y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x funksiyalar. y=sin x funksiya grafigi x sinx funksiya grafigini tuzing

“Yoshqar-Ola xizmat ko‘rsatish texnologiyalari texnika kolleji”

y=sinx trigonometrik funksiya grafigini keyingi tadqiq qilish stol protsessor uchunXONIM Excel

/uslubiy ishlanma/

Yoshkar – Ola

Mavzu. Trigonometrik funktsiya grafigini keyingi tadqiq qilishy = sinx MS Excel elektron jadval protsessorida

Dars turi- Integratsiya (yangi bilimlarni olib tashlash)

Maqsadlar:

Didaktik meta - trigonometrik funktsiya grafiklarining xatti-harakatlariga rioya qilingy= sinxQo'shimcha kompyuterda sherigingiz bilan talab qilinadi

Asosiy ma'lumotlar:

1. Trigonometrik funktsiya grafigini o'zgartiring y= gunoh x Koeffitsientlarga bog'liq

2. Matematikada kompyuter texnologiyalarining rivojlanishini, ikki fan: algebra va informatikaning integratsiyalashuvini ko‘rsating.

3. Matematika darslarida kompyuter texnologiyalariga oid asosiy bilimlarni shakllantirish

4. Kuzatuv funksiyalari va ularning grafiklari bilan mahoratingizni mustahkamlang

Rivojlanayotgan:

1. Talabalarning boshlang'ich fanlarga bo'lgan kognitiv qiziqishlarini rivojlantirish va amaliy vaziyatlarda bilimlarini mustahkamlash.

2. Fikringizni tahlil qilish, tahlil qilish va mustahkamlash uchun fikringizni rivojlantiring

3. Talabalarning ilmiy darajasi va rivojlanishini qabul qiling

Vihovoyut :

1. O'z-o'ziga ishonish, ozodalik va samaradorlikni ta'kidlang

2. Muloqot madaniyatini shakllantirish

Sinfda robotlarni shakllantirish - birlashtirilgan

Didaktik egalik va egalik:

1. Kompyuter

2. Multimedia proyektori

4. Tarqatish materiali

5. Taqdimotni siljiting

Darsning borishi

I. Darsni tashkil etish

· Talabalar va mehmonlarni salomlash

· Dars uchun kayfiyat

II. Maqsadni belgilash va ular tomonidan amalga oshirish

Funktsiyani va kundalik grafikani kuzatish uchun juda ko'p vaqt talab etiladi, siz juda ko'p noqulay hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz kerak, lekin bu qo'lda emas va kompyuter texnologiyalari yordamga keladi.

Bugun biz MS Excel 2007 elektron jadval protsessorining trigonometrik funksiyalarining grafiklaridan foydalanishni boshlaymiz.

Darsimizning mavzusi “Trigonometrik funktsiya grafigini o'rganish y= sinx stol protsessori uchun"

Biz algebra kursidan funksiya va uning grafigini kuzatish sxemasi bilan tanishamiz. Keling, qanday qilib pul ishlashni aniqlaylik.

Slayd 2

Funktsiyani kuzatish sxemasi

1. Funktsiyaning ahamiyat sohasi (D(f))

2. E(f) funksiyaning qiymat diapazoni

3. Juftlashmalarning ma’nosi

4. Chastotasi

5. Nol funksiyalar (y = 0)

6. Belgi qiymatining intervallari (y>0, y<0)

7. Monotonlikning intervallari

8. Ekstremal funksiyalar

III. Yangi asosiy materialni birinchi o'zlashtirish

MS Excel 2007 dasturini oching.

y=sin funksiyasini chizamiz x

Stol protsessor uchun Pobudova grafikXONIM Excel 2007

Ushbu funktsiyaning jadvali har bir bo'lim uchun yangilanadi xЄ [-2p; 2p]

Bahsning ahamiyati atama bilan birodarlikdir , Jadvalingizni aniqroq qilish uchun.

Chunki muharrir raqamlar bilan ishlaydi, radianlarni raqamlarga aylantiradi, ma'no P ≈ 3.14 . (Jadval tarqatma materialda tarjima qilingan).

1. Biz nuqtadagi funksiyaning qiymatini bilamiz x = -2P. Argument qiymatini hal qilish uchun muharrir funksiyaning qo'shimcha qiymatlarini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi.

2. Endi bizda argument va funksiya qiymatlari bo'lgan jadval mavjud. Ushbu ma'lumotlar haqida qo'shimcha ma'lumot olish uchun biz diagramma ustasi yordamida ushbu funktsiyaning grafigiga murojaat qilishimiz mumkin.

3. Grafik yaratish uchun kerakli ma’lumotlar diapazoni, argument va funksiya qiymatlari bo‘lgan qatorlarni ko‘rishingiz kerak.

4..jpg" eni="667" balandligi="236 src=">

Biz visnovkini Zoshitga yozamiz (5-slayd)

Visnovok. y = sinx + k ko'rinishdagi funktsiya grafigini op-amp o'qini k birliklarga parallel ravishda o'tkazish orqali y = sinx funksiya grafigidan olish mumkin.

Agar k >0 bo'lsa, grafik k birlik yuqoriga siljiydi

Yakshcho k<0, то график смещается вниз на k единиц

Pobudova va tadqiqot funktsiyalarini yodda tutingy=k*sinx,k- const

Zavdannya 2. Ishda 2-varaq bitta koordinata tizimida funksiyalar grafiklaridan foydalaning y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, oraliqda (-2p; 2p) va grafik qanday ko'rinishini kuzatib boring.

(Argumentning qiymatini qayta ko'rsatmaslik uchun aniq qiymatlarni ko'chiramiz. Endi siz formulani ko'rsatishingiz kerak va jadvaldan grafik tuziladi.)

Grafiklar muntazam ravishda o'chiriladi. Keling, koeffitsientlarga asoslangan trigonometrik funktsiya grafigining xatti-harakatlarini ko'rib chiqaylik. (6-slayd)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x" , oraliqda (-2p; 2p) va grafik qanday ko'rinishini kuzatib boring.

Grafiklar muntazam ravishda o'chiriladi. Keling, koeffitsientlarga asoslangan trigonometrik funktsiya grafigining xatti-harakatlarini ko'rib chiqaylik. (8-slayd)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Visnovki Zoshitda yozilgan (Slayd 11)

Visnovok. Funktsiyaning y = sin (x + k) ko'rinishidagi grafigini y = sinx funksiya grafigidan OX o'qini birga parallel ko'chirish orqali olish mumkin.

Agar k >1 bo'lsa, grafik OX o'qi bo'ylab o'ngga siljiydi

Yakshcho 0

IV. Olingan bilimlarni birlamchi mustahkamlash

Qo'shimcha jadvallar uchun kundalik vazifalar va kuzatuv funktsiyalaridan farqlangan kartalar


	Y=6*sin(x)	Y=1-2 gunohX	Y=- gunoh(3x+)
1. Chet hudud
2. Ahamiyatli hudud
3. Paritet
4. Chastotasi
5. Tanishlik intervallari


6. Promizhkimonotonlik
Funktsiya o'sib bormoqda
Funktsiya o'zgarishlar
7. Ekstremal funktsiyalar
Eng kam
Maksimal

V. Uyni tashkil qilish

y=-2*sinx+1 funksiya grafigini tuzing, Microsoft Excel elektron jadvalidagi protseduraning to‘g‘riligini kuzatib boring va tekshiring. (12-slayd)

VI. Reflektsiya

Biz trigonometrik funktsiyalar va funktsiyalarning xatti-harakatlarini tushundik y = sin x zokrema, butun son qatorida (yoki argumentning barcha qiymatlari uchun X) intervallardagi xatti-harakatlari bilan yaqqol namoyon bo'ladi 0 < X < π / 2 .

Shunday qilib, birinchi navbatda, funksiyaning grafigini ko'rib chiqamiz y = sin x kimning oraliqlarida.

Funktsiyamiz qiymatlari jadvalini tuzamiz;

Koordinata tekisligidagi asosiy nuqtalarni ko'rsatib, ularni silliq chiziq bilan bog'lab, biz xaritada ko'rsatilgan egri chiziqni kuzatishimiz mumkin.

Chizilgan egri chiziqni funksiya qiymatlari jadvalini yaratmasdan geometrik tarzda yasash mumkin edi y = sin x .

1. Radiusi 1 bo'lgan qoziqning chorak qismi 8 ta teng qismga bo'lingan. Qoziqning pastki qismidagi ordinat nuqtasi yotgan oyoq-qo'llarning sinusidir.

2. Qoziqning birinchi choragi 0 dan kesmani bildiradi π / 2 . Tom eksa ustida X Bir qismni oling va uni 8 ta teng qismga bo'ling.

3. To'g'ri, parallel o'qlarni chizamiz X, chunki pastki nuqtadan to'g'ridan-to'g'ri chiziqqa perpendikulyarlar gorizontal chiziqlarga aniq perpendikulyar.

4.To'rning nuqtalari silliq chiziq bilan bog'langan.

Endi men intervalgacha yovvoyi ketyapman π / 2 < X < π .
Bahsning teri ahamiyati X Qaysi vaqt oralig'ida to'lovlarni bir qarashda topshirishingiz mumkin

x = π / 2 + φ

de 0 < φ < π / 2 . Formulalar bo'yicha ko'rsatmalar uchun

gunoh ( π / 2 + φ ) = cos φ = gunoh ( π / 2 - φ ).

Eksa nuqtalari X absislar bilan π / 2 + φ і π / 2 - φ o'q nuqtasiga bir-biriga simmetrik X abscissa bilan π / 2 , va bu nuqtalarda sinuslar bir xil. Bu sizga funktsiya grafigini ko'rish imkonini beradi y = sin x intervallarda [ π / 2 , π ] bu funksiya grafigini deyarli to'g'ri oraliqlarda oddiy simmetrik ko'rsatish usuli X = π / 2 .

Endi, vikoristlar va kuch ulanmagan funksiya y = sin x,

gunoh (- X) = - gunoh X,

Ushbu funktsiyani oraliqda grafik qilish oson [- π , 0].

y = sin x funktsiyasi davriy bo'lib, davri 2p ga teng ;. Shuning uchun, ushbu funktsiyaning butun grafigini to'ldirish uchun kichkintoyda ko'rsatilgan egri chiziqni to'ldiring, vaqti-vaqti bilan chapga va o'ngga harakat qiling. 2p .

Bu egri chiziqning vorisi deyiladi sinusoidal . Bu funksiyaning grafigi y = sin x.

Kichkintoy barcha quvvat funktsiyalarini yaxshi tasvirlaydi y = sin x , avvalroq xabar berganimizdek. Keling, kuchni eslaylik.

1) Funktsiya y = sin x barcha ma'nolar uchun belgilangan X Shuning uchun uning qiymatining maydoni barcha faol raqamlarning yig'indisidir.

2) Funktsiya y = sin x chiziqli. Yaratilgan barcha qiymatlar -1 dan 1 gacha bo'lgan oraliqlarga, shu jumladan ikkita raqamga joylashtiriladi. Shuningdek, bu funktsiyaning o'zgarish doirasi -1 tengsizlik bilan ko'rsatilgan < da < 1. Qachon X = π / 2 + 2k π funktsiya 1 ga teng eng katta qiymatni to'playdi va x uchun = - π / 2 + 2k π - Eng kichik qiymatlar, teng - 1.

3) Funktsiya y = sin x ê juftlashtirilmagan (sinusoid koordinata ildiziga simmetrikdir).

4) Funktsiya y = sin x 2-davr bilan davriy π .

5) 2n oraliqda π < x < π + 2n π (n - butun son bo'lsin) musbat va oraliqda π + 2k π < X < 2π + 2k π (k - butun son qanday bo'lishidan qat'iy nazar) manfiy. x = k da π funktsiya nolga qaytariladi. Shuning uchun argumentning qiymati x (0; ± π ; ±2 π ; ...) funksiya nollari deyiladi y = sin x

6) oraliqda - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiyasi y = gunoh x monoton va intervalgacha o'sadi π / 2 + 2k π < X < 3p / 2 + 2k π monoton tarzda o'zgaradi.

Varto funksiyaning xatti-harakatiga alohida e'tibor beradi y = sin x nuqtaga yaqin X = 0 .

Masalan, sin 0,012 ≈ 0,012; gunoh(-0,05) ≈ -0,05;

gunoh 2° = gunoh π 2 / 180 = gunoh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Bugungi kunda siz qanday qadriyatlarga ega ekanligingizni aniqlashingiz kerak

| gunoh x| < | x | . (1)

Samarali ravishda, chaqaloqqa taqdim etilgan qoziqning radiusi 1 ga teng bo'lsin,
a / AOB = X.

Todi gunoh x= AC. Ale AS< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Ushbu yoyni ikki barobarga oshirish qadimgi, shubhasiz X, Demak, qoziq radiusi 1 ga teng bo'lgani uchun. Shuningdek, 0 da< X < π / 2

gunoh x< х.

Funksiyaning tengsizligi orqali ulanish y = sin x qachon sodir bo'lishini ko'rsatish oson - π / 2 < X < 0

| gunoh x| < | x | .

Nareshti, at x = 0

| gunoh x | = | x |.

Ozhe, | uchun X | < π / 2 asabiylashish (1) olib keldi. To'g'ri, tengsizlik to'g'ri va | uchun x | > π / 2 kimlar orqali | gunoh X | < 1, a π / 2 > 1

To'g'ri

1.Funksiya jadvaliga muvofiq y = sin x ahamiyati: a) gunoh 2; b) gunoh 4; c) gunoh (-3).

2.Funksiya jadvaliga muvofiq y = sin x oraliqdagi raqam sifatida hisoblash
[ - π / 2 , π / 2 ] sinus, teng: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funksiya grafigining orqasida y = sin x raqamlar qanday sinus hosil qiladi degan ma'noni anglatadi,
1/2 ga teng.

4. Taxminan biling (wiki-jadvalsiz): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) gunoh (-0,015); d) gunoh (-2 ° 30 ").

"Y=sin(x) funksiyasi. Ahamiyati va kuchi" mavzusidagi dars va taqdimot.

Qo'shimcha materiallar
Shanny koristuvach, sharhlaringizni, sharhlaringizni, hurmatlaringizni mahrum qilishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tasdiqlangan.

1C ostidagi 10-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konidagi manba kitoblari va simulyatorlar
Geometriya bilan bog'liq muammolar mavjud. 7-10 sinflar uchun interaktiv kundalik topshiriqlar
"1C: Matematik konstruktor 6.1" dasturiy ta'minoti

Biz nimani bilishimiz kerak:

Funktsiyaning kuchi Y = sin (X).
Funktsiya grafigi.
Jadval qanday bo'ladi va u qanday miqyosda bo'ladi?
qo'llang.

Sinusga kuch. Y=sin(X)

Bolalar, biz allaqachon raqamli argumentning trigonometrik funktsiyalari bilan tanishdik. Ularni eslaysizmi?

Y=sin(X) funksiyasini batafsil ko‘rib chiqamiz.

Bu funksiyaning vakolatlarini yozamiz:
1) Muhim soha - faol raqamlarning yo'qligi.
2) Funktsiya juftlashtirilmagan. Bog'lanmagan funksiyaning ma'nosi taxmin qilinadi. Tenglama teng bo'lgani uchun funksiya juftlashtirilmagan deb ataladi: y(-x)=-y(x). Biz quyidagi formulalarni eslaymiz: sin(-x)=-sin(x). Qiymat aniqlandi, shuning uchun Y = sin (X) juftlashtirilmagan funksiyadir.
3) Y=sin(X) funksiya kesmaga ortadi va kesmaga [p/2; p]. Birinchi chorak bo'ylab (yil strelkasiga qarshi) qulaganimizda ordinata ortadi va boshqa chorak bo'ylab qulash sodir bo'lganda, u o'zgaradi.

4) Y=sin(X) funksiya pastdan chegaralangan. Bu kuch shundan kelib chiqadi
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funksiyaning eng kichik qiymati -1 (x = - p/2+ pk da). Funksiyaning eng yuqori qiymati 1 ga teng (x = p/2+ pk da).

Keling, 1-5 avtoritetlarni tez ko'rib chiqamiz va Y = sin (X) funktsiyasining grafigini aniqlaymiz. Bizning jadvalimiz hukumatimiz bilan mos, turg'un bo'ladi. Tez orada tanaffuslar jadvali bo'ladi.

Men, ayniqsa, masshtabni kattalashtirishni qadrlayman. Ordinata o'qida ikkita katakka teng bo'lgan bitta kesmani olish yaxshiroqdir va abscis o'qida p / 3 ga teng bo'lgan bitta qism (ikki hujayra) olinadi (kichiklarni hayratda qoldiring).

X, y=sin(x) sinus funksiyasining Pobudova grafigi.

Keling, bo'limimizdagi funktsiyalarning ma'nosini ko'rib chiqaylik:

Keling, uchinchi komponentni o'z o'rniga qo'ygan holda, fikrlarimizdan keyin grafik tuzamiz.

Arvoh formulalari uchun jadvalni qayta ishlash

Boshqa vakolatli organ bizning funktsiyamiz birlashtirilmaganligini aytishi tezda bo'lardi, ya'ni u koordinatalar atrofida nosimmetrik tarzda ifodalanishi mumkin:

Biz bilamizki, sin(x+2p) = sin(x). Bu degani, kesish [- p; p] grafik xuddi [p bo'limga o'xshaydi; 3p] yoki [-3p; - p] va boshqalar. Biz butun abscise uchun oldingi sahifadagi grafikni diqqat bilan tuzishdan mahrummiz.

Y=sin(X) funksiyaning grafigi sinus egri chiziq deyiladi.

Kerakli jadval bilan bugun yana bir nechta vakolatlarni yozamiz:
6) Y=sin(X) funksiya istalgan shaklda o‘sadi: [- p/2+ 2pk; p/2+ 2pk], k butun son va istalgan ko‘rinishga o‘zgaradi: [p/2+ 2pk; 3p/2+ 2pk], k – butun son.
7) Y=sin(X) funksiya uzluksiz funksiyadir. Funksiya grafigini ko‘rib, uni o‘zgartirsak, bizning funksiyamizda uzilishlar yo‘q, ya’ni uzilish yo‘q.
8) Qiymat maydoni: o'sishlar [-1; 1]. Bu funktsiyaning grafigidan ham aniq ko'rinadi.
9) Y = sin (X) funksiya davriy funktsiyadir. Grafikni yana bir bor ko'rib chiqsak, funktsiya bir xil qiymatlarni intervallar orqali to'plashi muhimdir.

Iz sine buyrug'ini qo'llang

1. sin(x)= x-p tenglamani yeching

Yechish: Funksiyaning 2 ta grafigini tuzamiz: y=sin(x) va y=x-p (boʻlinish rasm).
Bizning grafiklarimiz bir nuqtada o'zgaradi A(p;0) va bu javob: x = p

2. y=sin(p/6+x)-1 funksiya grafigini tuzing

Yechish: Grafikni izlash natijasida y=sin(x) funksiya grafigini p/6 birlikka chapga va 1 birlik pastga siljitish mumkin.

Yechish: funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz va bo‘limimizni [p/2; 5p/4].
Funktsiya grafigi shuni ko'rsatadiki, eng yuqori va eng past qiymatlar bo'limning oxirida, p/2 va 5p/4 nuqtalarida ketma-ket erishiladi.
Misol: sin(p/2) = 1 – eng katta qiymat, sin(5p/4) = eng kichik qiymat.

Mustaqil fazilat uchun sinusning sharti

Tenglamani eching: sin(x)= x+3p, sin(x)= x-5p
y=sin(p/3+x)-2 funksiya grafigini tuzing
y=sin(-2p/3+x)+1 funksiya grafigini tuzing
y=sin(x) funksiyaning har bir kesimdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping
y=sin(x) funksiyaning kesimdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping [- p/3; 5p/6]

Bu darsda y = sin x funksiyasi, uning asosiy kuchi va grafigi bilan yaqindan tanishamiz. Darsni boshlash uchun funksiyaning to‘g‘ri chiziqdagi grafigini ko‘rib chiqamiz. Grafikda ushbu funktsiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funktsiyaning asosiy kuchini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiyalar va vakolatlarning turli grafiklaridan bir nechta oddiy vazifalar mavjud.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y=sinx funksiyasi, uning asosiy darajalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqayotganda, argumentning har bir qiymatini funktsiya bilan bir xil qiymatga belgilash muhimdir. Tsey yashash qonuni Va u funktsiya deb ataladi.

Muvofiqlik qonuni muhim ahamiyatga ega.

Har qanday faol son bitta sonda bitta nuqta bilan ifodalanadi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Argumentning har bir qiymati funksiyaning bir xil qiymatiga tayinlanadi.

Aniq kuch sinusning qiymatidan kelib chiqadi.

Kichkintoy buni ko'radi chunki ce - bitta qoziq nuqtasining ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqamiz. Argumentning taniqli geometrik talqini mavjud. Argument - radyanlarda ifodalangan markaziy kesma. Mi o'qi bo'ylab biz operatsion raqamlarni yoki radianlarni taqdim etamiz, eksa bo'ylab funktsiyaning o'xshash qiymatlari mavjud.

Masalan, bitta doira grafikdagi nuqtalarni ko'rsatadi (2-rasm).

Boʻlinish funksiyasining grafigini tuzdik.Agar sinus davrini bilsak, funksiya grafigini butun qiymat sohasi boʻyicha chizamiz (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri grafikni bo'limda ko'rsatishni va keyin butun belgilangan maydonga uzaytirilishini anglatadi.

Keling, quvvat funktsiyalarini ko'rib chiqaylik:

1) Belgilangan hudud:

2) Qiymat maydoni:

3) Funktsiya bog'lanmagan:

4) eng qisqa ijobiy davr:

5) Grafikning ustunining nuqtalarini butun abscis bilan muvofiqlashtiring:

6) Barcha ordinatalardagi grafaning ko‘ndalang chizig‘i koordinatalari:

7) Funktsiya ijobiy qiymatlarni oladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni oladigan intervallar:

9) O'sish joylari:

10) O'zgartirish oraliqlari:

11) Minimal ball:

12) Minimal funksiyalar:

13) Maksimal ball:

14) Maksimal funksiyalar:

Biz quvvat funktsiyalari va jadvalini ko'rib chiqdik. Hokimiyat g'alaba soatida qayta-qayta g'alaba qozonadi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va analiz 10-sinf (ikki qismda). Orqa yoritish moslamalari uchun tutqich (profil rave) boshiga nashr. A. G. Mordkovich. -M: Menimozina, 2009 yil.

2. Algebra va analiz 10-sinf (ikki qismda). Orqa yoritish moslamalari uchun muammo kitobi (profil darajasi) tomonidan tahrirlangan. A. G. Mordkovich. -M: Menimozina, 2007 yil.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil (ilg'or matematika bo'lgan maktablar va sinflar uchun asosiy darslik). - M.: Prosvitnitstvo, 1996.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogiblene vyvchennia algebra va matematik tahlil.-M.: Prosvitnitstvo, 1997.

5. Oliy o‘quv yurtlari talabalari uchun matematika kitobi to‘plami (M.I.Skanavi tahririda).- M.: Vishcha Shkola, 1992 y.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik simulyator.-K.: A.S.K., 1997 y.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra va asosiy tahlilni bilish (umumiy ta'limning 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma) - M.: Prosvitnitstvo, 2003.

8. Karp A.P. Algebra va tahlil bo'yicha kitoblar to'plami: boshlanishi. 10-11 sinflar uchun qo'llanma. z poglibl. OIV. matematika.-M.: Prosvitnitstvo, 2006.

Uyni obodonlashtirish

Algebra va tahlil, 10-sinf (ikki qismda). Orqa yoritish moslamalari uchun muammo kitobi (profil darajasi) tomonidan tahrirlangan.

A. G. Mordkovich. -M: Menimozina, 2007 yil.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Sinovdan oldin tayyorgarlik ko'rish uchun yoritish portali ().