Розгорнута та згорнута форма числа. Розгорнута форма запису числа. «Комп'ютерні» системи числення

Які дві форми запису чисел є? заданий автором Просфоранайкраща відповідь це У позиційних системах числення еквівалент (значення) цифри залежить від її місця (позиції) у записі числа.
Позиція цифри у числі називається розрядом.
Розряд числа зростає праворуч наліво, від молодших розрядів до старших.
Підставою позиційної системи числення називається ціле число, яке дорівнює кількості цифр, що використовуються для зображення чисел у цій системі числення.
Підстава показує, скільки разів змінюється кількісне значення цифри під час переміщення їх у молодший чи старший розряд.
ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЗРАХУВАННЯ З ДОВІЛЬНИМ ПІДСТАВИМ
Можливе використання множини позиційних систем числення, основа яких дорівнює або більше 2.
У системах числення з підставою q (q-ічна система числення) числа розгорнутої формі записуються як суми низки ступенів підстави q з коефіцієнтами, як яких виступають цифри 0, 1, …, q-1.
або
Aq - число в q-іншій системі числення,
q – основа системи числення,
Ai – цифри, що належать до алфавіту даної системи числення,
n - число цілих розрядів числа,
m – число дрібних розрядів числа.
Коефіцієнти ai - цифри числа, записаного в q-й системі обчислення.
Згорнута форма запису числа:
Згорнутою формою запису чисел ми користуємося у повсякденному житті,
її називають природною чи цифровою.
Для запису дробів використовуються розряди з негативними значеннями ступенів основи.
ДЕСЯТИЧНА СИСТЕМА ЗЛІЧЕННЯ
Підстава: q = 10.
Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Згорнута форма запису числа:
Розгорнута форма запису числа:
Коефіцієнти ai – цифри десяткового числа.
Наприклад, число 123,4510 у розгорнутій формі записуватиметься таким чином:
Множення або розподіл десяткового числа на 10 (величину основи) призводить до переміщення комою, що відокремлює цілу частину від дробової на один розряд праворуч або ліворуч. Наприклад:
123,4510 · 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Нехай Aq- Число в системі з основою q, аi -цифри даної системи числення, присутні у записі числа A, n+ 1 – число розрядів цілої частини числа, m- Число розрядів дробової частини числа:

Розгорнутою формою числа Аназивається запис у вигляді:

Наприклад, для десяткового числа:

У наступних прикладах наводиться розгорнута форма шістнадцяткового та двійкового чисел:

У будь-якій системі числення її основа записується як 10.

Якщо всі доданки в розгорнутій формі недесяткового числа подати в десятковій системі та обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, що дорівнює даному. За цим принципом проводиться переведення з десяткової системи до десяткової. Наприклад, переведення в десяткову систему написаних вище чисел проводиться так:

Переведення десяткових чисел до інших систем числення

Переклад цілих чисел

Ціле десяткове число Xпотрібно перевести в систему з основою q: X = (a n a n-1 … a 1 a 0) q. Потрібно знайти значущі цифри числа: .Уявимо число у розгорнутій формі і здійснимо тотожне перетворення:

Звідси видно, що aЄ залишок від розподілу числа Xна число q. Вираз у дужках - ціле приватне від цього поділу. Позначимо його за X 1. Виконуючи аналогічні перетворення, отримаємо:

Отже, a 1 є залишок від розподілу X 1 на q. Продовжуючи поділ із залишком, отримуватимемо послідовність цифр шуканого числа. Цифра anу цьому ланцюжку поділів буде останнім приватним, меншим q.

Сформулюємо отримане правило: Щоб перевести ціле десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно:

1) підставу нової системи числення висловити у десятковій системі числення і всі наступні дії проводити за правилами десяткової арифметики;

2) послідовно виконувати розподіл даного числа та одержуваних неповних приватних на підставу нової системи числення доти, доки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;

3) отримані залишки, що є цифрами числа новій системічислення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

4) скласти число у новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.

приклад 1.Перевести число 37 10 в двійкову систему.

Для позначення цифр у записі числа використовуємо символіку: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Звідси: 37 10 = l00l0l 2

приклад 2.Перевести десяткове число 315 у вісімкову та шістнадцяткову системи:

Звідси випливає: 315 10 = 473 8 = 13B 16 . Нагадаємо, що 11 10 = B 16 .

Десятковий дріб X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a-m+1 a–m) q .Потрібно знайти значні цифри числа: a –1 ,a –2 , …, a-m. Уявимо число в розгорнутій формі і помножимо його на q:

Звідси видно, що a-1Є ціла частина твору Xна число q. Позначимо за X 1дрібну частину твору і помножимо її на q:

Отже, a–2 є ціла частина твору X 1 на число q. Продовжуючи множення, отримуватимемо послідовність цифр. Тепер сформулюємо правило: для того щоб перевести десятковий дріб у систему числення з іншою основою, потрібно:

1) послідовно множити дане число та одержувані дробові частини творів на основу нової системи доти, поки дробова частина твору не стане рівною нулю або не буде досягнуто необхідної точності представлення числа в новій системі числення;

2) отримані цілі частини творів, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

3) скласти дробову частину числа у новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

Приклад 3.Перевести десятковий дріб 0,1875 у двійковий, вісімковий та шістнадцятковий системи.

Тут у лівому стовпці знаходиться ціла частина чисел, а правому - дробова.

Звідси: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Переклад змішаних чисел, Що містять цілу та дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа перекладаються окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа у новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової коми (точкою).

Тема "Системи числення" має пряме відношення до математичної теорії чисел. Однак у шкільному курсі математики вона зазвичай не вивчається. Необхідність вивчення цієї теми в курсі інформатики пов'язана з тим фактом, що числа в пам'яті комп'ютера представлені в двійковій системі числення, а для зовнішнього представлення вмісту пам'яті адрес пам'яті використовують шістнадцяткову або вісімкову системи. Це одна з традиційних тем курсу інформатики чи програмування. Будучи суміжною з математикою, ця тема робить внесок також і в фундаментальну математичну освіту школярів.

Для курсу інформатики основний інтерес представляє знайомство із двійковою системою числення. Застосування двійкової системи числення в ЕОМ можна розглядати у двох аспектах: 1) двійкова нумерація, 2) двійкова арифметика, тобто. виконання арифметичних обчислень над двійковими числами.

Двійкова нумерація

З двійковою нумерацією учні зустрічаються у темі "Уявлення тексту в комп'ютерній пам'яті". Розповідаючи про таблицю кодування, вчитель повинен повідомити учням, що внутрішній двійковий код символу - його порядковий номер у двійковій системі числення. Наприклад, номер літери S у таблиці ASCII дорівнює 83. Восьмирозрядний двійковий код літери S дорівнює значенню цього числа у двійковій системі числення: 01010011.

Двійкові обчислення

Відповідно до принципу Джона фон Неймана, комп'ютер здійснює обчислення в двійковій системі числення. У межах базового курсу досить обмежитися розглядом обчислень із цілими двійковими числами. Для виконання обчислень із багатозначними числами необхідно знати правила додавання та правила множення однозначних чисел. Ось ці правила:

Принцип перестановки складання та множення працює у всіх системах числення. Прийоми виконання обчислень із багатозначними числами у двійковій системі аналогічні десятковій. Інакше висловлюючись, процедури складання, віднімання і множення “стовпчиком” і розподілу “куточком” у двійковій системі виробляються як і, як і у десятковій.

Розглянемо правила віднімання та розподілу двійкових чисел. Операція віднімання є зворотною стосовно складання. З наведеної вище таблиці складання випливають правила віднімання:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ось приклад віднімання багатозначних чисел:

Отриманий результат можна перевірити складання різниці з віднімається. Повинне вийти зменшуване число.

Поділ - операція зворотна до множення.
У будь-якій системі числення ділити на 0 не можна. Результат розподілу на 1 дорівнює ділимому. Поділ двійкового числа на 10 2 веде до переміщення коми на один розряд вліво, подібно до десяткового поділу на десять. Наприклад:

Поділ на 100 зміщує кому на 2 розряди вліво і т.д. В базовому курсіможна розглядати складні приклади розподілу багатозначних двійкових чисел. Хоча здібні учні можуть впоратися з ними, зрозумівши загальні принципи.

Подання інформації, що зберігається в комп'ютерній пам'яті в її справжньому двійковому вигляді, дуже громіздко через велику кількість цифр. Йдеться про запис такої інформації на папері або виведення її на екран. Для цього прийнято використовувати змішані двійково-вісімкову або двійково-шістнадцяткову системи.

Існує простий зв'язок між двійковим та шістнадцятковим уявленням числа. При переведенні числа з однієї системи в іншу шістнадцятковій цифрі відповідає чотирирозрядний двійковий код. Ця відповідність відображена у двійково-шістнадцятковій таблиці:

Двійково-шістнадцяткова таблиця

Такий зв'язок заснований на тому, що 16 = 24 і число різних чотирирозрядних комбінацій з цифр 0 і 1 дорівнює 16: від 0000 до 1111. Тому переведення чисел з шістнадцяткових у двійкові і назад проводиться шляхом формального перекодування за двійково-шістнадцятковою таблицею.

Ось приклад перекладу 32-розрядного двійкового коду до 16-річної системи:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Якщо дано шістнадцяткове подання внутрішньої інформації, його легко перевести в двійковий код. Перевага шістнадцяткового уявлення полягає в тому, що воно в 4 рази коротше двійкового. Бажано, щоб учні запам'ятали двійково-шістнадцяткову таблицю. Тоді справді для них шістнадцяткове уявлення стане еквівалентним двійковому.

У двійково-восьмеричній системі кожній вісімковій цифрі відповідає тріада двійкових цифр. Ця система дозволяє скоротити двійковий код утричі.

Як від згорнутої форми запису десяткового числа перейти до його розгорнутої форми?

Відповідь

Розглянемо десяткове число 14 351,1. Його згорнута форма запису настільки звична, що ми не помічаємо, як у думці переходимо до розгорнутого запису, помножуючи цифри числа на «ваги» розрядів і складаючи отримані твори:

1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1 .

Перехід від згорнутої форми до розгорнутої

1. Подивіться на це число і визначте кількість його цифр.

Приклад:
Напишіть 5827 у розгорнутому вигляді.

Читайте число вголос: п'ять тисяч вісімсот двадцять сім.

Зверніть увагу, що є чотири цифри. У результаті розгорнута форма міститиме чотири доданки.

2. Перепишіть число у вигляді суми його цифр, залишивши між ними відстань, щоб помножити кожну цифру на деяку цифру (про це далі).

Приклад:
5827 перепишіть так:

3. Цифри числа розташовані у певних позиціях, які відповідають (справа наліво) одиницям, десяткам, сотням, тисячам тощо. Визначте назву позиції та її значення для кожної цифри (справа ліворуч).

Приклад:
Оскільки в даному числі чотири цифри, вам потрібно визначити назви чотирьох позицій (справа ліворуч).

7 відповідає одиницям (значення = 1 = 100).
2 відповідає десяткам (значення = 10 = 101).
8 відповідає сотням (значення = 100 = 102).
5 відповідає тисячам (значення = 1000 = 103).

4. Помножте кожну цифру даного числа на значення відповідної позиції.

Приклад:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0

Підставою позиційної системи числення називається ціле число q, яке зводиться до ступеня.

Базисом позиційної системи числення називається послідовність чисел, кожне з яких визначає кількісний еквівалент (вага) символу залежно від місця в коді числа.

Базис десяткової системи числення: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Базис довільної позиційної системи числення: … q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Основа у будь-якій системі зображується як 10, але має різне кількісне значення. Воно показує, скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію. Можливо безліч позиційних систем, тому що за основу системи числення можна прийняти будь-яке число, що не менше 2.

Найменування системи числення відповідає її підставі (десяткова, двійкова, п'ятирічна тощо).

У системі числення з основою q (q-ічна система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа q,інакше кажучи, qодиниць якогось розряду утворюють одиницю наступного розряду.

Для запису чисел у q-Ічної системи числення потрібно qрізних знаків (цифр), що зображають числа 0, 1, ..., q – 1.

Отже, підстава позиційної системи числення дорівнює кількості символів (знаків) у її алфавіті. Запис числа qв q-Ічної системи числення має вигляд 10.

приклад 1.Восьмерична система числення.

Підстава: q = 8.

Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 та 7.

Числа: наприклад, 45023,152 8; 751,001 8 .

приклад 2.П'ятерична система числення .

Підстава: q = 5.

Алфавіт: 0, 1, 2, 3 та 4.

Числа: наприклад, 20304 5; 324,03 5 .

Приклад 3.Шістнадцяткова система числення.

Підстава: q = 16.

Алфавіт: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, З, D, E, F.

Тут лише десять цифр із шістнадцяти мають загальноприйняте позначення 0-9. Для запису інших символів алфавіту (10, 11, 12, 13, 14 та 15) зазвичай використовуються перші п'ять літер латинського алфавіту.

Числа: наприклад, В5С3, 1А2 16; 355,0FА01 8 .

У позиційній системі числення будь-яке речове число може бути представлене в наступному вигляді:

A q = ±( a n-1 × q n –1 + a n-2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a-1 × q –1 + a-2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) або ±.

Тут А -саме число; q -основу системи числення;
а i- цифри, що належать до алфавіту даної системи числення; п -кількість цілих розрядів числа; т -кількість дробових розрядів числа.

Розкладання числа за формулою (1) називається розгорнутою формою запису . Інакше таку форму запису називають багаточленноїабо статечної.

приклад 1.Десяткове число А 10 = 5867,91 за формулою (1) подається так:

A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

приклад 2.Формула (1) для вісімкової системи числення має вигляд:

A 8 = ±( a n-1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a-1 × 8 -1 + a-2 × 8 -2 + ... + a -m×8 – m),

де а i- цифри 0-7.

Восьмеричне число A 8 = 7064,3 у вигляді (1) запишеться так:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Приклад 3.П'ятирічне число А 5 = 2430,21 за формулою (1) запишеться так:

А 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5» + 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2 .

Обчисливши цей вираз, можна отримати десятковий еквівалент зазначеного числа п'яти: 365,44 10 .

Приклад 4.У шістнадцятковій системі числення запис 3 AF 16 означає:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

Система зчислення

Система зчислення - це спосіб зображення чисел та відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційніі позиційні. Знаки, що використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

В непозиційних системах числення значення цифри не залежить від положення в числі.

Прикладом непозиційної системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі як цифри використовуються латинські літери:

приклад 1.Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і дорівнює двомстам тридцяти двом.

У римських числах цифри записуються зліва направо порядку спадання. У разі їх значення складаються. Якщо ж ліворуч записано меншу цифру, а справа - більшу, то їх значення віднімаються.

приклад 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 - 1 = 4.

Приклад 3.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

В позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою позиційної системи числення.

Система числення, що застосовується в сучасній математиці, є позиційною десятковою системою. Її основа дорівнює десяти, т.к. запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти з прикладу будь-якого багатозначного числа. Наприклад, серед 333 перша трійка означає три сотні, друга - три десятки, третя - три одиниці.

Для запису чисел у позиційній системі з основою nпотрібно мати алфавітз nцифр. Зазвичай для цього при n < 10 используют nперших арабських цифр, а при n> 10 до 10 арабським цифрам додають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:

Якщо потрібно вказати основу системи, до якої належить число, воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

У системі числення з основою q (q-ічна система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа q. qодиниць якогось розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-Ічної системи числення потрібно qрізних знаків (цифр), що зображають числа 0, 1, ..., q- 1. Запис числа qв q-Ічної системи числення має вигляд 10.

Розгорнута форма запису числа