olmasını istiyorsanız, mümkün olduğunca çok sıfırın intikamını almak için sütuna göre düzenlerken boşluk miktarını hesaplamak daha azdır.

Matrisin sıfır elemanı yoksa, onları ek güç için alıyoruz 7). İlk satırı sırayla (–5), (–3) ve (–2) sayılarıyla çarpın ve dodamo yogo'yu 2., 3. ve 4. satırlarla çarpın ve şunu alın:

Vznachnik'i ilk adıma göre düzenler ve alırız:

(1. sıradan (-4) hatası, 2. sıradan (-2), 3. sıradan - (-1) yetkili makamlardan 4)

(Oskіlki vyznachnik iki orantılı stovptsі intikamını alır).

§ 1.3. Deyakі matrisi ve їх vyzniki'yi görüyor

Randevu. kare m baş köşegeninin arkasında daha düşük veya daha yüksek olan bir matris, sıfır elemana sahiptir(=0 ne zaman i J, veya =0 i J) ismindeörme .

Їх şematik budova vіdpovіdno görünebilir: veya .

Burada 0, sıfır eleman ve daha fazla eleman anlamına gelir.

teorem. Kare bir triko matrisinin göstereni, baş köşegen üzerinde duran її öğelerine zengin bir ektir, yani.

.

Örneğin:

.

Randevu. Baş köşegeninin sıfır elemana sahip olduğu bir kare matrise denir.diyagonal .

Її şematik görünüm:

Baş köşegeninde sadece tek eleman bulunan köşegen matrise denir. yalnız matris. Vaughn ile gösterilir:

Tek matrisin göstereni 1 tobto'dan fazladır. E=1.

küçük matrisler

Hadi, bu kare matris A, n. sıra. Küçük deyago elemanı bir ij , matris n -inci sıra denir vyznachnik(n - 1) - inci sıra, ön tarafında a ij öğesinin bulunduğu bu sütunun hafta sonu satırının ardından silinmesi. M ij olarak belirlenmiştir.

Örneklere bir göz atalım matris 3 - sırayla yoga:

Todi zgidno atandı küçük, küçük M12 vyznachnik:

Kiminle, yardım için küçükler faturalandırmayı kolaylaştırabilirsin matris. yaymak gerekli matris arka arkaya ve sonra vyznachnik satırın tüm öğelerinin toplamını küçüklerine ekleyin. açılma matris 3 - sırayı şu şekilde görün:

Yaratılışın önündeki işaret eski (-1) n de n \u003d i + j.

Cebirsel eklemeler:

cebirsel eklemeler a ij elementine yoga denir küçük, "+" işaretiyle zі alarak, yani toplam (i + j) eşleştirilmiş bir sayıdır ve "-" işaretiyle zі, yani toplam eşleşmemiş bir sayıdır. A ij olarak belirlenmiştir. A ij \u003d (-1) ben + j × M ij.

Todi, daha büyük bir güce yeniden formüle etmek mümkündür. önemli matris belirli bir satıra daha fazla eleman ekle (satırlar veya satırlar) matrisler günlük şekilde cebirsel eklemeler. popo:

4. Ters matris ve її hesaplaması.

A kare olsun matris n. sıra.

Kare matris Ve onlara bakire olmayan denir, mesela matris(Δ = det A) sıfıra eşit değil (Δ = det A ≠ 0). Іnakşe (Δ = 0) matris Ve buna virojen denir.

Matris, müttefik matrisler Ah, denir matris

De A ij - cebirsel uzantı verilen bir ij elemanı matrisler(Aynen öyle görünüyor, benim gibi cebirsel uzantı eleman matris).

matris-1 denir serum matrisi A, yakscho vykonuetsya umova: A × A -1 \u003d A -1 × A \u003d E de E - tek matris ile aynı sırada matris FAKAT. matris A -1 maє sami razmіri, scho th matris FAKAT.

ters matris

kare nasıl kullanılır matrisler Aklı memnun eden X i A: X A \u003d A X X \u003d E, de E - tek matris aynı sırayla, daha sonra matris X denir kapı matrisi A i matrisine A-1 atanır. Be-yaka virojen olmayan matris Mayıs ters matris ve ondan önce, sadece bir tane, yani bunun için, schob karedir matris A küçük ters matris gerekli ve yeterli, schob її vyznachnik mektup vіdminny ve sıfır.

otrimanna için serum matrisi vikoristovuyut formülü:

De m ji dodatkovy küçük eleman bir ji matrisler FAKAT.

5. Matris sıralaması. Temel dönüşümlerin yardımıyla rütbenin hesaplanması.

Doğrusal bir mxn matrisine bakalım. Matriste k satır ve k sütun, 1 £ k £ min (m, n) olduğunu görebiliriz. Görülen sıraların ve stovptsivlerin peretinasında duran elemanlardan k-inci sırayı katlıyoruz. Bıyıklara matrisin küçükleri denir. Örneğin, bir matris için küçükleri farklı bir sırayla katlayabilirsiniz. birinci dereceden ta minör 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Randevu. Bir matrisin rankı, matrisin minörünün sıfırının üstten görünümünün en yüksek mertebesi olarak adlandırılır. r(A) matrisinin sırasını belirleyin.

Sivri uçta, matrisin sırası ikiye eşittir, örneğin küçük parçalar

Matrisin sırası, temel dönüşümler yöntemiyle manuel olarak hesaplanır. Temel dönüşümlerden önce aşağıdakileri eklemek gerekir:

1) satır permütasyonları (stovptsiv);

2) bir satırı (stovptsya) bir sayı ile çarpmak, sıfırı saymamak;

3) bir satırın (stovptsya) öğelerine bir sonraki satırın (stovptsya) karşılık gelen öğelerini ekleyerek, sayıyı günle çarparak ileri.

Qi dönüşümleri matrisin sırasını değiştirmez, yani 1) satırları yeniden düzenlerken, alternatör i'nin işaretini değiştirir, eğer şarap sıfıra eşit değilse, o zaman ben olmayacağım; 2) hakem satırı sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpıldığında, hakem tam sayı ile çarpılır; 3) Başlangıçtaki üçüncü temel dönüşüm göstereni değiştirir. Bu şekilde, temel dönüşüm matrisi üzerinde viroblyayuchee, sıralamasını hesaplamanın kolay olduğu matrisi, dolayısıyla çıkış matrisini alabilirsiniz.

Randevu. Ek temel dönüşümler için matristen alınan matrise eşdeğer denir ve belirtilir. FAKAT İÇİNDE.

Teorem. Matrisin rankı, matrisin elemanter dönüşümleri ile değişmez.

Temel dönüşümlerin yardımı için, її sıralamasının hesaplanması tutarlı değilse, matrisi adım adım görünüme getirebilirsiniz.

matris göründüğü gibi, bir adım olarak adlandırılır:

Adım-frekans matrisinin sıralamasının sıfır olmayan satır sayısından daha yüksek olduğu açıktır. , Çünkü є küçük mertebe, sıfıra eşit değil:

.

popo Temel dönüşümlerin yardımı için matrisin sırasını belirleyin.

Matrisin sırası, sıfır olmayan satırların sayısına eşittir, tobto. .

Di s matrisleri hakkında rozmov'a devam edelim. Ve kendiniz için - bu dersin sonunda, ters matrisi bilmeyi öğreneceksiniz. Öğrenmek. Matematik yapmayı öğrenmek önemlidir.

Tersinir matris nedir? Burada dönüş sayılarıyla bir benzetme yapabiliriz: örneğin iyimser sayı 5 ve dönüş numarasına bakın. Dobutok tsikh numaraları Dorіvnyuє odinі: . Her şey matrislerle benzer! Dönüş matrisi için ek matris daha pahalıdır - tek matris, Sayısal birimin Yaka є matris analogu. Ancak, sırayla her şey hakkında - daha da önemlisi pratik yemek, Ve kendiniz için, matrisi bilmek için nasıl çevireceğinizi öğrenin.

Serum matrisinin önemi için bu vmity'yi bilmek için ne gereklidir? sen virishuvati suçlusun vyznachniki. ne olduğunu anlamaktan suçlusun matris ve onların yaptıklarını hatırlayın.

Virülans matrisinin önemi için iki ana yöntem vardır:
yardım için cebirsel eklemelerі temel dönüşümlerin yardımı için.

Bugün, ilk, en basit yolu seçeceğiz.

En cahil ve mantıksız olana bakalım. Bakmak Meydan matris. Böyle bir formül için dönüş matrisi bilinebilir.:

Matrisin tasarımı - matrisin benzer elemanlarının cebirsel ilavelerinin matrisi aktarılır.

Pivot matris kavramı sadece kare matrisler için kullanılır., matris "ikiye iki", "üçe üç" vb.

Randevu: Gördüğünüz gibi, söylenen, hatırlanan, dönüş matrisi bir üst simge indeksi ile gösterilir

En basit yolla başlayalım - "ikiye iki" matrisler. Hepsinden önemlisi, kesinlikle gerekli “üçte üç”, ale, ağırdan almanızı şiddetle tavsiye ederim. sıcak ilkeçözüm.

popo:

Matris için ters matrisi bilin

Onu görüyoruz. Olayların sırası noktalara göre düzenlenmelidir.

1) İlkel matrisi biliyoruz.

Hangi eylemin kötü olduğunu anlamak için malzemeye aşina olun. Nasıl sayılır?

Önemli! Matrisin primatı iyi olduğu için bir vipad'i var SIFIR– serum matrisi ISNU YAPMAYIN.

Analiz edilen popoda, sanki açıkmış gibi, her şey yolunda.

2) Küçüklerin matrisini biliyoruz.

Görevimiz uğruna, reşit olmayanın ne olduğunu bilmek gerekli değildir, bu makaleyi tanımak daha iyidir vyznachnik nasıl hesaplanır.

Küçüklerin matrisi de matris gibi ayrılabilir, yani bu şekilde.
Sağda, Malim'in arkasında, chotiri sayısını bilmek ve yerlerine bir yıldız koymak kaldı.

Matrisimize dönelim
Arkada sol üst elemanı görebiliriz:

yoga nasıl öğrenilir küçük?
Ve böyle savaşmak için: DUMKOVO, bu unsurun bilindiği bir satır ve bir satır kazanır:

Ne eksik bu elementin minör, küçükler matrisimizde yazıldığı gibi:

Matrisin bir sonraki öğesini düşünün:

Tüm öğeye sahip olması gereken düşünceler vikreslyuєmo satır ve stovpets:

Dışarıda bırakılanlar, matrisimizde kaydedilen bu elementin minörleridir:

Benzer şekilde, başka bir satırın öğelerine bakarız ve onların küçüklerini biliriz:


Hazır.

Tse basittir. Küçüklerin ihtiyaçları matrisi İŞARETLERİ KALDIR iki sayı için:

Bu sayılarla aynı, sanki kafaları sarmışım gibi!

- matrisin aynı elemanlarının cebirine yapılan eklemelerden oluşan bir matris .

Ben daha az...

4) Cebirde bilinen şekilde yer değiştiren katkı maddeleri matrisi.

– matrisin benzer elemanlarının cebirindeki katkı matrisi aktarılır.

5) Vidpovid.

formülümüzü tahmin edelim
Her şey biliniyor!

Bu sıralamada, ters matris:

Böyle bir manzarayı gözden kaçırmak daha iyidir. GEREKLİ DEĞİL matrisin dış yüzey öğesini 2'ye bölün, böylece kesirli sayıları görebilirsiniz. Bu yönüyle ilgili rapor aynı makalede incelenmektedir. matrislerle gönder.

Karar nasıl geri alınır?

Aksi halde matris çarpımını ayarlamak gerekir

Revizyon:

Otrimano zaten tahmin etti tek matris- başına 1s olan matris baş köşegen ve diğer yerlerde sıfırlar.

Bu sıralamada dönüş matrisi doğru bilinmektedir.

Bir dіyu yaparsak, sonuç da tek bir matris olacaktır. Zavallı vipadkіv'lerden biri, matrislerin çarpımı geçirilebilir ise, daha fazlası detaylı bilgi makalede bulunabilir Matrisler üzerinde işlemlerin hakimiyeti. Matris Virazi. Ayrıca, sabitin (kesir) ileriye kaydırıldığını ve benzer şekilde - matris çarpımından sonra - işlendiğini dikkate alın. Standart resepsiyon.

Uygulamadaki en geniş vipadka'ya geçelim - "üçe üç" matrisi:

popo:

Matris için ters matrisi bilin

Algoritma, vipadku "ikişer ikişer" için olduğu gibi aynıdır.

Ters matris aşağıdaki formülle bilinir: , de - matrisin benzer elemanlarının cebirsel eklemelerinin matrisi yer değiştirir.

1) Matrisin işaretini biliyoruz.

İşte rozkritiy'in günah keçisi ilk satırda.

Bu yüzden unutma, sonuçta her şey yolunda - ters matris.

2) Küçüklerin matrisini biliyoruz.

Küçüklerin matrisi "üçe üç" olabilir , ve dokuz sayı bilmemiz gerekiyor.

Birkaç küçük çocuğa kısaca bakacağım:

Matrisin bir sonraki elemanına bakalım:

Bu öğenin bilindiği DUMKOVO vikreslyuєmo satır ve stovpets:

Dışarıda bırakılan Chotiri sayıları “ikişer ikişer” şeklinde yazılır.

Tsei vznachnik "ikişer ikişer" є bu elementin minör. Yogo treba virahuvati:


Her şey, bilginin küçüğü, bizim minör matrisimize kaydedilir:

Senin gibi, tek tek, tahminen, dokuzu "ikişer ikişer" virahuvatlamak gerekiyor. Süreç, açıkçası, açgözlü, ama en önemli şey değil, daha kötü.

Eh, sabitlemek için - resimlerde bir küçük daha anlamı:

Diğer küçükleri kendi başınıza saymaya çalışın.

Artık sonuç:
- matrisin ikinci elemanlarının küçüklerinin matrisi.

Tüm reşit olmayanların olumsuz göründüğü kişiler saf vipadkovisttir.

3) Cebirsel eklemelerin matrisini biliyoruz.

Matris küçüklerin ihtiyacı İŞARETLERİ KALDIRİlerleyen unsurlarda Suvoro:

Bu görünümde:

Serum matrisinin “chotiri on chotiri” matrisi için önemi görünmez, ancak böyle bir görevin örnekleri yalnızca sadist bir vikladach tarafından verilebilir (bir öğrencinin bir “chotiri to chotiri” ve 16” sayması için). üçe üç” vyznachnik). Benim uygulamamda böyle birden fazla öfke var ve kontrol işçisinin yardımcısı, unumu ödedikten sonra bitirmek pahalı.

Bir dizi yardımcı, yöntem ile serum matrisinin önemi hakkında biraz daha fazla şey öğrenmek mümkün, ancak en gelişmiş çözüm algoritmasını kullanmanızı öneririm. Niye ya? Bunun için hesaplamalarda ve işaretlerde kaybolma yeteneği çok daha azdır.

Bu konularda, o minöre cebirsel ilavenin anlaşılması açıktır. Materyalin sunumu, "Matrisler. Matrise bakın. Temel terimler" konularında açıklanan terimlere dayanmaktadır. Ayrıca, vyznachniki'nin hesaplanması için deaky formüllerine ihtiyacımız var. Oskіlki, chimalo terimidir, yakі stuyutsya minorіvі algebаїchnym dopovnenym, malzemeye yönlendirmek için kısa bir zmіn ekleyeceğim, daha basit olurdu.

Küçük $M_(ij)$ öğesinden $a_(ij)$ öğesine

$M_(ij)$ eleman$a_(ij)$ matrisinin $A_(n\times n)$ değeri, $A$ matrisinden çıkarılan matrisin hakeminin adıdır fırlatırım bu j. sütun (yani, üzerinde $a_(ij)$ öğesinin bulunduğu sütunun satırları).

Örneğin, dördüncü dereceden kare matrise bir göz atalım: $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ - 9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(dizi) \sağ)$. $a_(32)$ öğesinin minörünü biliyoruz, yani. $M_(32)$ biliyoruz. Minör $M_(32)$'ı yazıyoruz ve ardından inci değeri hesaplıyoruz. $M_(32)$ eklemek için, $A$ matrisinden üçüncü satırı ve diğer satırı ekliyoruz (diğer satırın üçüncü satırında $a_(32)$ öğesi var). Hakemi minör $M_(32)$ olan yeni bir matris alıyoruz:

Cei minor, önemli değil, şu hesaplamalarla kazanan formül No. 2'yi hesaplayın:

$$ M_(32)=\sol| \begin(dizi) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(dizi) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579. $$

Ayrıca $a_(32)$ öğesinin minörü 579'dur, yani. $M_(32) = $579.

Literatürde sıklıkla "matriks elemanının minörü" ifadesinin yerine "göstergenin elemanının minörü" olarak kullanılmaktadır. Öz değişmeden kalır: $a_(ij)$ öğesinin minörünü çıkarmak için, onu giden gösterenden çıkarmak gerekir. fırlatırımі j. adım. Reshtu öğeleri, $a_(ij)$ öğesinin alt öğesinde olan yeni bir gösterende kaydedilir. Örneğin, $\left| öğesinin $a_(12)$ öğesinin minörünü biliyoruz. \begin(dizi) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(dizi) \right|$. Gerekli minör $M_(12)$'ı yazmak için, verilen işaretçiden ilk satırı ve diğer satırı çıkarmamız gerekiyor:

Bu küçük muzaffer formül No. 1'in anlamını, diğer ve üçüncü derecelerin adlarının hesaplanmasıyla bilmek için:

$$ M_(12)=\sol| \begin(dizi) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(dizi) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Ayrıca, $a_(12)$ öğesinin minör değeri 83'tür, yani. $M_(12) = 83 $.

$A_(ij)$ öğesinin $a_(ij)$ öğesinin cebirsel tamamlayıcısı

$A_(n\times n)$ kare matrisi verilsin (yani n dereceli bir kare matris).

cebirsel eklemeler$A_(ij)$ eleman$a_(ij)$ matrisleri $A_(n\times n)$ aşağıdaki formülü izleyin: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

burada $M_(ij)$, $a_(ij)$ öğesinin küçüğüdür.

$A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ matrisinin $a_(32)$ öğesinin cebirsel tümleyenini biliyoruz. \ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ) $, sonra. $A_(32)$ biliniyor. Önceden, minör $M_(32)=579$'ı zaten biliyorduk, dolayısıyla sonuç çıkarılabilir:

Cebirin eklerini bildiğinizde ses, küçük minör değil, sonra toplamanın kendisini hesaplayın. Minör not atlanmıştır. Örneğin, $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 olan $A_(12)$'ı biliyoruz. \end( dizi)\sağ)$. $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$ formülü için geçerlidir. Bununla birlikte, $A$ matrisinin ilk satırı ve diğer satırını birleştirmek için yeterince $M_(12)$ almak için, şimdi minör için bir anahtar tanıtmamız gerekiyor? $A_(12)$ cebirinin zeyilnamesinin virazını hemen yazabiliriz:

$A_(m\times n)$ matrisinin k. mertebesinden küçük

Önceki iki paragrafta sadece kare matrisler hakkında konuşurken, o zaman burada, satır sayısının mutlaka sütun sayısına eşit olmadığı dikdörtgen matrislerden de bahsedelim. Otzhe, $A_(m\times n)$ matrisi verilsin, bu kadar. m satırı ve n satırı değiştirecek bir matris.

Küçük k. sıra$A_(m\times n)$ matrisine değişken denir, elemanları retinada $A$ matrisinde k satır ve k sütun halinde sıralanır (aktarıldığında, sonra $k≤ m$ ve $k≤ n$).

Örneğin, aşağıdaki matrisi düşünün:

$$A=\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(dizi) \sağ) $$

Onun için üçüncü dereceden bir minör yazalım. Üçüncü mertebenin minörünü yazmak için, bu matrisin üç satırı ve üç sütunu olup olmadığını seçmemiz gerekir. Örneğin, No. 2, No. 4, No. 6 satırlarını ve No. 1, No. 2, No. 4 sütunlarını alın. Bu satırların ve sütunların üzerine gerekli minör elemanları yerleştirilecektir. Küçük öğede minör mavi renkte gösterilir:

$$ \left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(dizi) \sağ);\; M=\left|\begin(dizi) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(dizi) \right|. $$

Enine çubukta birinci dereceden minori perebuvayut bir satır ve bir sütun, yani. birinci dereceden minörler verilen matrisin elemanlarına eşittir.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin k. mertebesinin küçüğü denir müstehcen bu yüzden bu minörün baş köşegeninde $A$ matrisinin yalnızca baş köşegen elemanları vardır.

Sanırım ana köşegen elemanlarına matrisin bu elemanları denir, bunlar için indeksler eşittir: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ vb. Örneğin, yukarıda incelenen $A$ matrisi için, bu elemanlar $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= olacaktır. 8$. Küçük olanda, koku yeşil bir renkle görülür:

$$\left(\begin(dizi) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18 ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( dizi) \sağ) $$

Örneğin, $A$ matrisinde 1 ve 3 sayılarına sahip alternatif satırlar ve sütunlar olduğu gibi, o zaman farklı bir düzendeki minör elemanları alt retinada sıralanacak, baş köşegeninde sadece $A$ matrisinin köşegen elemanları ($a_(11) =-1$ elemanları ve $a_(33)=18$ $A$ matrisleri). Otzhe, farklı bir düzenin baş minörünü alıyoruz:

$$ M=\left|\begin(dizi) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(dizi) \right| $$

Açıkçası, diğer satırları ve sütunları alabiliriz - örneğin, 2 ve 4 sayılarıyla, diğer baştaki küçük olanı farklı bir sırayla atlayarak.

$A_(m\times n)$ matrisinin k'inci sırasına göre küçük minör $M$ sıfıra eşit değil, yani. $M\neq 0$. Hepsi küçük olan, sırası k'yi aşan, sıfıra eşittir. Todi minör $M$ adı temel, Ve satırlar ve stovptsі, baz minör bazı rotashavaniye elemanlarında, ara temel satırlarі basit adımlar.

Örneğin, aşağıdaki matrisi düşünün:

$$A=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(dizi) \sağ) $$

Matrisin küçük sayısını, bir çeşit dikişin elemanlarını 1, No. 2, No. 3 ve 1, No. 3, 4 numaralı sütunlara yazalım. Üçüncü mertebenin minörünü alıyoruz (bu elemanlar $A$ matrisinde mor renkte görülüyor):

$$ \left(\begin(dizi) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0 \\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(dizi) \ Sağ); \; M=\left|\begin(dizi) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(dizi) \right|. $$

Bu küçük, muzaffer formül No. 2'nin anlamını, diğer ve üçüncü derecelerin adlarının hesaplanmasıyla biliyoruz:

$$M=\sol| \begin(dizi) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(dizi) \right|=4+3+6-2=11. $$

Ayrıca $ M = 11 \ neq 0 $. Şimdi, ister küçük olsun, büyük olanın sıralamasını üçte bir araya getirmeye çalışacağız. Dördüncü mertebenin minörünü toplamak için, dördüncü sırayı kazanmamız, satırın tüm elemanlarını sıfıra korumamız gerekecek. Daha sonra, dördüncü mertebenin minörünün sıfır satırı olup olmayacağı ve tse, dördüncü mertebenin tüm minörlerinin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Beşinci ve daha yüksek derecelerin küçüklerini ekleyebiliriz, $A$ matrisinin parçaları 4 satırdan küçüktür.

Sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minör biliyorduk. Daha yüksek derecelerin tüm küçükleri sıfıra eşit olduğunda, o zaman minöre baktığımızda - temel olan. Minör elemanlarının (birinci, ikinci ve üçüncü) herhangi bir düzenlemesindeki $A$ matrisinin satırları temel satırlardır ve $A$ matrisinin birinci, üçüncü ve dördüncü sütunları temel sütunlardır. .

Danimarkalı kıçı, amacı minörün özünü göstermek olan biri için açıkça önemsizdir. Vzagali, temel küçükler bir delikanlı olabilir ve katlanabilir ve müstehcen bir küçük arama sürecini seslendirebilir.

Bir şey daha tanıtalım - oblyamіvny minör.

$M$ matrisinin $A_(m\times n)$ k'inci dereceden minörünün k satır ve sütunun arkasına yuvarlanmasına izin verin. Dodamo bir dizi tsikh sırasına ve stovptsiv bir sıra daha ve stovpet'e. Çıkarıcı minör (k + 1) birinci dereceden çağrılır oblyamuyuchy minör küçük $M$ için.

Hayvanın poposu için böyle bir matrise ulaşıyoruz:

$$A=\left(\begin(dizi) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \sağ) $ $

Küçükleri farklı bir sırayla yazalım, 2 ve 5 numaralı satırların retinasına ve ayrıca 2 ve 4 numaralı sütunlara bir tür dikiş elemanları. Kırmızı renkte matriste görülen eleman sayısı:

$$ \left(\begin(dizi) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \sağ);\; M=\left|\begin(dizi) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(dizi) \sağ|. $$

Dodamo, üzerinde küçük $M$ öğelerinin bulunduğu bir dizi satıra, 1 numaralı satıra ve bir dizi sütuna - satır No. 5'e. Yeni küçük $M"$'ı (üçüncü sıradan önce), 1 No'lu, 2 No'lu, 5 No'lu sıraların retinasında ve 2 No'lu, 4 No'lu sütunların retinasında bir tür dikiş unsurlarını alıyoruz , No. 5. Küçük olandaki $M $ minör öğeleri kırmızı renkte görüldü, elementler, yaki mi dodaёmo to minör $M$ - mavi:

$$ \left(\begin(dizi) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \sağ);\; M"=\left|\begin(dizi) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(dizi) \right|. $$

Minör $M"$ є minör $M$ için minör çerçeveleme. Benzer şekilde, minör $M$, satır No. 4 ve sütun setinden önce - satır No. 3, minör $M""$'ı alın (üçüncü dereceden Minör):

$$ \left(\begin(dizi) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ boldblue(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \sağ);\; M""=\left|\begin(dizi) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(dizi) \sağ|. $$

Minör $M""$, minör $M$ için de minördür.

$A_(n\times n)$ matrisinin k. mertebesine küçük. Dodatkovy minör. Küçük bir kare matrise cebirsel ekleme.

Kare matrislere dönelim. Tamamlayıcı minör kavramını tanıtalım.

$A_(n\times n)$ matrisinin k. sırasına minör $M$'daki atamaları verin. $M$ minörünün intikamını alan satır ve sütunların Pazar gününden sonra elemanları $A$ matrisinden çıkarılan (n-k)-th sırasının işaretine minör denir, dodatkovim'den minöre$M$.

Örneğin, beşinci mertebeden kare matrise bir göz atalım:

$$ A=\left(\begin(dizi)(ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \sağ) $$

Vibero, sonraki 1 ve 3 numaralı satırların yanı sıra 2 ve 5 numaralı sütunlarda. Satırların ve sütunların geri kalanında farklı bir düzenin küçük $M$ öğeleri olacaktır. Yeşil renkli $A$ matrisindeki eleman sayısı:

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(dizi) \ Sağ); \; M=\left|\begin(dizi)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(dizi) \sağ|. $$

Şimdi $A$ matrisinden 1 ve 3 numaralı satırları ve 2 numaralı ve 5 numaralı sütunları alalım, retinasında küçük $M$ öğelerinin (satırların ve sütunların öğeleri, kaldırılır, biraz daha düşük kırmızı renkle gösterilir). Reshtu elementiv utavlyayut minör $M"$:

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ cesur(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(dizi) \right) ; \; M"=\left|\begin(dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(dizi)\right|. $$

Minör $M"$, sırası daha yüksek $5-2=3$, є minör, dodatkovim'den minör $M$'a.

C minöre cebirsel eklemeler$M$ kare matrisi $A_(n\times n)$, $(-1)^(\alpha)\cdot M"$ olarak adlandırılır, burada $\alpha$, $A matrisindeki satır ve sütunlardaki sayıların toplamıdır $, üzerinde rozashovani elemanları minör $M$ ve $M"$ - minör, minör $M$'a ek.

"Cebir minör $M$'a eklenmesi" ifadesi genellikle "cebirin minör $M$'a eklenmesi" ifadesi ile değiştirilir.

Örneğin, $A$ matrisine bakalım, ancak farklı bir düzende bir minör biliyorduk $ M=\left| \begin(dizi) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(dizi) \sağ| $ i üçüncü mertebenin yeni minöre ilavesi: $ M "= \ left | \ startup (dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \ \ -5 & 16 & -20 \ (dizi) \right|$ Önemli ölçüde cebirsel ekleme minör $M$ yak $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

$\alpha$ parametresi, minör $M$'ı içeren satır ve sütunlardaki sayıların toplamına eşittir. Tsej minör roztashovaniya, retinі ryadkіv No. 1, No. 3 ve stovptsіv No. 2, No. 5 üzerinde. Ayrıca, $alfa = 1 +3 +2 +5 = 11 $. Baba:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(dizi) (cc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(dizi) \sağ|.$$

Prensip olarak, vikorist formül No. 2, diğer ve üçüncü siparişlerin bu hesaplamasıyla, $M^*$ değerini dikkate alarak hesaplamayı sonuna kadar getirebilirsiniz:

$$ M^*=-\sol| \begin(dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(dizi) \right|=-30. $$

Yüklü yazılım