Argumento vertė z po jaku f(z) pasikeičia į nulinį garsą. nulinis taškas, tada. yakscho f(a) = 0 , tada a - nulis taškas.

Def. Taškas, margas a garsas nulinės eilėsn , Kaip FKP galima pateikti matant f(z) = , de
analitinė funkcija, kuri
0.

Kokiu būdu pirmiausia yra funkcijų išdėstymas Taylor serijoje (43). n koeficientai lygūs nuliui

= =

ir kt. Nustatykite nulinę eilę
i (1-cos z) adresu z = 0

=
=

nulis 1 užsakymas

1 - cos z =
=

nulis 2 eilės

Def. Taškas, margas z =
garsas be galo tolimas taškasі nulis funkcijas f(z), kaip f(
) = 0. Ši funkcija išdėstyta eile už neigiamų žingsnių z : f(z) =
. Jakšo Pirmas n koeficientai lygūs nuliui, tada pasiekiame nulinės eilės n be galo nutolusiuose taškuose: f(z) = z - n
.

Specialių taškų išskyrimas skirstomas į: a) įdėti specialius taškus; b) polių tvarkan; in) tiksliai pavieniai taškai.

Taškas, margas a garsas usuvaetsya specialus taškas funkcijas f(z) , net jei z
a lim f(z) = h - paskutinis numeris .

Taškas, margas a garsas polių tvarkan (n 1) funkcijos f(z), kaip atbulinės eigos funkciją
= 1/ f(z) gali būti nulinės eilės n taške a. Tokia funkcija gali būti amžinai suteikta žiūrovui f(z) =
, de
- analitinė funkcija
.

Taškas, margas a garsas tiksliai vienas taškas funkcijas f(z), net jei z
a lim f(z) nėra žinoma.

Eilė Laurent

Pažvelkime į Kiltse regiono vipadoką r < | z 0 – a| < R su centru taške a už funkciją f(z). Pristatysime du naujus statymus L 1 (r) tai L 2 (R) šalia tarp kiltsya su taškeliu z 0 tarp jų. Zrobimo rozryz kiltsya, palei rozryu z'ednaєmo statymo kraštus, eikite į vienos jungties sritį ir

Koši integralo formulė (39) perima du integralus per besikeičiantį z

f(z 0) =
+
, (42)

deintegracija vyksta priešingomis tiesiomis linijomis.

Dėl integralo per L 1 vykonuetsya umova | z 0 – a | > | z – a |, o integralas per L 2 umova zvorotna | z 0 – a | < | z – a |. Taigi daugiklis yra 1/( z – z 0) sudėti į eilutę (a) į integralą for L 2 і iš eilės (b) integralu L vienas . Dėl to mes paimame išdėstymą f(z) netoli kiltsevіy oblastі Laurent serija už teigiamų ir neigiamų žingsnių ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

de A n =
=
;A -n =

Už teigiamų žingsnių sklinda plitimas (z 0 - a) garsas teisinga dalis Laurent serija (Taylor serija) ir neigiamų garso žingsnių išdėstymas. galvos dalisšalia Laurent'o.

Lyg kuolo viduryje L 1 nėra vienaskaitos taškų ir funkcija yra analitinė, tada (44) pirmasis integralas pagal Koši teoremą lygus nuliui ir funkcijos išplėtime trūksta tik teisingos dalies. Neigiami išdėstymo žingsniai (45) nėra labiau kaltinami dėl analitiškumo suskaidymo, nei vidinis statymas ir yra funkcijos, esančios šalia specialių taškų išskyrimo, aprašymas.

Skatinti Laurent seriją (45) f(z) galite apskaičiuoti pasiskirstymo koeficientą keiksmažodžių formulė kitu atveju galite išdėstyti elementarių funkcijų, kurias galite įvesti anksčiau, išdėstymą f(z).

Aukų skaičius ( n) Laurent eilutės viršutinė dalis patenka į konkretaus taško tipą: specialus taškas (n = 0) ; tiksliai vienas taškas (n
); stulpasn- įsakymas(n - paskutinis skaičius).

ir už f(z) = taškas, taškas z = 0 usuvna vienaskaitos taškas, nes nėra galvos dalies. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Už f(z) = taškas, taškas z = 0 - 1 eilės stulpas

f(z) = (z -
) = -

c) Už f(z) = e 1 / z taškas, taškas z = 0 - tiksliai vienas taškas

f(z) = e 1 / z =

Jakšo f(z) yra analitinis šioje srityje D už vinjetę m izoliuoti vienaskaitos taškai kad | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , tada plečiant funkcijas už žingsnių z visa teritorija padalinta į m+ 1 žiedas | z i | < | z | < | z i+ 1 | i serija Laurent maє kitokia išvaizda odos žiedui. Kai guli už laiptelių ( z – z i ) plotas zbіzhnostі žemas Laurent є kolo | z – z i | < r, de r - Eikite į artimiausią specialų tašką.

ir kt. Funkcijos diegimas f(z) =ties Row Laurent už laiptų zі ( z - 1).

Sprendimas. Išjungti peržiūros funkciją f(z) = - z 2 . Vikoristovuєmo geometrinės progresijos sumos formulė
. Kada | z |< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , tada. rozladannya kerštas tik teisinga dalis. Pereikime prie išorinės stulpo srities |z| >1. Funkciją galima pavaizduoti rodinyje
, de 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Nes , funkcijos, esančios už žingsnių, išplėtimas ( z - 1) gali atrodyti f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) visiems
1.

ir kt. Išplėskite Laurent funkciją į seriją f(z) =
: a) už laiptelių z prie coli | z| < 1; b) по степеням z žiedas 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2). Sprendimas. Išskaidykime funkciją pagal paprasčiausias trupmenas
= =+=
. 3 protai z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

a) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], skirtas | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), 1 val< |z| < 3.

iš) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, At | 2- z| < 1

Cecolo spindulys 1 s taško centras z = 2 .

Esant daugeliui nukrypimų, statinę seriją galima sudaryti iki geometrinių progresijų rinkinio, tada nesunku nustatyti bitų plotą.

ir kt. Tęsti zbіzhnist eilutę

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Sprendimas. Dviejų geometrinių progresijų suma q 1 = , q 2 = (). Iš jų gyvenimo minčių < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

2. Žinome nulines funkcijas.

f(x) ties x .

Vidcond f(x) ties x .

2) x 2>-4x-5;

x2+4x+5>0;

Tada tegul f(x)=х 2 +4х +5

D=-4 Nėra nulių.

4. Pažeidimų sistemos. Pažeidimai ir pažeidimų sistema iš dviejų pakeitimų

1) Neasmeninis nelygumų sistemos sprendimas yra prieš ją patekusių nelygumų daugiklio sprendinio kartojimas.

2) Koordinačių plokštumoje grafiškai galima pavaizduoti beasmenį skirtumą f(x; y) > 0. Įgarsinkite tiesę, kuri yra lygi f(x; y) = 0, padalijančią plokštumą į 2 dalis, iš kurių viena yra skirtumas tarp nelygybių. Norint nustatyti, kaip dalį, reikia pateikti pakankamo taško M (x0; y0) koordinates, o ne tiesės f (x; y) \u003d 0 nelygumai. Jei f(x0; y0) > 0, tai nelygumo sprendimas yra plokštumos dalis, kuri turi apimti tašką M0. kaip f(x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Neasmeninis nelygumų sistemos sprendimas yra prieš ją patekusių nelygumų daugiklio sprendinio kartojimas. Pavyzdžiui, pateikiama pažeidimų sistema:

.

Pirmajam nelygumui beasmenis sprendimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 2 і, kurio centras yra koordinačių burbulėje, o kitam - pusiau plokštuma, nubrėžta per tiesią liniją 2x + 3y = 0. Beasmenis sistemos sprendimas pasitarnauti kaip kartotinių reikšmės pasikeitimas, tobto. pivkolo.

4) Užpakalis. Sulaužykite pažeidimų sistemą:

1-ojo nelygumo sprendimai tarnauti kaip beasmeniškumas, 2-asis neasmeniškumas (2; 7) ir trečiasis - beasmeniškumas.

Peretina zaznachenih padaugina є tarpą (2; 3]), kuris і є beasmenė rozv'yazkіv nelygumų sistema.

5. Racionalių nelygybių šalinimas intervalų metodu

Intervalų metodas pagrįstas dvejetainio (x-a) judesio galia: taškas x = α skaitiniu būdu padalinamas į dvi dalis – dešiniarankis taške α dvejetainis (x-α)> 0 ir kairiarankis taške. α (x-α)<0.

Tegul reikia pašalinti nelygumus (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, de α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - fiksuotas skaičiai, vidurkis nėra bendraamžių, be to, 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 intervalų metodu turėtų būti tokia tvarka: ant skaitinio visko uždėti skaičius α 1 , α 2 ... n-1 , n; viduryje, dešiniarankis, didžiausiame iš jų, tobto. skaičiai? Tada bus visų tarpų, turinčių pliuso ženklą, ir beasmenių rožinių nelygumų derinys (x-α 1 )(x-α 2)...(x-α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Racionalių neatitikimų pasireiškimas P(x) Q(x) yra pagrįstas nepertraukiamosios funkcijos progresine galia: jei nenutrūkstama funkcija taškuose x1 ir x2 (x1; x2) pavirsta į nulį ir tarp šių taškų nėra kitų šaknų, tada intervalais (x1; x2 ) funkcija paima savo ženklą.

Todėl funkcijos y \u003d f (x) reikšmės intervalui skaitinėje tiesėje turi būti priskirtas taškas, kuriame funkcija f (x) virsta nuliu arba žino skirtumą. Qi taškai pertraukia skaitinę erdvės tiesiąją liniją, odos viduryje, be to, funkcija f (x) yra nenutrūkstama ir virsta nuliu, tai yra. paimk ženklą. Norint nustatyti ženklą, pakanka žinoti funkcijos ženklą bet kuriame skaičių eilutės intervalo taške.

2) Racionalios funkcijos ženklų intervalų paskyrimui, tai yra. Norint įveikti racionalius netolygumus, jis nurodomas skaitinėje tiesioginėje skaičių knygos šaknyje ir reklamjuostės šaknyje, tarsi tai būtų racionalios funkcijos šaknys ir taškai.

Nelygumų šalinimas intervalų metodu

3. < 20.

Sprendimas. Leistinų verčių diapazonas nustatomas pagal pažeidimų sistemą:

Funkcijai f(x) = – 20. Mes žinome f(x):

žvaigždės x = 29 ir x = 13.

f(30) = -20 = 0,3> 0,

f(5) = -1 - 20 = -10< 0.

Pasiūlymas:. Pagrindiniai metodai rozv'yazannya racionalus rivnyan. 1) Paprasčiausi: jie eina paprasto atleidimo keliu - jie atnešami prie miegančio vėliavos, panašūs nariai - toshcho. Kvadratinis lygiavimas ax2 + bx + c = 0 apverstas, kad padėtų...

X pakeičiamas į prom (0,1] ir sumažėja iki prom)