Ushbu kuch yogasining etakchilari. almashtirish 1, 2,..., n raqamlari bu raqamlarning tartibli bo'lishidan qat'i nazar, deyiladi. Elementar algebrada n ta raqamdan amalga oshirilishi mumkin bo'lgan barcha almashtirishlar soni 12 ... n = n dan ortiq ekanligi ma'lum bo'ldi! Masalan, 1, 2, 3 uchta sondan 3!=6 almashtirishni amalga oshirish mumkin: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Bu almashtirishda i va j raqamlari qo‘shilganga o‘xshaydi. inversiya(bezlad), i>j kabi, lekin i j dan oldin bu almashtirishda bo'lishim kerak, shuning uchun kattaroq son kichikroqdan qimmatroq turadi.

Permutatsiya deyiladi yigit(aks holda ulanmagan) yakshcho in nyy vídpovídno juftlashgan (juftlanmagan) zagalna kílkíst ínversíy. Bitta almashtirishda boshqasiga o'tadigan, tinch n raqamning o'zidan qo'shiladigan operatsiya deyiladi. almashtirish n-bosqich.

Bitta almashtirishni chet tiliga o‘giradigan almashtirish chuqur yoylarda ikki qatorda yoziladi va ko‘rib chiqilayotgan almashtirishlarda bir xil joy egallagan sonlar deyiladi. vydpovídnimi va birma-bir yoziladi. Masalan, belgi almashtirishni bildiradi, 3 dan 4 ga o'tishda, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. O'zgartirish deyiladi. yigit(aks holda juftlashtirilmagan); Bu n-bosqichning o'rnini bosuvchi bo'lsin, uni ko'rganda yozib qo'yish mumkin, tobto. yuqori qatorda tabiiy rotashuvannyam raqamlari bilan.

Bizga n tartibli kvadrat matritsa berilsin

Keling, matritsaning n elementi tomonidan barcha mumkin bo'lgan yaratilishlarni ko'rib chiqaylik, bir vaqtning o'zida bir vaqtning o'zida va teri satridan bir vaqtning o'zida faqat bittadan olinadi, bu teri stovptsa, ya'ni. ijodiy aql:

, (4.4)

de indeks q 1 , q 2 ,...,q n
1, 2,..., n. Bunday yaratilishlar soni n ta belgining turli xil almashtirishlar soniga teng, ya'ni. bitta n!. Yaratilish belgisi (4.4) yaxshiroq (-1) q, de q - boshqa element indekslarining almashtirishlaridagi inversiyalar soni.

Vyznachnik(4.3) matritsalarga mos keladigan n-tartibga algebraik yig'indi n deyiladi! muddat (4.4) shaklida. Vyznachnikni yozish uchun belgi yoziladi yoki detA = (Aniqlovchi yoki birlamchi matritsalar A).

Tayinlanganlarning kuchi

1. Belgilovchi ko‘chirilish soatiga qarab o‘zgarmaydi.

2. Agar hakamning qatorlaridan biri nolga qadar qo'shilsa, u holda hakam nolga teng bo'ladi.

3. Faqat vyznachnikdagi ikkita qatorni qayta o'rnating, vyznachnik belgini o'zgartiradi.

4. Vyznachnik, nolga yetib, ikkita bir xil qatorni o'ch olish uchun scho.

5. Agar vyznachnikning deyago qatorining barcha elementlarini k soniga ko'paytirsangiz, vynachnikning o'zi k ga ko'paytiriladi.

6. Vyznachnik, nolga qadar ikkita proportsional qatorni qasos olish uchun scho.

7. Garchi hakamning i-qatorining barcha elementlari aij = bj + cj (j = 1,...,n) ikkita qo'shimcha yozuvlar yig'indisi ko'rinishida taqdim etilgan bo'lsa ham, u holda hakam ko'proq. hakamlar yig'indisida qimmat, bunday qatorlarda, crim i-th, - xuddi shu tarzda, berilgan hakam uchun va qo'shimchalarning biridagi i-chi qator bj elementlari bilan, ikkinchisida - bilan. cj elementlari.

8. Arbitr o'zgarmaydi, chunki bir qatorning elementlariga, keyingi qatorning mos keladigan elementlari qo'shiladi, bir xil songa ko'paytiriladi.

Hurmat. Hokimiyatning kuchi shunchaki qoldirilgan, bir qator o'rinbosar sifatida stompts.

Kichik M i j elementning a i j d n-tartibli d vikreslyuvannya qatoridan chiqadigan n-1 tartib deyiladi, bu stovptsya, berilgan elementning scho qasos.

Algebraik qo'shimchalar d ning a i j elementi (-1) i + j belgisi bilan olingan yogo minor M i j deyiladi. a i j elementning algebraik to'ldiruvchisi ma'noli A i j. Bu tartibda A i j = (-1) i + j M i j.

O'zgaruvchilarni amaliy hisoblash yo'llari n o'zgaruvchini quyi tartibli o'zgaruvchilar orqali ifodalash mumkinligiga asoslanib, teoremani keltirib chiqaradi.

Teorema (Abostovptsyu ketma-ket vyznachnik chiqib yotqizish).

o'z algebraik qo'shimchalar bilan etarli tartibi (yoki stovptsya) barcha elementlar yaratish eng boy yig'indisi imzolovchi. Aks holda, aftidan, i-qator elementlarining orqasida d ni qo'yish uchun joy bor.

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)

yoki j-ustun

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = 1,...,n).

Zokrema, qatorning barcha elementlari kabi (abo stovptsya), bittadan tashqari, nolga qo'shing, so'ngra keyingi elementning belgisi, algebraning ikkinchi qo'shimchasiga ko'paytiriladi.

Uchinchi tartibni hisoblash formulasi.

Formulalarni eslab qolishni osonlashtirish uchun:

2.4-misol. Hakamni hisoblamasdan, vin nolga teng ekanligini ko'rsating.

Yechim. Boshqa qatordan Vídnymemo birinchi bo'lib, biz vyznachnikni olib tashlaymiz, vihídnyga teng. Agar uchinchi qatordan siz ham pershani ko'rsangiz, unda ikkita proportsional qator mavjud bo'lgan vyznachnikni ko'rasiz. Bunday belgi nolga teng.

dumba 2.5. Boshlang'ich D = ni boshqa ustunning elementlari bilan kengaytirish orqali hisoblang.

Yechim. Keling, birlamchini boshqa ustunning elementlari orqasida joylashtiramiz:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

.

2.6-misol. G'olibni hisoblang

,

unda bosh diagonalidagi bir tomondan barcha elementlar nolga teng.

Yechim. Biz birinchi qatorga vyznachnik A ni joylashtiramiz:

.

O'ng qo'lli imzo qo'yuvchi birinchi qatorga joylashtirilishi mumkin, shuningdek:

.

2.7-misol. G'olibni hisoblang .

Yechim. Agar siz birinchi qatorni boshqasidan boshlab belgining teri qatoriga qo'shsangiz, unda bosh diagonali ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan belgini ko'rasiz. Va o'z-o'zidan biz primatni olamiz: , rívny vihídny.

Rozmirkovuyuchi, oldingi dumba kabi, biz sharob bosh diagonali elementlarga boy ekanligini bilamiz, ya'ni. n! Usul, qandaydir hisoblashning yordami uchun, uni murakkab ko'rinishga keltirish usuli deb ataladi.

· Vyznachnik kvadrat n-tartibdagi A matritsalari yoki n-tartib raqam chaqiriladi, bu qimmatroq algebraik summadir P! a'zolar, ularning har qandayidan terilar P teri qatoridan va teri chizig'idan qo'shiq belgilari bilan birma-bir olingan matritsaning elementlari. Vyznachnik ham belgilangan.

Boshqa tartibdagi Vyznachnikê raqami, quyidagicha ifodalanadi: . Misol uchun .

Uchinchi tartibli Vyznachnik nayranglar qoidasiga ko'ra hisoblangan (Sarrus qoidasi): .

Butt. .

Hurmat. Darhaqiqat, uchinchi darajali vyznachniklar, yuqori buyruqlar kabi, vyznachniklarning vakolatlari yordamida hisoblanadi.

N-tartibda vyznachniklarning kuchi.

1. Belgilovchining qiymati o'zgarmaydi, shuning uchun charm qatorni (pechkani) bir xil sonli qator (qator) bilan almashtiring - ko'chirish.

2. Agar o'zgaruvchining qatorlaridan biri (stovpetlari) nolga qadar qo'shilsa, u holda o'zgaruvchining kattaligi nolga teng bo'ladi.

3. Agar imzolovchi ikki qatorni (stovptsi) belgilari bilan eslab qolsa, u holda imzolovchining mutlaq qiymati o'zgarmaydi, lekin belgi uzunligiga o'zgaradi.

4. Vyznachnik, scho ikki bir xil qatorlar (stovptsya), nolga o'ch olish uchun.

5. Qatorning barcha elementlarining yuqori ko'paytiruvchisi (stowptsya) vyznachnik belgisi uchun ayblanishi mumkin.

· Kichik deyagogo element vyznachnik P th tartibda vyznazhnik deyiladi ( P-1) qatorda element mavjud bo'lgan ushbu qator va ustunning tashqi o'tish joyidan olib tashlangan uchinchi tartib. Belgilanishi: .

· Algebraik qo'shimchalar yogo minor belgi elementi deyiladi, belgi belgi bilan olinadi. Belgilanishi: V.o. =.

6. Kvadrat matritsaning belgilovchisi har qanday tartibdagi (yuqorida) elementlarning algebra qoʻshimchalarida yaratilishining yanada rivojlangan yigʻindisidir ( tarqalish teoremasi).

7. Teri elementi kabi - bu qator - sumka k dodankiv, keyin kotibga sumi ko'rib xizmat qiladi k vyznachnikiv, ba'zi qatorlar uchun, o'sha qatorning qirrasi, xuddi vyxidny vyznachnik uchun, va birinchi vyznachnik uchun bu qator birinchi dodankivdan, boshqasi uchun - boshqalardan va hokazo. Talabalar uchun ham xuddi shunday.

8. Arbitr o'zgarmaydi, shuning uchun bir qatorga (stovptsiv) boshqa qatorni (stovpets) qo'shib, raqamga ko'paytirish.

Natija. Agar siz vyznachnik qatoriga (stovptsív) boshqa vv satrlarning (stovptsív) chiziqli birikmasini qo'shsangiz, u holda vyznachnik o'zgarmaydi.

9. Diagonal matritsaning belgisi bosh diagonal, tobto ustida turish uchun elementlarni qo'shish qimmatroq.

Hurmat. Triko matritsasining belgisi, shuningdek, bosh diagonali ustida turish uchun elementlarning qimmatroq qo'shilishi hisoblanadi.

Zodagonlarning kuchining reenkarnatsiyasi ularning hisob-kitoblarini sezilarli darajada qisqartirishga imkon beradi, bu ayniqsa yuqori darajadagi zodagonlar uchun muhimdir. Agar siz matritsani shunday o'zgartirmoqchi bo'lsangiz, matritsa kichik satr va ustun bo'lib, ko'proq nollardan o'ch olish uchun (“satr va ustunlarni nolga tushirish”).

murojaat qiling. Oldingi dumba, vikoristovuyuchi kuch vyznachnikiv ishora yana vyznachnik sanab.

Yechim: Hurmat bilan, birinchi qatorda yuqori multiplikator - 2, ikkinchisi esa 3 ga teng bo'lgan yuqori ko'paytmaga ega, biz ularni boshliqning belgisi uchun ayblaymiz (kuch 5 uchun). Biz etakchiga, masalan, birinchi, 6-vakillik vakolatini berdik (taqsimot teoremasi).

Eng samarali osilatorni diagonal yoki uchburchak ko'rinishga kamaytirish usuli . Matritsaning primatini hisoblash uchun viskonning matritsaning bunday o'zgarishiga ega bo'lishi kifoya, shuning uchun primordialni o'zgartirmaslik va matritsani diagonalga aylantirish imkonini beradi.

Visnovka uchun hurmat bilan, agar kvadrat matritsaning belgisi nolga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. virusli (yoki ayniqsa) , boshqa yo'nalishda - bokira bo'lmagan .

N ta chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) noma'lum, matritsaning har qanday elementlari uchun koeffitsientlar berilgan va bo'sh a'zolar raqamlardan iborat.

Koeffitsientlar sonining birinchi indeksi koeffitsientni bilishga teng bo'lgan kishi tomonidan ko'rsatiladi, ikkinchisi esa noma'lum kishi uchun.

Qanday qilib matritsa nolga teng emas

u holda algebraning chiziqli tenglamalari tizimi yagona yechimga ega bo'lishi mumkin.

Chiziqli algebraik tekislashlar tizimining echimlari terini tizimni tekislashdan to'g'ri tekislashga o'tkazishda bo'lgani kabi tartiblangan raqamlar ketma-ketligi deb ataladi.

Agar sistemaning barcha tenglarining o'ng qismlari nolga teng bo'lsa, tenglar tizimi bir jinsli deyiladi. Ruhiy holatda, agar ularning deakonlari noldan xabardor bo'lsa - heterojen

Agar algebraning chiziqli tenglamalari tizimi bitta yechim bo'lishi mumkin bo'lsa, u kogerent, boshqa holatda - aqldan ozgan deb ataladi.

Agar sistemaning yechimi bitta bo'lsa, chiziqli tekislashlar tizimi qo'shiq deb ataladi. Qo'shma tizimning yagona yechimi bo'lmagan paytlarda teng tizim aniqlanmagan deb ataladi.

Ikki chiziqli tekislash tizimi ekvivalent (yoki teng kuchli) deb ataladi, chunki bir tizimning barcha echimlari boshqasining echimlari va bir vaqtning o'zida. Qo'shimcha ekvivalent transformatsiyalar uchun ekvivalent (yoki teng kuchli) tizimlar olinadi.

SLAU ning ekvivalent transformatsiyasi

1) rivnyanlarning rivnyanlar tomonidan almashtirilishi;

2) ko'paytirish (yoki rozpodyl) rivnyan bo'yicha vídmínne víd nol soni;

3) keyingi tengga qo'shish oxirgi teng, yuqori, nolga teng songa ko'paytiriladi.

SLAU uchun echimlarni boshqa yo'l bilan topish mumkin.

KRAMER USULI

KRAMER TEOREMASI. Noaniq ko'rinishdagi algebra chiziqli tenglamalar tizimining belgisi bo'lganligi sababli, tizim faqat bitta yechimga ega, chunki u Kramer formulalarida ma'lum:

- vyznachniki, stovptsya almashtirishdan tayinlangan, erkin a'zolardan stouptsy.

Yakshcho, lekin agar vydmínny vyd biri nolga teng bo'lsa, u holda SLAU yechimi bo'lishi mumkin emas. Yakshcho , keyin SLAU boy yechimga ega bo'lishi mumkin. Keling, Kramer usulini batafsil ko'rib chiqaylik.

—————————————————————

Chiziqli bo'lmaganlar uchligidan uchta chiziqli chiziqlar tizimi berilgan. Tizimni Kramer usuli bilan tekshiring

Noma'lum holatda koeffitsientlar matritsasi belgisini bilamiz

Oskylki tenglashtirish tizimi o'rnatilgan va bir yechim bo'lishi mumkin. Keling, nomlarni hisoblaymiz:

Kramer formulalari ortida biz noma'lum narsalarni bilamiz

Otzhe yagona tizimli yechim.

Algebraning bir nechta chiziqli tenglamalari tizimi berilgan. Tizimni Kramer usuli bilan tekshiring.

Biz noma'lum uchun koeffitsientlar matritsasining hakamini bilamiz. Buning uchun yoga birinchi qatorning orqasida joylashgan.

Biz ombor mudirini bilamiz:

Belgilovchining ma'nosini bilishni tasavvur qiling

Determinant, shuningdek, tengliklar tizimi spilna va yagona yechim bo'lishi mumkin. Keling, Kramer formulalari ortidagi o'zgaruvchilarni hisoblaylik:

Maqola bo'yicha etakchilardan teri yotqizilgan, unda ko'proq nollar mavjud.

Kramer formulalari ortida biz bilamiz

Tizimli yechimlar

Daniya dumbasini matematik kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin YukhymCALC. Dasturning bir qismi va natijalar quyida keltirilgan.

——————————

R A M E R USUL QILING

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2 = | 5,1,2,-8 |

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1) +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Materiallarni ko'rib chiqing:

(jcomments on)

Yirtqich tip uchun hakamlarni tartibda sanash qoidasi og'ir bo'ladi. Boshqa va uchinchi tartibli vyznachniki uchun ularni hisoblashning oqilona usullarini topish kerak.

Boshqa tartibda tayinlanganlarni hisoblash

Matritsa indeksini boshqa tartibda hisoblash uchun siz bosh diagonaliga qo'shimcha elementlarni qo'shishingiz va yon diagonalda qo'shimcha elementlarni tanlashingiz kerak:

Butt

Menejer. Vyznachnikni boshqa tartibda hisoblang

Yechim.

Vidpovid.

Uchinchi tartibli hisoblash usuli

Uchinchi tartibda vyznachniki hisoblash uchun bunday qoidalar qo'llaniladi.

triko qoidasi

Sxematik ravishda qoida quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Birinchi hakamdan elementlarni olish, xuddi ular to'g'ri bo'lganidek, ortiqcha belgisi bilan olinadi; xuddi shunday, yana bir hakam - eng muhim ijodlar minus belgisi bilan olinadi, ya'ni.

Butt

Menejer. G'olibni hisoblang triko usuli.

Yechim.

Vidpovid.

Sarrus hukmronligi

Imzolovchi sifatida o'ng qo'l, dastlabki ikkita ustunni qo'shing va bosh diagonalida va diagonallarda, parallel ravishda elementlarni yarating, ortiqcha belgisi bilan z ni oling; va minus belgisi bilan yon diagonallar va diagonallar, parallel elementlarni yarating:

Butt

Menejer. G'olibni hisoblang Sarrus hukmronligi yordami uchun.

Yechim.

Vidpovid.

Ketma-ket yoki stovptsyu vyznachnik Arrangement

Vyznachnik - bu algebra qo'shimchalari bo'yicha vyznachnik qatori elementlarini yaratishning yaxshiroq yig'indisidir.

Nol bo'lgan qator/qatorni tanlash uchun qo'ng'iroq qiling. Joylashtirish amalga oshiriladigan qator yoki qator o'q bilan belgilanadi.

Butt

Menejer. Birinchi qatorda Razklavshi, vyznachnikni hisoblang

Yechim.

Vidpovid.

Bu usul sizga boshliqning hisobini quyi tartibli boshliqning hisobiga oshirish imkonini beradi.

Butt

Menejer. G'olibni hisoblang

Yechim. Biz boshliqning qatorlari ustida kelayotgan o'zgarishlarni ko'ramiz: boshqa qatordan biz birinchi qatorni, uchinchi qatordan esa birinchi qatorni ko'ramiz, buning natijasida boshliqning obro'sini ko'ramiz, biz berilganga teng boshliqni olib qo'ying.

Rahbar nolga teng, chunki boshqa va uchinchi qatorlar proportsionaldir.

Vidpovid.

To'rtinchi tartibda vyznachniki hisoblash uchun, u ko'proq zastosovuetsya yoki satr / ustunga chiqib yotqizish, yoki hiyla ko'rinishga kamayadi, yoki Laplas teoremasi yordam keyin.

Qator yoki stovptsya elementlari orqasida primatning joylashishi

Butt

Menejer. G'olibni hisoblang , Ba'zi turdagi qator yoki stovptsya qandaydir elementlar uchun quvonish yoga.

Yechim. Oldinda biz vyznachnik satrlari ustidagi elementar o'zgarishlarni ko'ramiz, ular qatorda yoki ustunda ko'proq nol qo'shiladi. Bu elka uchun birinchi qatorda uchdan to'qqiz, qolgan qismida - uchdan besh va to'rtinchi - uchdan uch qatorda ko'rinadi, biz olamiz:

Otrimaniy vyznachnik birinchi ustunning elementlari orqasida joylashgan:

Uchinchi darajali etakchini olib tashlash, shuningdek, qator va ustun elementlari bilan belgilanadi, oldingi nollarni olib tashlash, masalan, birinchi ustunda.

Birinchi qatorning qaysi turi uchun yana ikkita qator, uchinchi qator uchun esa boshqasi ko'rinadi:

Vidpovid.

Hurmat

Qolgan va qolgan kotiblarni sanab bo'lmasdi, aksincha, nolga hidlanib, mutanosib qatorlardan o'ch olish uchun shardlar haqida chiseldi.

Vyznachnikni trikut ko'rinishiga keltirish

Abosts qatorlari ustidagi elementar o'zgarishlarga yordam berish uchun, vyznachnikni trikut ko'rinishiga va bir xil ma'noga yo'naltirish kerak, vyznachnik hokimiyatiga muvofiq, bosh diagonali ustida turish uchun yanada rivojlangan elementlar.

Butt

Menejer. G'olibni hisoblang yogo trikutny ko'rinishga olib keldi.

Yechim. kalça diagonal bosh ostida birinchi stovptsy da robably nolga teng.

4. Tayinlangan shaxslarning vakolati. Vyznachnik matritsalarni yaratadi.

Konvertatsiya qilishni osonlashtirish osonroq bo'ladi, chunki element yanada rivojlangan bo'ladi 1. Kim uchun biz boshliqning birinchi va boshqa ustunlarini eslaymiz, bu esa boshliqning vakolati natijasida, bu haqiqatga olib keladi. noto'g'ri belgini uzaytirish uchun o'zgartiradi:

Bosh diagonali ostida turishi kerak bo'lgan elementlar bo'shlig'ining boshqa tomonidan nollarni olaylik. Va yana, agar diagonal element yanada rivojlangan bo'lsa, unda to'lovlar oddiyroq bo'ladi. Kim uchun bu minus boshqa va uchinchi qatorlar (agar u imzolovchining teskari belgisiga o'zgartirilsa):

Vidpovid.

Laplas teoremasi

Butt

Menejer. Vikoristovuyuchi Laplas teoremasi, vyznachnikni hisoblang

Yechim. Biz ushbu beshinchi tartibdagi vyznachnikda ikkita qatorni tanlaymiz - ikkinchisi va uchinchisi, keyin qabul qilinadi (qo'shimcha belgilar, agar ular nolga qo'shilsa, u o'tkazib yuboriladi):

Vidpovid.

SHU TENGSIZLIKNI CHIZIQLI KO'RISH I

31-bo'lim

Teorema.Yakshcho tizimning bosh hakami rivnyan

(1)

nolga teng, agar qo'shimcha o'zgaruvchilardan biri nol deb hisoblansa, u holda tizim mos kelmaydi.

Rasmiy ravishda, teoremani tasdiqlash qarama-qarshi yo'lni olib tashlash uchun muhim emas. (1) ga teng tizimni yechish mumkin ( x 0 , y 0). Xuddi oldingi xatboshida ko'rsatilganidek,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Ale aql uchun Δ = 0, lekin agar siz identifikatorlardan birini xohlasangiz Δ x і Δ y vídminny vyd nol. Otzhe, rashk (2) bir vaqtning o'zida vikonuvatysya scho ekspromt. Teorema tugallandi.

Biroq, bu holda (1) tenglar tizimi nima uchun noaniq ekanligini tushuntirish uchun batafsilroq.

sistemaning noma'lumlari uchun koeffitsientlar teng (1) proportsional ekanligini bildiradi. Keling, masalan,

a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .

da koeffitsientlarni bildiradi da teng tizimning erkin a'zolari (1) proportsional emasligi. Oskilki b 1 = kb 2, keyin c 1 =/= kc 2 .

Shuningdek, tenglashtirish tizimini (1) quyidagicha yozish mumkin:

Bu tizimda nodomik holatlardagi koeffitsientlar mutanosib ravishda proportsionaldir, lekin koeffitsientlar da (aks holda qachon X ) bu vílní a'zolari proportsional emas. Bunday tizim, shubhasiz, aqldan ozgan. Deisno, yakby kichik yechim bo'lmaydi ( x 0 , y 0), keyin raqamlar g'alaba qozondi

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Ammo bu ekvivalentlardan biri boshqasini almashtiradi: adzhe c 1 =/= kc 2 .

Biz kamroq vipadokga qaradik, agar Δ x =/= 0. Xuddi shunday, agar ko'rinishlarga qarashingiz mumkin Δ y =/= 0."

Teorema natijasini shunday shakllantirish mumkin.

Domi bo'lmaganlar uchun qanday koeffitsientlar mavjud Xі da tenglar tizimi (1) proportsional va bular uchun koeffitsientlar proportsional bo'lmasa, tenglar tizimi barqaror emas.

Masalan, ushbu tizimlarning terisi aqldan ozishi haqidagi fikringizni o'zgartirish oson:

Kramerning chiziqli tekislash tizimlarini ajratish usuli

Kramer formulalari

Kramer usuli turli xil chiziqli tekislash tizimlarida o'zgaruvchilarni tanlashga asoslangan. Tse rozvyazannya jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.

Kramer usuli nevydomihning teri chizig'idagi kabi stilistik chiziqli chiziqlarning virish tizimida qo'llanilishi mumkin.

Kramer usuli. Chiziqli chiziqlar tizimlari uchun zastosuvannya

Agar tizim o'zgaruvchisi nolga teng bo'lmasa, u holda Kramer usuli yechimdan farq qilishi mumkin, agar u nolga teng bo'lsa, unda bu mumkin emas. Bundan tashqari, bitta yechim bo'lishi mumkin bo'lgan turli xil chiziqli tekislash tizimlari uchun Kramer usuli qo'llanilishi mumkin.

Uchrashuv. Noma'lum holatda koeffitsientlardan tashqariga chiqadigan belgi tizimning belgisi deb ataladi va ko'rsatiladi (delta).

Vizyonerlar

taniqli mustaqil a'zolar uchun koeffitsientlarni almashtirish usuli sifatida chiqish:

;

.

Kramer teoremasi. Vídmínny víd nol tizimining yetakchisi sifatida, keyin chiziqli vídnínyh tizimi bitta yagona yechim maê, bundan tashqari, qimmatroq vídníyí víznínív yo'q. Imzolovchida tizimning imzolovchisi va imzolovchining imzolovchisi bor, koeffitsientlarni o'zining noma'lum erkin a'zolari bilan almashtirish yo'li bilan tizimning imzolovchisini olib qo'yadi. Tsya teoremasi qanday tartibda bo'lishidan qat'i nazar, chiziqli tengliklar tizimining o'rni bo'lishi mumkin.

misol 1. Chiziqli chiziqlar tizimini eching:

Zgidno Kramer teoremasi balki:

Shunga qaramay, tizimning yechimi (2):

Chiziqli tekislashning turli tizimlarida uchta tushish

Yak qichqiradi Kramer teoremasi, Chiziqli tekislash tizimining buzilishi bilan uchta tendentsiya kuzatilishi mumkin:

Birinchi pasayish: chiziqli tekislashlar tizimi bitta yechimga ega bo'lishi mumkin

(Tizim spilna va tayinlangan)

*

Yana bir vipadok: chiziqli hizalamalar tizimi shaxsiy bo'lmagan yechim bo'lishi mumkin

(Tizim buzilib ketgan va ko'rinmaydi)

**
,

tobto. proporsiyaning noma'lum va mustaqil a'zolari bo'lgan taqdirda koeffitsientlar.

Uchinchi tendentsiya: chiziqli tekislashlar tizimi mumkin emas

(Tizim aqldan ozgan)

Oh, tizim m chiziqli rivnyan z n o'zgartirish deyiladi aqldan ozgan, go'yo yaxshi yechim yo'q, va uyqusirab yakscho behuda qaror qabul qilishni xohlashi mumkin. Bir nechta yechim bo'lishi mumkin bo'lgan teng umumiy tizim deyiladi kuylash, va bir nechta - tayinlanmagan.

Kramer usuli bilan chiziqli tekislash tizimlarini ajratishni qo'llang

Tizim ketsin

.

Kramer teoremasi asosida

………….
,

de
—

tizimning asoschisi. Inshi vyznachniki olib tashlanadi, pechkalarni mustaqil o'zgartirish (ko'rinmas) erkin a'zolar koeffitsientlari bilan almashtiradi:

dumba 2.

.

Otzhe, tizim qo'shiq aytmoqda. Bilim uchun, її qarorlar hisoblanadi

Kramer formulalari ortida biz bilamiz:

Shuningdek, (1; 0; -1) tizimning yagona yechimidir.

3X3 va 4X4 tizimlarining echimlarini qayta tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramerning virishal usulidan foydalanishingiz mumkin.

Chiziqli tenglar tizimida bir kunda bir yoki bir nechta teng bo'lgani kabi, agar biron bir o'zgarishlar bo'lsa, unda elementlar soni hakamda nolga teng! Bunday misol.

3-misol. Cramer usuli yordamida chiziqli tekislash tizimini hal qiling:

.

Yechim. Biz tizimning belgisini bilamiz:

Hizalanish tizimiga va tizimning belgisiga qarash va ovqatlanishni qayta ko'rib chiqish muhim, ba'zi hollarda tizim belgisining bir yoki bir nechta elementlari nolga teng. Otzhe, vyznachnik nolga teng emas, otzhe tizimi qo'shiq aytmoqda. Bilim uchun

Kramer formulalari ortida biz bilamiz:

Shuningdek, sistemaning yechimi (2; -1; 1) bo'ladi.

3X3 va 4X4 tizimlarining echimlarini qayta tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramerning virishal usulidan foydalanishingiz mumkin.

Yon tomonning tepasida

Line Systems bo'yicha testdan o'ting

Avvalroq sodir bo'lganidek, tizimning hakami nolga yetganda va hakamlar, agar ular teng bo'lmasa, nolga etib bormasa, tizim aqldan ozgan, shuning uchun hech qanday yechim yo'q. Hujumkor dumbani tasvirlash.

4-misol. Cramer usuli yordamida chiziqli tekislash tizimini hal qiling:

Yechim. Biz tizimning belgisini bilamiz:

Tizimning hakami nolga teng bo'lsa, unda chiziqli tengliklar tizimi yo aqldan ozgan va penny, yoki aqldan ozgan, shuning uchun hech qanday yechim yo'q. Tushuntirish uchun, biz nevydomih taqdirda hakamlar hisoblash

Hakamlar, ular noma'lum bo'lsa, nolga etib bormaydi, chunki tizim aqldan ozgan, shuning uchun hech qanday yechim yo'q.

3X3 va 4X4 tizimlarining echimlarini qayta tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramerning virishal usulidan foydalanishingiz mumkin.

Chiziqli rivnyan tizimining vazifalarida zustrichayutsya va shunga o'xshash, o'zgartirish ma'nosini anglatuvchi de crim letter, shuningdek, boshqa harflar mavjud. Qi harflari deak raqamni bildiradi, ko'pincha decisne. Amalda, bunday teng tizimlargacha, bunday tizimlar hodisalar yoki ob'ektlar bo'lishidan qat'i nazar, ochiq hokimiyatlarni qidirishga buyruq berishga tengdir. Shuning uchun siz yangi material yoki qo'shimchalar uchun aybdorsiz va nusxaning hajmi yoki miqdoridan bog'liq bo'lmagan ushbu vakolatlarni tavsiflash uchun chiziqli tenglik tizimini o'zgartirish, mavjud koeffitsientlarni o'zgartirilgan koeffitsientlar bilan almashtirish kerak. birlar - harflar. Dumba uchun uzoqqa borish shart emas.

Hujum qiluvchi dumba - shunga o'xshash asosda faqat bir kunlik raqamni bildiruvchi rivnyanlar, o'zgaruvchan va harflar soni ortadi.

6-misol. Cramer usuli yordamida chiziqli tekislash tizimini hal qiling:

Yechim. Biz tizimning belgisini bilamiz:

Biz nevydomih taqdirda vyznachniki bilaman

Kramer formulalari ortida biz bilamiz:

,

,

.

I, nareshti, tizimi chotiriokh rivnyan íz chotirma nevidomimi.

7-misol. Cramer usuli yordamida chiziqli tekislash tizimini hal qiling:

.

Hurmat! To'rtinchi darajali mukofotlarni hisoblash usuli bu erda tushuntirilmagan. Cim uchun - saytning rasmiy tarqatilishida. Ale kichik izohlar bo'ladi. Yechim. Biz tizimning belgisini bilamiz:

Kichik izoh. To'rtinchi qatorning elementlari boshqa qatorning elementlari bilan, to'rtinchi qatorning elementlari 2 ga, to'rtinchi qatorning elementlari bilan birinchi qatorning elementlari 2 ga ko'paytirilgan boshoqda ko'rindi. Biz nevydomih taqdirda vyznachniki bilaman

Birinchi qatorning to'rtinchi noma'lum elementida ruhoniyning o'zgarishi uchun to'rtinchi qatorning elementlari ko'rindi.

Kramer formulalari ortida biz bilamiz:

Shuningdek, sistemaning yechimi (1; 1; -1; -1) bo'ladi.

3X3 va 4X4 tizimlarining echimlarini qayta tekshirish uchun siz onlayn kalkulyatordan, Kramerning virishal usulidan foydalanishingiz mumkin.

Eng muhimi, ular nizomda chiziqli chiziqlarning chiziqli bo'lmagan tizimlarini ishlab chiqish uchun arizalar yo'qligini hurmat qilishgan. Va bunday tizimni Kramer yo'li bilan buzish mumkin bo'lmagan hamma narsa, faqat tizimning hayotiy emasligini aytish mumkin. Bunday tizimlarning yechimi Gauss usuli hisoblanadi.

Yechimni chuqur o'rganishga vaqtingiz yo'qmi? Siz ish topishingiz mumkin!

Yon tomonning tepasida

Line Systems bo'yicha testdan o'ting

"Tenglik va tartibsizliklar tizimlari" mavzusida batafsil

Kalkulyator - onlayn rivnyan tizimlarini hal qilish

C++ da Cramer usulini dasturiy ta'minlash

O'zgartirish usuli va qo'shish usuli bilan chiziqli chiziqlarning Razvyazannya tizimlari

Gauss usulida chiziqli tekislash tizimlarini qayta ko'rib chiqish

Chiziqli rivnyanning Umov ning spylností tizimi.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Matritsa usuli bilan chiziqli tekislash tizimlarini qayta ko'rib chiqish (burilish matritsasi)

Chiziqli tartibsizliklar va shishgan ko'paytiruvchi nuqtalar tizimlari

"Chiziqli algebra" mavzulari.

Vizyonerlar

Ushbu maqolalarda biz chiziqli algebra bo'linishining muhimroq tushunuvchilari bilan tanishmiz, chunki vyznaênik nomi.

Bundan tashqari, men muhim bir narsani ta'kidlamoqchiman: kvadrat matritsalar uchun (satrlar soni = ustunlar soni) aniqroq emas, boshqa matritsalarda aniq emas.

Muhim kvadrat matritsa(Aniqlovchi) - matritsaning sonli xarakteristikasi.

Nomzodlarni tayinlash: | A |, det A, ∆ A.

Vyznachnik Rivojlanayotgan kuchlarni qondiradigan yoga elementlarining barcha mumkin bo'lgan yaratilishlarining algebraik yig'indisini nomlash uchun "n":

1) Bunday twirning terisi "n" elementlarga teng (2-tartibdagi tobto vyznachnik - 2 element).

2) Teri yaratishda ko'paytiruvchi sifatida hozirgi teri qatori va teri tuzilishining vakili.

3) Terini yaratishda ikkita spívmulniki kabi bo'ling, bir qatorda yotolmaydi yoki turolmaydi.

Yaratish belgisi ustunlar raqamlarini chizish tartibi bilan ifodalanadi, chunki elementlar qatorlardagi raqamlarning o'sishi tartibida joylashtirilgan.

Keling, matritsa determinantining ahamiyati misolini ko'rib chiqaylik:

Birinchi tartibli matritsa (tobto.

Chiziqli tekislash. Chiziqli chiziqlarning virishennya tizimlari. Kramer usuli.

ê jami 1 element), eng muhim elementning determinanti:

2. Boshqa tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqamiz:

3. Uchinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing (3 × 3):

4. Endi esa raqamlarga qaraylik:

Trickster qoidasi.

Hiyla-nayrang qoidasi matritsaning hakamini hisoblash usuli bo'lib, bunday sxema uchun ushbu bilimlarni etkazadi:

Siz allaqachon tushunganingizdek, triko qoidalarini nomlash usuli matritsaning ko'paytiriladigan elementlari o'zlarining trikutniklarini tashkil qilishiga asoslanadi.

Buni yaxshiroq tushunish uchun keling, quyidagi dumbani ko'rib chiqaylik:

Endi esa trikutnik qoidasi bo‘yicha haqiqiy sonlardan matritsaning hakamini hisoblashni ko‘rib chiqamiz:

O'tilgan materialni birlashtirish uchun yana bir amaliy misol mavjud:

Vakolatli shaxslarning vakolatlari:

1. Abo stovptsya qatorining elementlari nolga teng bo'lganligi sababli, ko'rsatkich nolga ko'tariladi.

2. Vyznachnik, missiyalar yordamida 2 qator va stovptsni eslab qoladigandek, belgini o'zgartirish. Keling, kichkina dumbani ko'rib chiqaylik:

3. Transpozitsiyalangan matritsaning belgisi chiqish matritsasining belgisiga yaqinroq.

4. Belgilovchi nolga teng, shuning uchun bir qatorning elementlari keyingi qatorning mos keladigan elementlariga teng bo'ladi (bir xil qator uchun). Magistral hokimiyatning eng oddiy misoli:

5. Yo'l ko'rsatkichi nolga teng, shuning uchun 2 qator proportsionaldir (ustunlar uchun ham). Butt (1 va 2 qatorlar proportsional):

6. Qatorning Zagalniy ko'paytiruvchisi (stovptsya) vyznachnik belgisi uchun ayblanishi mumkin.

7) Belgilovchi o'zgarmaydi, shuning uchun qator elementlariga (stowptsya) keyingi qatorning boshqa elementlarini (stowpsya) bir xil qiymatga ko'paytiring. Keling, dumbani ko'rib chiqaylik:

Minor va algebraik qo‘shish

Aktsiyalarda matritsalarni katlama va ko'rish

Matritsalar bilan yuboring

"Matritsalar" tushunchasi

Orqaga qarang: 57258

Vyznachnik (vin bir xil determinant (determinant)) kvadrat matritsalar uchun kamroq tarqalgan. Belgilovchi boshqa hech narsa emas, matritsaning barcha elementlarini o'z ichiga olgan qiymat kabi, satrlarni yoki stovptsivni ko'chirishda olinadi. U matritsa sifatida det(A), |A|, D(A), D, de A, ya'ni harf sifatida belgilanishi mumkin, ya'ni c. Siz turli yo'llar bilan yoga bilishingiz mumkin:

Barcha taklif qilingan usullar matritsalar bo'yicha uch va undan ortiq navlarda ishlab chiqiladi. Ikki dunyo matritsasining belgisi uchta elementar matematik operatsiyalar yordamida ma'lum, shuning uchun siz ikki dunyo matritsasining belgisini hisoblash usullaridan foydalana olmaysiz. Xo'sh, krem ​​qo'shimchaga o'xshaydi, lekin bu haqda gapiraylik.

Biz 2x2 matritsaning belgisini bilamiz:

Matritsamizning belgisini bilish uchun bir xil diagonallarning ikkinchisidan va o'zidan tobto raqamlariga qarash kerak.

Vyznachnik matritsalarining ma'nosini boshqa tartibda qo'llang

Yonma-yon yotqizish

Matritsada qator yoki stend mavjudligini tanlang. Teskari chiziqdagi teri raqami (-1) i + j de (i, j - qatorning soni, bu raqamning ustuni) bilan ko'paytiriladi va elementlardan katlanmış boshqa tartib belgisi bilan ko'paytiriladi. , yakshanba kuni yo'qolgan i - qatorlar va j - ustun. Keling, matritsani ko'rib chiqaylik

1. vibero qatori/stovpets

Masalan, boshqa qatorni oling.

Eslatma: Qaysi qatorning yordami uchun etakchini bilish uchun, nolga ega bo'lgan qatorni tanlash aniq ko'rsatilmagan. Hech bo'lmaganda hisoblab chiqasiz.

1. Sklademo Viraz

Raqamning belgisi har safar o'zgarib turishi muhim emas. Shunday qilib, birining o'rinbosarini shunday stol qadrlashi mumkin:

1. Biz raqamlarimizning belgisini eslaymiz

1. Biz matritsalarimizning birlamchilarini bilamiz

1. Biz hamma narsani hurmat qilamiz

Yechim quyidagicha yozilishi mumkin:

Vyznachnik belgisini tartiblarga / ustunlarga qo'llang:

Trikotaj shakliga keltirish usuli (elementar o'zgarishlar yordamida)

Mashinist matritsani trikotaj (pog'onali) aqlga qisqartirish yordami bilan tanilgan, bu elementlarning bosh diagonali ko'paytirilishi.

Triko matritsa - bu diagonalning bir tomonidagi elementlari nolga teng bo'lgan matritsa.

Matritsa tomonidan so'ralganda, uchta oddiy qoidani eslang:

1. Shorazu o'zi orasidagi qatorlarni qayta tashkil qilganda, vyznachnik qarama-qarshilik belgisini o'zgartiradi.
2. Bir qatorni nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish/bo'lishda, yangi raqamga bo'lish (ehtimol ko'paytirish)/ko'paytirish (ehtimol bo'lish) yoki yangi raqam qo'shish orqali siljiydi.
3. Raqamga ko‘paytirilgan bir qatorni keyingi qatorga qo‘shganda bildiruvchi o‘zgarmaydi (ko‘paytiruvchi qator o‘z qiymatini oladi).

Keling, birinchi ustundan, keyin boshqasidan nol olishga harakat qilaylik.

Keling, matritsamizni ko'rib chiqaylik:

Ta-a-ak. Hisoblash qabul qilinishi uchun onaning hayvonga eng yaqin raqami bo'lishini istardim. Siz uni tashlashingiz mumkin, lekin sizga kerak emas. Mayli, boshqa qatorda ikkita, birinchi qatorda esa chotiri bor.

Yaxshi eslab qoling qi ikki qator poddeku.

Biz millar qatorini esladik, endi bu mening aybim, yo bir qatordagi belgini o'zgartirish yoki oxiridagi belgini o'zgartirish.

Vizyonerlar. Tayinlanganlarni hisoblash (2-bet)

Keling, oldinga boraylik.

Endi birinchi qatordan nolni olish uchun - birinchi qatorni 2 ga ko'paytiring.

Biz ikkinchi qatordan 1-qatorni ko'rishimiz mumkin.

Bizning 3-qoidaga Vídpovídno, biz vihídny qatorni boshoq holatida aylantiramiz.

Endi 3-qatorda zrobimo nol. Biz 1-qatorni 1,5 ga ko'paytirishimiz va uchinchi qatorni tanlashimiz mumkin, ammo kasrli robot ozgina qoniqish keltiradi. Bunga biz haqoratli qatorlarni keltira oladigan raqamni bilamiz - tse 6.

3-qatorni 2 ga ko'paytiring.

Endi biz 1-qatorni 3 ga ko'paytiramiz va 3-dan ko'ramiz.

Keling, 1-qatorimizni aylantiramiz.

3-qatorni 2 ga ko'paytirganimizni unutmang, keyin belgini 2 ga bo'lamiz.

Bitta pechka ê. Endi, boshqasida nollarni olish uchun - 1-qatorni unuting - 2-qator uchun mashq qiling. Boshqa qatorni -3í dodamo bilan uchinchiga ko'paytiring.

Boshqa qatorni aylantirishni unutmang.

Axes mi y zbuduvali trikutnu matritsasi. Biz nimani yo'qotdik? Va raqamlarni bosh diagonali bilan ko'paytirish qoldirildi, biz buni qilamiz.

Xo'sh, men o'z taxminimni yo'qotib qo'ydim, nega biz imzolovchini ikkiga bo'lishda aybdormiz va belgini eslayman.

Sarrus qoidasi (hiylalar qoidasi)

Sarrus qoidasi uchinchi tartibli kvadrat matritsalarga kamroq zastosovuetsya.

Belgilovchi matritsaning o'ng tomoniga dastlabki ikkita ustunni qo'shish, matritsa diagonallari elementlarini va ularning katlamalarini ko'paytirish va qarama-qarshi diagonallar yig'indisini qo'shish yo'li bilan hisoblanadi. Binafsha rang to'q sariq diagonallardan ko'rinadi.

Trikutniklarning qoidasi bir xil, faqat rasm boshqacha.

Laplas teoremasi div. Yonma-yon yotqizish

Ko'pincha VNZda ilg'or matematika bilan bog'liq muammolar mavjud, ularda bu zarur matritsaning belgisini hisoblang. Nutqdan oldin arbitr kvadrat matritsalar uchun kamroq bo'lishi mumkin. Quyida biz asosiy tayinlovlarni ko'rib chiqamiz, chunki hokimiyat boshliq bo'lishi mumkin va ularni qanday qilib to'g'ri hisoblash mumkin. Shuningdek, dumbalarda qaror haqida hisobot ko'rsatiladi.

Matritsa hakami nima: hakamning yordami uchun hakamning ro'yxati

Muhim matritsa

Boshqa tartib - bu butun raqam.

Matritsaning belgisi imzolangan - (determinantning lotincha nomi sifatida qisqartirilgan) yoki.

Yakshcho:, tashqariga chiq

Keling, qo'shimcha belgilarning yana bir nechta spratlarini taxmin qilaylik:

Uchrashuv

Elementlardan yig'ilgan raqamlar to'plamining tartiblanishi tartibni almashtirish deyiladi.

Shaxssizlar uchun elementlardan qasos olish uchun, har doim chaqiruv belgisi bilan ko'rsatilgan omil (n): . O'zgartirishlar to'g'ridan-to'g'ri tartibda bir yoki bir nechta turdagi amalga oshiriladi. Tushunish uchun keling, bir dumbani nishonga olaylik:

Keling, uchta elementdan (3, 6, 7) yuzsizlarni ko'rib chiqaylik. 6 ta almashtirish mavjud, shuning uchun .:

Uchrashuv

Tartib almashinishlarining inversiyasi - sonlar to'plamining tse tartiblanishi (yogo biektsiyu deb ataladi), de í̈x ikkita sonning tartibsizlik kabi ko'rinishi. Agar bu almashtirishda raqamlar soni ko'proq bo'lsa, u kichikroq raqamning chap tomoniga joylashtiriladi.

Ko'pincha, biz raqamlarning o'zgarishi, de boules inversiyasidan dumbaga qaradik. Shunday qilib, o'q, keling, boshqa qatorni olaylik, berilgan raqamlarga ko'ra, tashqariga chiqamiz, nima, lekin boshqa element uchinchi elementdan kattaroqdir. Hizalash uchun oltinchi qatorni olaylik, raqamlarni o'chiring:. Bu yerda uchta garov mavjud: , aks holda title="(!LANG:(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com)." height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}!}

Biz inversiyaning o'zi aylanishiga yo'l qo'ymaymiz va bizga masofadan turib almashtirish o'qi kerak bo'ladi.

Uchrashuv

Muhim matritsa x - raqam:

1 dan tugallanmagan songacha bo'lgan sonlarning almashtirilishi va almashtirishning inversiyalari soni. Shu vaqtdan boshlab, dodankiv vyznachnikga kiradi, chunki ular "vyznachnik a'zolari" deb ataladi.

Siz uchinchi va to'rtinchi tartibli matritsani hisoblashingiz mumkin. Shunday qilib, taxmin qiling:

Uchrashuv

matritsaning hakami - bir xil raqam

Ushbu formulani tushunish uchun biz uni hisobotda tasvirlab beramiz. Kvadrat matritsaning belgisi x - qo'shimchalar uchun qasos olish uchun yig'indining narxi va qo'shimchalarning terisi - matritsa elementlarining sonini yaratish. Bu bilan terini yaratishda teri qatorining elementi va matritsaning teri tuzilishi mavjud.

Oxirgi qo'shilishdan oldin, u holda paydo bo'lishi mumkin, chunki ishdagi matritsaning elementlari tartibda (satr raqamidan keyin) va ustunlarning shaxssiz raqamlarini almashtirishdagi inversiyalar soni juftlashtirilmagan. .

Matritsaning hakami chi ga tayinlanganligi aniqroq edi, shuning uchun hakam ko'pincha determinant deb ataladi.

Keling, formulaga murojaat qilaylik:

Formuladan ko'rinib turibdiki, birinchi tartibli matritsaning belgisi matritsaning elementi hisoblanadi.

Matritsaning matritsasini boshqa tartibda hisoblash

Matritsani yechishning eng amaliy usuli bu boshqa, uchinchi va, ehtimol, to'rtinchi tartibli usullardir. Keling, matritsa indeksi boshqa tartibda qanday hisoblanishini ko'rib chiqaylik:

Matritsa boshqa tartibga ega, yulduzlar faktorial ekanligini ko'rsatadi. Birinchi nizh zasosuvat formulasi

Berilgan ma'lumotlarga ko'ra, biz quyidagilarni ko'rsatishimiz kerak:

2. ko'paytmalarning almashtirishlari: i;

3. almashtirishdagi teskari raqamlar soni: i , shards title="(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}!}

4. turli ishlarni bajaring: i.

Chiqish:

Yuqoridagilardan chetga chiqib, biz boshqa tartibli kvadrat matritsaning belgisini hisoblash uchun formulani olamiz, ya'ni x:

Keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik, kvadrat matritsaning sonini boshqa tartibda qanday hisoblash mumkin:

Butt

menejer

x matritsasini sanab o'ting:

Yechim

Otzhe, biz borishimiz kerak , , , .

Uni bajarish uchun avval ko'rib chiqilgan formula bilan tezlashtirish kerak:

Biz raqamlarni dumba bilan ifodalaymiz va biz bilamiz:

Vidpovid

Boshqa tartibning muhim matritsasi =.

Uchinchi tartibli matritsani hisoblash: formula uchun yechim misoli

Uchrashuv

Uchinchi tartibli matritsa - bu to'qqizta berilgan sondan olingan, kvadrat jadvalda tartiblangan butun son,

Uchinchi tartibli vyznachnik perebuvaê mayzhe kabi i, yak i vyznachnik boshqa tartib. Formulada farq kamroq. Shuning uchun formulani yo'naltirish yaxshidir, keyin echimlar bilan bog'liq muammolar bo'lmaydi.

Uchinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqaylik *:

Berilgan matritsadan kirib, faktorial = tushuniladi va tse barcha almashtirishlar paydo bo'lishi kerakligini anglatadi.

Formulani to'g'ri olish uchun siz ma'lumotlarni bilishingiz kerak:

Otzhe, umumiy almashtirishlar shaxsiy emas:

O'zgartirishlardagi inversiyalar soni, lekin yangilarini yaratishda =;

O'zgartirishlardagi inversiyalar soni title="(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}!}

O'zgartirish sarlavhasining teskarisi="(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}!}

. ; almashtirish sarlavhasi = "(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}!}

. ; almashtirish sarlavhasi = "(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}!}

. ; almashtirish sarlavhasi = "(!LANG:(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan)" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}!}

Endi biz kirishimiz kerak:

Shunday qilib, biz matritsaning indeksini x tartibida hisoblash formulasini olib tashladik:

Triko qoidasidan keyingi uchinchi tartibli matritsaning ahamiyati (Sarrus qoidasi)

Ko'proq sodir bo'lganligi sababli, 3-darajali vyznachnikning elementlari uchta qatorda va uchta qatorda tikilgan. Agar siz bosh elementning belgisini kiritsangiz, unda birinchi element qatorning raqamini, indeksning boshqa elementi esa - ustunning sonini bildiradi. Ê bosh (elementi) va vyznachnik diagonalining yon tomoni (elementi). O'ng tomonda joylashgan Dodanki vyznachnik a'zolari deb ataladi).

Ko'rinib turibdiki, primatning teri a'zosi sxemadan dermal qatorda va teri dumida faqat bitta element bilan o'zgaradi.

Diagrammada ko'rsatilgan to'rtburchakning qo'shimcha qoidasi uchun vyznachnikni hisoblash mumkin. Chervonim rang bilan bosh diagonalining a'zosi bosh diagonali elementlaridan, shuningdek, bir tomondan osilgan trikutniklarning tepasida joylashgan, boshga parallel ravishda joylashgan elementlarning a'zolari ko'rinadi. diagonal (chap diagramma), belgisi bilan olinadi.

Yon diagonalning elementlaridan, shuningdek, trikutniklarning yuqori qismida joylashgan elementlardan ko'k o'qlari bo'lgan a'zolar yon diagonalga parallel, yon tomonlarga parallel bo'lishi uchun (o'ng diagramma) belgi bilan olinadi.

Bosqichli dumbada biz uchinchi tartibli kvadrat matritsaning birinchi raqamini qanday hisoblashni o'rganamiz.

Butt

menejer

Uchinchi tartibli matritsa o‘zgaruvchisini hisoblang:

Yechim

Kimning misoli:

Ko'proq ko'rilgan vyznachnik, zastosovuyuchi formula yoki sxemani hisoblang:

Vidpovid

Uchinchi tartibli muhim matritsa =

Uchinchi tartib matritsasida tayinlanganlarning asosiy vakolatlari

Oldingi uchrashuvlar va formulalar asosida biz asosiysini ko'rib chiqishimiz mumkin matritsa hukmdorining kuchi.

1. rozmyr vyznachnik chínítsya píd hívíny ídpovidnyh ryadkív, stoptsív emas (bunday zamenína transpozitsiya deb ataladi).

Ko'tarilgan matritsaning belgisi matritsaning belgisiga yaqinroq ekanligini o'zgartiramiz:

Keling, g'olibni hisoblash formulasini taxmin qilaylik:

Matritsani ko'chiring:

O'tkazilgan matritsaning ishorasini hisoblaymiz:

Biz tashilgan matritsaning belgisi qimmatroq chiqish matritsasi ekanligini chalkashtirib yubordik, to'g'ri qaror haqida nima deyish mumkin.

2. Ustaning belgisi prolejniy belgiga o'zgaradi, go'yo oylarning yangi xotirasida, u ikkita yoga ustuni yoki ikkita qator bo'lsin.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

Uchinchi tartibli ikkita matritsa berilgan ( x ):

Bu matritsalarning primatlari ko'payib borayotganini ko'rsatish kerak.

Yechim

Matritsadagi i matritsaning qatorlari o'zgargan (birinchidan uchinchisi, birinchisidan uchinchisi). Boshqa hokimiyatga Vidpovidno, ikki matritsaning vyznachniki belgisi aybdor. Shunday qilib, bitta matritsa ijobiy, ikkinchisi esa salbiy belgiga ega. keling, boshliqni hisoblash formulasini belgilab, hokimiyatni qayta ko'rib chiqaylik.

Bunga kuch to'g'ri keladi.

3. Belgilovchi nolga yaqin, lekin yangisida ikki qatorda bir xil muhim elementlar mavjud (stowptsy). Imzolovchi birinchi va boshqa stovptsivning bir xil elementlariga ega bo'lsin:

Xuddi shu joylarning joylarini eslab, mi, zgidno s kuch 2, biz yangi belgini olib tashlaymiz: =. Boshqa tomondan, yangi imzolovchi boshoq bilan qurilgan, bir xil turdagi parchalar elementlardir, shuning uchun = . Tsix tengliklaridan mi chiqadi: = .

4. Belgilovchi nolga teng, chunki bir qatorning barcha elementlari (stowptsya) nolga teng. Tse qattiqlashuvi (1) formula uchun bildiruvchining teri a'zosining har birida bittadan va teri qatoridan (stupptsya) bir nechta elementga ega bo'lishidan ko'rinadi, ular uchun nolga ega.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

Matritsa belgisi nolga teng ekanligini ko‘rsatamiz:

Bizning matritsamiz ikkita bir xil ustunga ega (boshqa va uchinchi), shuning uchun hokimiyat kuchi tufayli hakam nolga hukmronlik qilishda aybdor. Qayta ko'rib chiqildi:

Ikkita bir xil ustunli matritsaning belgisi nolga teng.

5. Birinchi qator elementlarining yuqori ko'paytiruvchisi (stovptsya) belgi belgisi uchun ayblanishi mumkin:

6. Bir qator yoki bitta stovptsya vyznachnik elementlari boshqa qatorning mos keladigan elementlariga (stowptsia) proportsional bo'ladimi, bunday vyznachnik nolga ko'proq teng bo'ladi.

Darhaqiqat, 5-quvvat uchun mutanosiblik koeffitsienti etakchining belgisi uchun, shuningdek, 3-quvvatni tezlashtirish uchun ayblanishi mumkin.

7. Vyznachnik ê satrlari (stovptsyv) elementlaridan charm kabi, ikki dodankív yig'indisi, bu vyznachnik vydpovídnyh vyznachnív yig'indisini ko'rib, soliqqa tortilishi mumkin:

Qayta tekshirish uchun elementlar joylashgan a'zolarni guruhlash uchun (1) tenglikning chap qismida joylashgan ko'rsatgichga ko'ra bo'kirgan ko'rinishda yozish kifoya. Dodankívning otrimanih guruhidan teri tenglikning o'ng qismidan birinchi va boshqa belgisi bo'ladi.

8. Uchrashuvning qiymati, hatto bitta satr yoki bitta ustunning elementigacha o'zgarmaydi, xuddi shu raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorning (stow) mos keladigan elementlarini qo'shing:

Tsya rashk 6 va 7 kuchdan chiqadi.

9. Matritsaning hakami , , har qanday tartibdagi ijodiy elementlarning ko'proq yig'indisi yoki ularning algebraga qo'shimchalari bo'yicha.

Bu erda matritsa elementining algebraik qo'shilishi bilan bog'liq muammo mavjud. Qo'shimcha quvvat uchun siz nafaqat uchinchi darajali matritsalarni, balki yuqori darajali matritsalarni ham hisoblashingiz mumkin ( x yoki x ). Boshqacha qilib aytganda, bu matritsaning matritsasini istalgan tartibda hisoblash uchun zarur bo'lgan takrorlanuvchi formuladir. vv eslab, oskolki tez-tez zastosovuetsya amaliy qo'lga kiritdi.

Vartoning aytishicha, to'qqizinchi tartib yordamida to'rtinchi tartibli matritsalarni va undan yuqori tartiblilarni sanash mumkin. Biroq, kim bilan ko'p hisoblash operatsiyalarini bajarish va hurmat qilish kerak bo'lsa, alomatlardan eng kichik kechirimga ega bo'lgan kishi noto'g'ri qarorga olib keladi. Yuqori tartibli matritsalar Gauss usuli yordamida eng oson transkripsiya qilinadi va bu haqda keyinroq gaplashamiz.

10. Qo'shimcha matritsalarni yaratuvchisi ularning yozuvchilari manbasiga qaraganda bir xil darajada rivojlangan.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

Butt

menejer

Perekonaytes, í̈kh vyznachniki yaratish aziz scho vyznachnik dvoh matritsalar. Ikki matritsa berilgan:

Yechim

Qo'lning orqa tomonida, biz twír vyznachnyv dvoh matritsasi ta bilamiz.

Endi biz ikkala matritsaning ko'paytirilishini hisoblashimiz mumkin va bunday darajada biz vyznachnikni hisoblashimiz mumkin:

Vidpovid

Biz aralashdik, sho

Gauss usuli yordamida matritsa indeksini hisoblash

Muhim matritsa yangilangan: 2019 yil 22-kuz tomonidan: Statti.Ru

Ilgari hakamlarni $n$-th tartibida hisoblash qoidasi og'ir edi. Boshqa va uchinchi tartibli vyznachniki uchun ularni hisoblashning oqilona usullarini topish kerak.

Boshqa tartibda tayinlanganlarni hisoblash

Matritsa indeksini boshqa tartibda hisoblash uchun siz bosh diagonaliga qo'shimcha elementlarni qo'shishingiz va yon diagonalda qo'shimcha elementlarni tanlashingiz kerak:

$$\chap| \begin(massiv)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(massiv)\o'ng|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Butt

Menejer. O'zgaruvchini boshqa tartibda hisoblang $ \ left | \begin(massiv)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiv)\right|$

Yechim.$\left| \begin(massiv)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiv)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = $69

Vidpovid.$\left| \begin(massiv)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiv)\o'ng|=69$

Uchinchi tartibli hisoblash usuli

Uchinchi tartibda vyznachniki hisoblash uchun bunday qoidalar qo'llaniladi.

triko qoidasi

Sxematik ravishda qoida quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Birinchi hakamdan elementlarni olish, xuddi ular to'g'ri bo'lganidek, ortiqcha belgisi bilan olinadi; xuddi shunday, boshqa hakam - vodpovidni yaratish "minus", tobto belgisi bilan olinadi.

$$\chap| \begin(massiv)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(massiv)\o'ng|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Butt

Menejer.$\left|ni hisoblang \begin(massiv)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiv)\o'ng| $ hiyla usuli bilan.

Yechim.$\left| \begin(massiv)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiv)\o'ng|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Vidpovid.

Sarrus hukmronligi

O'ng qo'l, imzolovchi sifatida, dastlabki ikkita ustunni qo'shing va bosh diagonalida va parallel diagonallarda elementlarni yarating, ortiqcha belgisi bilan z ni oling; va minus belgisi bilan yon diagonallar va diagonallar, parallel elementlarni yarating:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Butt

Menejer.$\left|ni hisoblang \begin(massiv)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end Sarrus qoidasi bo'yicha yordam uchun (massiv)\right|$.

Yechim.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Vidpovid.$\left| \begin(massiv)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiv)\o'ng| = $54

Ketma-ket yoki stovptsyu vyznachnik Arrangement

Vyznachnik ko'proq algebra qo'shimchalari bo'yicha vznachnik qatorining ijodiy elementlari yig'indisi. Nol bo'lgan qator/qatorni tanlash uchun qo'ng'iroq qiling. Joylashtirish amalga oshiriladigan qator yoki qator o'q bilan belgilanadi.

Butt

Menejer. Birinchi qatorga yoyib, vyznachnikni hisoblang $ \ chap | \begin(massiv)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiv) \right|$

Yechim.$\left| \begin(massiv)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiv) \o'ng| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \chap| \begin(massiv)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(massiv)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \chap | \begin(massiv)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(massiv)\o'ng|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \chap | \begin(massiv)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(massiv)\right|=-3+12-9=0$

Vidpovid.

Bu usul sizga boshliqning hisobini quyi tartibli boshliqning hisobiga oshirish imkonini beradi.

Butt

Menejer.$\left|ni hisoblang \begin(massiv)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiv) \right|$

Yechim. Biz boshliqning qatorlari ustida kelayotgan o'zgarishlarni ko'ramiz: boshqa qatordan biz birinchi qatorni, uchinchi qatordan esa birinchi qatorni ko'ramiz, buning natijasida boshliqning obro'sini ko'ramiz, biz berilganga teng boshliqni olib qo'ying.

$$\chap| \begin(massiv)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiv) \o'ng|=\chap| \begin(massiv)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(massiv)\oʻng|=$$

$$=\chap| \begin(massiv)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(massiv)\right|=\left| \begin(massiv)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(massiv)\o'ng|=0$$

Rahbar nolga teng, chunki boshqa va uchinchi qatorlar proportsionaldir.

Vidpovid.$\left| \begin(massiv)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiv) \right|=0$

To'rtinchi tartibda vyznachniki hisoblash uchun, u ko'proq zastosovuetsya yoki satr / ustunga chiqib yotqizish, yoki hiyla ko'rinishga kamayadi, yoki Laplas teoremasi yordam keyin.

Qator yoki stovptsya elementlari orqasida primatning joylashishi

Butt

Menejer.$\left|ni hisoblang \begin(massiv)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , istalgan satr yoki ustun elementlaridan keyin yogoni kengaytiradi.

Yechim. Sizning oldingizda ketma-ket yoki qatorda ko'proq nollarni yaratib, vyznachnik qatorlari ustida elementar o'zgarishlar mavjud. Bu elka uchun birinchi qatorda uchdan to'qqiz, qolgan qismida - uchdan besh va to'rtinchi - uchdan uch qatorda ko'rinadi, biz olamiz:

$$\chap| \begin(massiv)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(massiv)\o'ng|=\chap| \begin(massiv)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiv)\o'ng|=\ chap| \begin(massiv)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiv)\o'ng|$$

Otrimaniy vyznachnik birinchi ustunning elementlari orqasida joylashgan:

$$\chap| \begin(massiv)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiv)\o'ng|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(massiv)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(massiv)\right|+0$$

Uchinchi darajali etakchini olib tashlash, shuningdek, qator va ustun elementlari bilan belgilanadi, oldingi nollarni olib tashlash, masalan, birinchi ustunda. Birinchi qatorning qaysi turi uchun yana ikkita qator, uchinchi qator uchun esa boshqasi ko'rinadi:

$$\chap| \begin(massiv)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(massiv)\right|=\left| \begin(massiv)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( massiv)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(massiv)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(massiv)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Vidpovid.$\left| \begin(massiv)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(massiv)\o'ng|=0$

Hurmat

Qolgan va qolgan kotiblarni sanab bo'lmasdi, aksincha, nolga hidlanib, mutanosib qatorlardan o'ch olish uchun shardlar haqida chiseldi.

Vyznachnikni trikut ko'rinishiga keltirish

Abosts qatorlari ustidagi elementar o'zgarishlarga yordam berish uchun, vyznachnikni trikut ko'rinishiga va bir xil ma'noga yo'naltirish kerak, vyznachnik hokimiyatiga muvofiq, bosh diagonali ustida turish uchun yanada rivojlangan elementlar.

Butt

Menejer. Qiymatni hisoblang $ Delta = chap | \begin(massiv)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(massiv)\right|$ yogo bilan murakkab koʻrinishga ega boʻling.

Yechim. kalça diagonal bosh ostida birinchi stovptsy da robably nolga teng. O'zgartirish oddiyroq bo'ladi, chunki element $ a_ (11) $ ko'proq rivojlangan bo'ladi 1. Kim uchun biz boshliqning vakolatiga ko'ra, biz o'zgartirishimizga olib kelgan boshliqning birinchi va boshqa stovptsy eslayman. uzaytirish belgisi:

$$\Delta=\chap| \begin(massiv)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(massiv)\right|=-\left| \begin(massiv)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(massiv)\o'ng|$$

$$\Delta=-\chap| \begin(massiv)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(massiv)\o'ng|$$

Bosh diagonali ostida turishi kerak bo'lgan elementlar bo'shlig'ining boshqa tomonidan nollarni olaylik. Va yana, agar diagonal element $\pm 1$ dan ortiq bo'lsa, unda to'lovlar oddiyroq bo'ladi. Kim uchun bu minus boshqa va uchinchi qatorlar (agar u imzolovchining teskari belgisiga o'zgartirilsa):

$$\Delta=\chap| \begin(massiv)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(massiv)\o'ng|$$

Dasturlar