argüman değeri z yak altında F(z) sıfır sese dönüşür. sıfır noktası, sonra. yakscho F(a) = 0 , o zaman a - sıfır noktası.

tanım nokta, benekli fakat ses sıfır siparişn , beğenmek FKP görüşte dosyalanabilir F(z) = , de
analitik fonksiyon
0.

Bir Taylor serisinde (43) fonksiyonların düzenlenmesi ilk olarak ne şekildedir? n sıfıra eşit katsayılar

= =

Vb. için sıfır sırasını belirleyin
ben (1-cos z) z = 0

=
=

sıfır 1 sipariş

1 - çünkü z =
=

sıfır 2. sıra

tanım nokta, benekli z =
ses sonsuz uzak noktaі sıfır fonksiyonlar F(z), olarak F(
) = 0. Bu fonksiyon, negatif adımların arkasında bir sıra halinde düzenlenmiştir. z : F(z) =
. Yakscho ilk n sıfıra eşit katsayılar, sonra geliyoruz sıfır sipariş n sonsuz uzak noktalarda: F(z) = z - n
.

Özel noktaların izolasyonu alt bölümlere ayrılır: a) özel noktalar koymak; B) kutup sırasın; içinde) tam olarak tekil noktalar.

nokta, benekli fakat ses usuvaetsya özel noktası fonksiyonlar F(z) , olsa bile z
a lim F(z) = H - son sayı .

nokta, benekli fakat ses kutup sırasın (n 1) fonksiyonlar F(z), bir ters fonksiyon olarak
= 1/ F(z) sıfır sipariş olabilir n noktada fakat. Böyle bir işlev izleyiciye sonsuza kadar verilebilir. F(z) =
, de
- analitik fonksiyon
.

nokta, benekli fakat ses tam olarak tekil nokta fonksiyonlar F(z), olsa bile z
a lim F(z) bilinmiyor.

sıra Laurent

Kiltse bölgesinin vipadok'una bakalım r < | z 0 – a| < r noktada merkez ile fakat fonksiyon için F(z). İki yeni hisse tanıtacağız L 1 (r) o L 2 (r) bir benek ile kіltsya arasında yakın z aralarında 0. Zrobimo rozryz kіltsya, rozryu z'ednaєmo hissesinin kenarları boyunca tek bağlantı alanına gidin ve

Cauchy integral formülü (39) z'deki değişim üzerinde iki integral alır

F(z 0) =
+
, (42)

deintegrasyon zıt düz çizgilerde ilerler.

üzerindeki integral için L 1 vykonuetsya umova | z 0 – a | > | z – a | ve integral üzerinde L 2 umova zvorotna | z 0 – a | < | z – a |. Yani çarpan 1/( z – z 0) için bir integralde (a) satırına koyun L 2 і üst üste (b) bir integralde L 1 . Sonuç olarak, düzeni alıyoruz F(z) kіltsevіy oblastі yakınında Laurent serisi olumlu ve olumsuz adımların arkasında ( z 0 – a)

F(z 0) =
A n (z 0 - a) n (43)

de A n =
=
;A -n =

Olumlu adımların ardındaki yayılma (z 0 - fakat) ses doğru kısım Laurent serisi (Taylor serisi) ve sesin arkasındaki olumsuz adımların düzeni. baş kısmı Laurent'in yanında.

kazık ortasında gibi L 1 tekil nokta yoktur ve fonksiyon analitiktir, o zaman (44) Cauchy teoremi tarafından birinci integral sıfıra eşittir ve fonksiyonun açılımında sadece doğru kısım eksiktir. Yerleşimdeki (45) olumsuz adımlar, analitikliğin bozulması için dahili paydan daha fazla suçlanmaz ve özel noktaların izolasyonunun yakınında işlevin bir açıklaması olarak hizmet eder.

Laurent serisini teşvik etmek için (45) F(z) dağılım katsayısını hesaplayabilirsiniz küfür formülü aksi takdirde, daha önce girebileceğiniz temel işlevlerin düzenini düzenleyebilirsiniz. F(z).

Bağış sayısı ( n) Laurent satırının baş kısmı belirli bir nokta tipine girer: özel nokta (n = 0) ; tam olarak tekil nokta (n
); kutupn- inci sıra(n - son numara).

ve için F(z) = nokta nokta z = 0 usuvna tekil nokta,Çünkü baş kısmı yoktur. F(z) = (z -
) = 1 -

b) için F(z) = nokta nokta z = 0 - 1. sipariş direği

F(z) = (z -
) = -

c) için F(z) = e 1 / z nokta nokta z = 0 - tam olarak tekil nokta

F(z) = e 1 / z =

Yakscho F(z) alanında analitiktir D bir skeç için m izole tekil noktalar bu | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , ardından adımların arkasındaki işlevleri genişletirken z tüm alan bölünür m+ 1 yüzük | z i | < | z | < | z i+ 1 | Laurent ma serisi farklı görünüm cilt halkası için. Basamakların arkasına uzanırken ( z – z i ) alan zbіzhnostі düşük Laurent є kolo | z – z i | < r, de r - En yakın özel noktaya gelin.

Vb. İşlevi dağıtma F(z) =basamakların arkasındaki Row Laurent'de zі ( z - 1).

Çözüm. Görüntüleyicinin işlevini devre dışı bırakın F(z) = - z 2 . Geometrik ilerlemenin toplamı için Vikoristovuєmo formülü
. Ne zaman | z |< 1 ряд сходится и F(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , sonra. sadece rozladannya intikam doğru Bölüm. Payın dış bölgesine geçelim |z| >1. İşlev görünümde temsil edilebilir
, de 1/| z| < 1, и получим разложение F(z) = z
=z + 1 +

Çünkü , adımların arkasındaki fonksiyonun genişletilmesi ( z - 1) görünebilir F(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) hepsi için
1.

Vb. Laurent işlevini bir diziye genişletin F(z) =
: a) adımların arkasında z kolide | z| < 1; b) по степеням z yüzük 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2). Çözüm. Fonksiyonu en basit kesirlere ayıralım
= =+=
. 3 zihin z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

fakat) F(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], için | z|< 1.

B) F(z) = - ½ [
+
] = - (
), 1'de< |z| < 3.

itibaren) F(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, At | 2- z| < 1

Noktada Cecolo yarıçapı 1 s merkezi z = 2 .

Bir dizi sapma için, statik seri bir dizi geometrik ilerlemeye kadar oluşturulabilir ve daha sonra birimlerin alanını belirlemek kolaydır.

Vb. zbіzhnist satırına devam et

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Çözüm. İki geometrik ilerlemenin toplamı Q 1 = , Q 2 = (). Hayatlarının zihinlerinden < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

2. Sıfır fonksiyonlarını biliyoruz.

x'te f(x) .

x'te Vidcond f(x) .

2) x 2>-4x-5;

x2+4x+5>0;

f(x)=х 2 +4х +5 olsun o zaman

D=-4 Sıfır yok.

4. Düzensizlik sistemleri. Usulsüzlükler ve iki değişiklikten kaynaklanan bir usulsüzlük sistemi

1) Düzensizlikler sisteminin kişisel olmayan çözümü, kendisinden önce giren düzensizliklerin çarpan çözümünün tekrarıdır.

2) Kişisel olmayan bir fark f(x; y) > 0, koordinat düzleminde grafiksel olarak gösterilebilir. Eşit f(x; y) = 0 verilen doğruyu, düzlemi 2 parçaya bölerek seslendirin, bunlardan biri eşitsizlikler arasındaki farktır. Bir parça olarak belirlemek için, f (x; y) \u003d 0 çizgisini eşitsizlik içinde bırakmamak için yeterli bir M (x0; y0) noktasının koordinatlarını sunmak gerekir. f(x0; y0) > 0 ise, eşitsizliğin çözümü, M0 noktasını kapsayacak olan düzlemin parçasıdır. nasıl f(x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Düzensizlikler sisteminin kişisel olmayan çözümü, kendisinden önce giren düzensizliklerin çarpan çözümünün tekrarıdır. Hadi, örneğin, bir usulsüzlük sistemi verilir:

.

İlk eşitsizlik için, kişisel olmayan çözüm, merkezi koordinatların koçanı üzerinde olan 2 і yarıçaplı bir daire ve diğeri için 2x + 3y = 0 düz çizgisine yayılmış bir yarım düzlemdir. Katların öneminde bir değişiklik olarak hizmet etmek için sistemin kişisel olmayan kararı, tobto. pivkolo.

4) Popo. Düzensizlik sistemini kırın:

1. eşitsizliğin kararları kişiliksizlik, 2. kişiliksizlik (2; 7) ve üçüncü kişiliksizlik olarak hizmet eder.

Peretina zaznachenih, düzensizliklerin kişisel olmayan rozv'yazkіv sistemi olan є aralığını (2; 3) çarpar.

5. Rasyonel düzensizliklerin aralık yöntemiyle ortadan kaldırılması

Aralıklar yöntemi, ikilinin (xa) ilerleyen gücüne dayanır: nokta x = α sayısal olarak iki parçaya bölün - α noktasında sağ elini kullanan ikili (x-α)> 0 ve noktada sol elini kullanan α (x-α)<0.

(x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, de α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - sabit eşitsizliği ortadan kaldırmak gerekli olsun sayılar, ortalama emsal yok, ayrıca 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0, aralık yöntemine göre aşağıdaki sırada olmalıdır: sayısal her şeye α 1 , α 2 ... n-1 , n sayılarını koyun; ortada, sağ elini kullanan, en büyüklerinde tobto. sayılar? Sonra artı işareti olan tüm boşlukların ve kişisel olmayan bir gül düzensizliklerinin (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n) bir kombinasyonu olacaktır.<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Rasyonel tutarsızlıkların tezahürü P(x) Q(x), kesintisiz bir fonksiyonun ilerleyen gücüne dayanır: eğer kesintisiz bir fonksiyon x1 ve x2 (x1; x2) noktalarında sıfıra dönerse ve bu noktalar arasında başka kök yoksa, o zaman aralıklarla (x1; x2 ) fonksiyon işaretini alır.

Bu nedenle, sayısal bir düz çizgi üzerinde y=f(x) fonksiyonunun işaretleri arasındaki aralığın önemi için, f(x) fonksiyonunun sıfıra döndüğü veya farkı bildiği nokta bıyıkları. Qi noktaları, boşluğun sayısal düz çizgisini, cildin ortasında keser, ayrıca f (x) fonksiyonu kesintisizdir ve sıfıra döner, yani. işaretini al. İşareti belirlemek için sayı doğrusu aralığında herhangi bir noktada fonksiyonun işaretini bilmek yeterlidir.

2) Rasyonel bir fonksiyonun işaret aralıklarının atanması için, yani. Rasyonel eşitsizliğin üstesinden gelmek için, sanki rasyonel fonksiyonun kökleri ve noktalarıymış gibi, sayı defterinin sayısal doğrudan kökünde ve afişin kökünde gösterilir.

Aralık yöntemiyle düzensizliklerin giderilmesi

3. < 20.

Çözüm. Kabul edilebilir değerler aralığı, usulsüzlük sistemi tarafından belirlenir:

f(x) = fonksiyonu için – 20. f(x)'i biliyoruz:

yıldızlar x = 29 ve x = 13.

f(30) = - 20 = 0.3> 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10< 0.

Telkin: . Rozv'yazannya rasyonel rivnyan'ın temel yöntemleri. 1) En basitleri: basit bağışlama yolunda yürürler - uyuyan afişe getirilirler, benzer üyeler toshcho'ya getirilir. ax2 + bx + c = 0 kare hizalaması yardım için tersine çevrilir...

X, baloya (0.1] değiştirilir ve baloya düşer)