Funktsiyani ikki jihatdan ko'rib chiqamiz:
$x$ va $y$ o'zgarishlari bir-biridan mustaqil, bunday funktsiya uchun shaxsiy ma'lumotlar haqida tushuncha berish mumkin:
Maxfiy funktsiya $f$ nuqtada $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ oʻzgartirish uchun $x$ -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \o'ng))(\Delta x)\]
Xuddi shu tarzda, siz $y$ oʻzgartirish uchun shaxsiy toʻlovni belgilashingiz mumkin:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \o'ng))(\Delta y)\]
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ba'zi o'zgarishlarning shaxsiy funktsiyalarini bilish uchun o'zgartirish to'g'risidagi qarorni tuzatish kerak, krím shukanoí, keyin esa o'zgarish narxi uchun zvichaynu pokhídnani bilib olamiz.
Bunday nopoklarni sanashning asosiy hiylasi kabi ko'rinadi: shunchaki hamma narsa o'zgarib borayotganini hisobga oling, krym tsíêí, ê doimiy, shundan so'ng siz "yakkalik" ni - bitta zminnoydan farqlash uchun funktsiyani ajrating. Misol uchun:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \o'ng))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \o'ng))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(tuzala)$
Turli xil o'zgarishlardan shaxsiy bayramlarni berish odatiy hol ekanligi aniq. Nima uchun tushunish muhimroq, nima uchun, aytaylik, birinchisida bizdan yomon belgining $10y$ s-pid miqdorida xotirjamlik bilan undirildi, ikkinchisida esa - birinchisi nolga teng edi. Har bir narsa, barcha harflar, krym zminnoi, qandaydir farqlash uchun, doimiylar tomonidan hurmat qilinadigan narsalar orqali o'ylab topiladi: ularni ayblash, tupurish va hokazo.
"Shaxsiy o'yin-kulgi" nima?
Bugun biz bir nechta almashtiruvchilarning funktsiyalari va ulardagi shaxsiy bayramlar haqida gapiramiz. Avvalo, bir nechta almashtirishning vazifasi nima? Qachongacha biz $y\left(x \right)$ yoki $t\left(x \right)$ kabi funktsiyani kiritish yoki undagi bir yoki bir xil funksiyani oʻzgartirish uchun qoʻngʻiroq qildik. Endi bizda faqat bitta funktsiya bo'ladi va spratning o'zgarishi bo'ladi. Agar siz $y$ va $x$ ni o'zgartirsangiz, funktsiyaning qiymati o'zgaradi. Misol uchun, agar $x$ ikki marta oshsa, funktsiya qiymati o'zgaradi, agar $x$ o'zgarmasa, lekin $y$ o'zgarmasa, funktsiya qiymati o'zini o'zi o'zgartiradi.
O'zgaruvchilarning birida bo'lgani kabi bir qancha o'zgaruvchilar ko'rinishidagi funktsiyani ham farqlash mumkinligi tushunildi. Biroq, oskílki zmínnykh kilka, keyin turli zmínnyh farqlash mumkin. Kim uchun, bir o'zgarishni farqlashda bir xil bo'lgan aniq qoidalar ayblanadi.
Birinchidan, agar biz o'z funktsiyalarimizni yo'qotmoqchi bo'lsak, qandaydir o'zgaruvchan bo'lsak, unda biz aybdormiz, qanday o'zgarishlarni tark etishimiz kerak - shuning uchun bu shaxsiy tartibsizlik deb ataladi. Misol uchun, bizda ikki xil funktsiya mavjud va biz $x$ kabi vv ni tuzatishimiz mumkin, shuning uchun $y$ zminnyh terisiga o'xshash ikkita xususiydir.
Boshqacha qilib aytganda, agar biz zminnyxlardan birini o'rnatgan bo'lsak va biz undan keyin shaxsiy hurmat qilishni boshlasak, u holda funktsiya funktsiyasiga kiradigan boshqa hamma narsa konstantalar tomonidan hurmat qilinadi. Misol uchun, $z\left(xy \right)$, biz xususiy ravishda $x$ dan oʻtishimiz muhim boʻlgani uchun, koʻzni qisib, oddiygina $y$, biz doimiy boʻlishimiz va oʻzimiz bilan muomala qilishimiz muhim. doimiy sifatida. Zokrema, yomon narsalarni sanashda, biz $y$ ni kishanga ayblashimiz mumkin (bizda doimiy bor), lekin yomon pulni sanashda, bizda bo'lgani kabi, bu virusga o'xshaydi $y$ qasos olish va $x$ uchun qasos olish emas, keyin u yaxshi virazu dorivnyuvatime "nol" yaxshi doimiy kabi.
Bir qarashda, men bu haqda sizga buklangan tarzda aytib berayotganimdan qochishingiz mumkin va ko'plab o'quvchilar kobda adashadi. Xususiylar orasida g'ayritabiiy narsa yo'q va biz aniq vazifalardan o'zgarmoqdamiz.
Radikallar va boy a'zolar uchun javobgar
№1 menejer
Bir soatni behuda o'tkazmaslik uchun yig'lang, biz jiddiy dumbalardan boshlaymiz.
Yangi boshlanuvchilar uchun men quyidagi formulani taxmin qilaman:
Bu standart kursdan bilganimizdek, standart jadval qiymati.
Kimdir $z$ dan shunday foydalanishi yaxshi:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)\]
Yana bir bor aytaylik, ildiz ostidagi parchalar $x$ emas, balki boshqa bir viraz, bu holda $\frac(y)(x)$ turadi, keyin biz standart jadval qiymatlarini tezlashtiramiz, keyin esa, ildizlarning narxi $x $ emas, va boshqa viraz, biz boshqa viraz uchun yana bitta viraz uchun xarajatlarimizni ko'paytirishimiz kerak. Keling, qadam tashlashni boshlaylik:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Keling, virazuzimizga murojaat qilamiz va yozamiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)\]
Hamma narsa printsipial jihatdan. Biroq, ch-ni bunday ko'rinishda qoldirish noto'g'ri: uzoqdagilar uchun bunday qurilishni engish oson emas, shuning uchun buni arzimas holda qilaylik:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)((x)^(3))))\]
Vidpovid topildi. Endi $y$ bilan ishlaymiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)\]
Vipishema okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]
Endi biz yozamiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Hammasi buzilib ketgan.
№2 menejer
Bu dumba bir vaqtning o'zida oddiyroq va buklanadigan, oldinga pastroq. Ko'proq katlanadigan, bu erda ko'proq harakat bor, lekin oddiyroq, bu erda ildiz yo'q, bundan tashqari, funktsiya $x$ va $y$, tobto ga simmetrikdir. Biz $x$ va $y$ ni missiya sifatida eslayotganimiz sababli, formula o'zgarmaganga o'xshaydi. Tse hurmat xususiy xarajatlarni to'lash uchun kechirilishi kerak edi, tobto. Ulardan biriga zarar yetkazish kifoya, ikkinchisida esa cho'tkalar bilan $x$ va $y$ ni eslab qolish kifoya.
Keling, mavzuga o'tamiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ o'ng ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))\]
Keling, hayajonlanamiz:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Bunday jaholat yozuvini mo'l-ko'l o'rganing, biz o'qni quyidagicha yozamiz:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Ushbu darajada biz yana bir bor shaxsiy qarindoshlar algoritmining universalligiga o'tamiz: ular ularga ahamiyat bermadi, agar barcha qoidalar to'g'ri o'rnatilgan bo'lsa, siz o'zingiz bo'lasiz.
Keling, ajoyib formulamizning yana bir shaxsiy hiylasini ko'rib chiqaylik:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Faraz qilaylik, biz formulamizga bog'liqlikni olib tashladik va uni olib tashlaymiz:
\[\frac(((\left(xy \o'ng))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\bosh ))_(x))((\chap) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \o'ng))(((\) chap(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \o'ng))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2 )))\]
$x$ tiklandi. Xuddi shu virazda $y$ ni tuzatish uchun keling, bir xil ketma-ketlikni emas, balki yorqin virazimiz simmetriyasi bilan vikonuvat qilaylik - biz shunchaki yorqin virazimizda barcha $y$ ni $x$ va navpak bilan almashtiramiz. :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \o'ng))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))\]
Simmetriyaning rahunok uchun ular butun virazni boy shvidshe maqtashdi.
nuance gilos
Xususiylar uchun barcha standart formulalar qo'llaniladi, bu xususiylar uchun eng yaxshisidir, lekin shaxsiy uchun ham xuddi shunday. Biroq, bu bilan ular o'zlarining o'ziga xos xususiyatlarini ayblashadi: agar biz $x$ ni alohida hurmat qilsak, u holda $x$ ni oladigan bo'lsak, u holda biz uni doimiy deb hisoblaymiz va shunga o'xshash bo'lib, u qimmatroq "nol" ga o'xshaydi. .
Kabi va eng muhim pokhídnymi bilan bir vaqtning o'zida, xususiy (bir va bir xil) siz turli yo'llar bilan bir kilkom talon mumkin. Misol uchun, juda yaxshi olqishlangan o'sha qurilishni shunday qayta yozish mumkin:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Bir vaqtning o'zida ular haqida, boshqa tomondan, siz tasodifiy summa shaklida formulani urishingiz mumkin. Ma'lumki, o'liklarning qimmatroq summalari bor. Masalan, buni yozamiz:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Endi hamma narsani bilgan holda, keling, yanada jiddiy foydalanish bilan yaxshilashga harakat qilaylik, to'g'ri shaxsiy nayranglarning parchalari boy atamalar va ildizlar bilan o'ralgan emas: u erda trigonometriya, logarifmlar va displey funktsiyalari qo'llaniladi. Endi band bo'laylik.
Trigonometrik funktsiyalar va logarifmlar bilan topshiriq
№1 menejer
Biz quyidagi standart formulalarni yozamiz:
\[((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Ushbu bilimlarni o'zlashtirgandan so'ng, keling, she'r aytishga harakat qilaylik:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo bitta o'zgarish yozadi:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Bizning dizaynimizga murojaat qiling:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Biz hammamiz $x$ haqida bilamiz, endi $y$ ni hisoblashga kirishamiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Xo'sh, bilaman, men bitta virusdan qo'rqaman:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \o'ng)\]
Keling, kunning oxiriga o'taylik va ko'rishni davom ettiramiz:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Hammasi buzilib ketgan.
№2 menejer
Bizga kerakli formulani yozamiz:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Endi $x$ uchun uzr so'rayman:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \o'ng)=\frac(1)(x+\ln y)\]
$x$ ga topildi. $y$ uchun muhim:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \o'ng)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \o'ng))\ ]
Vazifa tugadi.
nuance gilos
Keyinchalik, funktsiyalar shaxsiy olinmaganligi sababli, qoidalar trigonometriya, ildizlar yoki logarifmlar bilan ishlashidan qat'i nazar, bir xillar tomonidan yoziladi.
Klassik ish qoidalari har doim standart bo'lganlar bilan almashtiriladi va shu bilan birga, chakana, xususiy va yig'iladigan funktsiyalarning yig'indisi.
Formulaning qolgan qismi ko'pincha yig'ilish shaxsiy bayramlar bilan tugagan kunning oxirida tushuntiriladi. Mi zustríchayomosya ular bilan amalda skryz. Biz u erga chiqmasligimiz uchun hali shahar boshqaruvchisi yo'q. Ammo agar biz formula bilan chayqalmagan bo'lsak, biz yana bir foyda olamiz va o'zimiz uchun shaxsiy yurishlar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyati. Shunday qilib, biz bitta o'zgarishni tuzatamiz, chiziqlar doimiydir. Zocrema, biz $\cos \frac(x)(y)$ $y$ shaxsiy yo'qolgan virusni hurmat qilganimiz sababli, $y$ o'zi o'zgartiriladi va $x$ doimiy bilan yoziladi. Xuddi shu amaliyot va navpaki. Їí̈ ni yomon belgi uchun ayblash mumkin, lekin yomon, chunki doimiyning o'zi ko'proq "nol" ga o'xshaydi.
Hamma narsa bir xil virazning shaxsiy ko'rinishiga olib kelishi kerak, ammo turli xil o'zgarishlardan ular boshqacha ko'rinishi mumkin. Masalan, bunday virusga hayron bo'lish:
\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Ko'rgazmali funktsiyalar va logarifmlar bilan topshiriq
№1 menejer
Keling, quyidagi formulani yozamiz:
\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=((e)^(x))\]
Bu haqiqatni, shuningdek, katlanadigan funktsiyalarni bilib, biz qo'rqitishga harakat qilishimiz mumkin. Men bir vaqtning o'zida ikki xil yo'lga ishonaman. Birinchi va eng aniq - bu ishning narxi:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Keling, ushbu virusni ko'rib chiqaylik:
\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Keling, dizaynimizga murojaat qilaylik va uni ko'rishni davom ettiramiz:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\chap( 1 +\frac(1)(y)\o'ng)\]
Hammasi $x$ qoplanadi.
Biroq, aytganimdek, shu bilan birga biz shaxsiy hayotimni boshqacha tarzda himoya qilishga harakat qilamiz. Kimga hurmat bilan:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=(e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Biz buni shunday yozamiz:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\]
Natijada, biz bir xil miqdordagi pulni olib qo'ydik va prote kichikroq deb ayblandi. Kim uchun katta qismini tugatish uchun shouni tugatgandan so'ng, siz qo'shishingiz mumkinligini unutmang.
Endi $y$ uchun uzr so'rayman:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Keling, bitta viraz okremo kuylaylik:
\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Biz tashqi dizaynimizning versiyasini sotamiz:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Yo‘limdan boshqa yo‘ldan adashib ketishim mumkin edi, o‘zim ham shunday ko‘rinardim, deb ko‘nglimga tushdi.
№2 menejer
$x$ uchun jinnilik:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \o'ng))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \o'ng )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Keling, bitta viraz okremoni to'xtatamiz:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Sotilgan tashqi dizayn yechimi: $$
Eksa juda aniq.
$y$ tomonidan bilish uchun analogiya uchun yo'qolgan:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \o'ng))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \o'ng)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Bitta viraz, yaxshi, zavzhdi okremo kabi:
\[((\left(((x)^(2))+y \o'ng))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \o'ng) )^(\prime ))_(y)+((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuêmo viríshennya asosiy dizayniíí:
Hammasi qoplangan. Bachit, kuzgi kabi, o'zgarish farqlash uchun qanday qabul qilinganiga qarab, ular mutlaqo boshqacha ko'rinadi.
nuance gilos
Yaskra o'qi bir va bir xil funktsiyalarni ikki xil usulda buzishi mumkinligiga misoldir. Ajablanadigan o'q:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ chap(1+\frac(1)(y) \o'ng)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\chap(x+\frac(x)(y) \o'ng))^(\bosh ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\ ]
Turli xil yo'llarni tanlashda, hisoblash boshqacha bo'lishi mumkin, lekin agar bu to'g'ri bo'lsa, hammasi joyida, buni o'zingiz ko'rasiz. Narxlar klassikaga mos, keyinroq esa shaxsiy. Kimdan ekanligini yana bir bor taxmin qilaman: bu yiqilgan, xuddi shunday, qanday o'zgarish, yaxshisini olaman, tamom. farqlash, vydpovíd vyyti zovsym raznoyu mumkin. Marvel:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Barcha materiallarni tuzatish uchun nasamkinets, keling, ikkita dumbani tuzatishga harakat qilaylik.
Trigonometrik funksiyali vazifa va uchta o‘zgarishli funksiya
№1 menejer
Keling, ushbu formulalarni yozamiz:
\[((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Keling, virusimizni virishuvate qilaylik:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo porahuemo shunday dizayn:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuêmo virishuvati vihídny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Bu $x$ shaxsiy oʻzgarishning qoldiq miqdori. Endi $y$ uchun uzr so'rayman:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo one viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Virishuemo dizaynimizning oxirigacha:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
№2 menejer
Bir qarashda, bu dumba buklanishi mumkin, chunki uchta o'zgarish mavjud. Darhaqiqat, bu bugungi video-tur uchun eng oddiy vazifalardan biridir.
$x$ tomonidan tanilgan:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ) ^(z)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \o'ng))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Endi $y$ ga qaraylik:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \o'ng))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \o'ng))^(\asosiy ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+(e)^(z))\cdot ((\chap) (y \o'ng))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Biz haqiqatni bildik.
Endi $z$ ni bilish juda ko'p:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \o'ng))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Biz boshqa vazifani ko'rish yana yakunlangan uchinchi pokhidnani maqtadik.
nuance gilos
Bachit kabi, bu ikki dumbada buklanadigan hech narsa yo'q. Yagona narsa, nima uchun biz chalkashdik, bu katlanadigan funktsiyalar ko'pincha to'xtab qolgan va eskirgan, chunki biz shaxsiy uyatchan bo'lganimiz sababli, vaziyatga qarab o'zgarishimiz kerak bo'ladi.
Vazifaning qolgan qismida bizdan uchta turli funktsiyalarni ishlab chiqish so'ralgan. Tsomuda hech qanday dahshatli narsa yo'q, prote naprikintsí mi yo'llarini kesib o'tgan, bu badbo'y hid bir xil va u butunlay g'azablangan.
Muhim daqiqalar
Bugungi video darsdan qolgan eslatmalar:
- Xususiy xarajatlar xuddi shunday muhim bo'lganidek hisobga olinadi, shaxsiy xarajatlarni bitta o'zgartirish bilan hisobga olish uchun, ushbu funktsiyaga kiritilgan barcha o'zgarishlarni hal qilish uchun biz ularni doimiylar sifatida qabul qilamiz.
- Pratsyyuyuchi s xususiy pokhídnymi vikoristovuyemo tí sami standart formulalar, yak í z znichnym pokhídnymi: suma, raznitsyu, pokhídnu í xususiy í, zrozumílo, pokhídnu katlanadigan funktsiyalarni yaratadi.
Shubhasiz, bitta video darsni ko'rib chiqishning o'zi etarli emas, shuning uchun men ushbu mavzuni yana kengaytirishim mumkin, shuning uchun bir vaqtning o'zida mening saytimda ushbu videodan oldin ushbu kunning mavzusiga bag'ishlangan vazifalar to'plami mavjud - kirib, zavantazhyte, virishuyte tsí avdannya va bog'laning. Axir, sizda uxlash yoki mustaqil ishlash kabi shaxsiy muammolardan hech qanday kundalik muammolar bo'lmaydi. Shubhasiz, bu zamonaviy matematikaning oxirgi darsidan uzoqdir, shuning uchun bizning veb-saytimizga o'ting, VKontakte-ni qo'shing, YouTube-ga obuna bo'ling, yoqtirishlarni qo'ying va bizni kuzatib boring!
z - / (x, y) funksiya xOy tekisligidagi haqiqiy D mintaqasiga tayinlansin. D maydonidagi ichki nuqtani (x, y) olaylik va x ikki barobar Axni oshiradi, shuning uchun (x + Ax, y) nuqta 6D (9-rasm). Qiymat z funksiyaning x ga nisbatan xususiy ortishi deyiladi. Malumotni saqlash (x, y) nuqta uchun mos yozuvlar maqsadning vazifasidir. Agar Ax uchun -* 0 oxirgi chegaraga ^ kengaytma bo'lsa, u holda bu chegara mustaqil o'zgarish xy nuqtasi (x, y) uchun xususiy funktsiya z = / (x, y) deb ataladi va jfc ( belgisi bilan belgilanadi. aks holda / i (x, jj ) ), yoki z "x (x, Xuddi shu darajada, tayinlangan abo uchun, qaysi bir xil bo'ladi, Xuddi shunday, Yakshcho i n mustaqil o'zgarishlar funktsiyasi, keyin Arz hisoblanadi, deb eslab. doimiy o'zgarish qiymati va ATZ bilan - o'zgarish x doimiy qiymatga ega, viznachennya Xususiy pohіdnih sformulyuvati mozhna shuning: Privatnі pohіdnі geometrik Sens Xususiy pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії kіlkoh zmіnnih Potrіbnі aqllari diferentsіynostі funktsії dekіlkoh zmіnnih) nazivaєtsya zvichayna pohіdna tsієї funktsії ning x, obchislena in pripuschenní scho y - postíyna;, y) nazivaêtsya vv y uchun chegirib tashlanadi, nafaqa hisoblangan, sho x - doimiy. i funksiyalar r = /(x, y) y ts_y nuqtalari xususiy barcha argumentlarga o'xshash funksiya y nuqtalarining uzluksizligini isbotlamaydi. Demak, funksiya 0(0,0) nuqtada uzluksiz emas. Biroq, bu nuqtada, funktsiya xususiy bo'lishi mumkin. Sababi /(x, 0) = 0 í /(0, y) = 0 va bu Geometrik ma'noda ikkita o'zgaruvchan funktsiyalarning xususiy o'xshash funktsiyalari D faol maydonida uzluksiz va u erda x va y xususiy bayramlari bo'lishi mumkin. Ko'rinib turibdiki, z = f(x)y) sirt Mo(xo, yo) 6 D nuqtadagi o'xshashlarning geometrik o'zgarishi f(x0)yo)) nuqtani bildiradi. M0 xususiy nuqta muhim bo'lganda, z faqat x argumentining funktsiyasi bo'lishi muhim, y argumenti esa y = yo ning doimiy qiymatini oladi. fi(x) funksiya geometrik L egri chiziq bilan ifodalanadi, shuning uchun S sirt y = y o tekislik bilan qoplangan. Bir o'zgaruvchining o'xshash funktsiyasining geometrik ma'nosidan f \ (xo) = tg a, de a - kesilgan, nuqta Ox chizig'idan JV0 nuqtasida L chizig'iga dotichnoí̈ (10-rasm). Va shunday qilib, shunday qilib, xususiy ($ |) ko'proq tangens burchak va o'rta kengligi Oh va dotic nuqtada N0 egri chiziq, sirt perimetri z = / (x, y) y tekisligi bilan kesilgan. Xuddi shunday, biz §6 ni olamiz. Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining differentsialligi z = /(x, y) funksiya xOy tekisligida D haqiqiy masofaga tayinlansin. Keling, (x, y) € D nuqtasini olaylik va x qiymatlarini tanlaymiz va Ah va Du ning o'sishini aytaylik, lekin baribir nuqta. Uchrashuv. r = /(x, y) funktsiyasi differentsiallashgan * nuqta (x, y) € 2E deb ataladi, bu funktsiyaning mukammal namunasi bo'lib, Dx, D y (ale vzagali lie v_d xiy) o'sishini ko'rsatadi. va Dx i Dy nolga teng deb qabul qilinganda a(Dx, Dy) í /? (Dx, Dy) nolga. . Agar (x, y) nuqtada z = /(x, y) funksiya differensiallansa, u holda A Dx 4- VD funktsiyaning o'sishiga, Dx va Du ning chiziqli tezligiga bo'lgan qismi yuqori differentsial deyiladi. (x, y) nuqtadagi funksiyaning va dz belgisi bilan belgilanadi: Tanim darajasi, dumba. r = x2 + y2 bo'lsin. Be-yakíy nuqtasida (g, y) va be-yak uchun Dx í Du ma'mo Bu yerda. Shunday qilib, a í / 3 nolga ketayotganda nolga o'tadi Dx í Du. Shubhasiz, funktsiya xOy tekisligining istalgan nuqtasida farqlanadi. Shu munosabat bilan, bizning dunyomizda Dx, Du gözenekli o'sish yoki nol miqdorida norozilik uyg'otish uchun bunday turdagi rasmiy qo'shimchalar mavjud emasligi hurmatlidir. Formula (1) ni yanada ixchamroq yozish mumkin, shunda siz virazni kiritishingiz mumkin (nuqtalar orasiga qo'ying (Koristing, siz yozishingiz mumkin) Virazni bildirganingizdan so'ng, qavslarda nima turish kerak, e orqali biz qila olamiz. to de z J, Du va o'ng nolda yotadi, J 0 í Du 0 kabi yoki p 0 dan qisqaroq. Aqlning differentsial funktsiyasini ifodalovchi formula (1) z = f(xt y) y nuqta (x, y), endi bir qarashda yozilishi mumkin Shunday qilib, ilova nuqtai nazaridan 6.1.funksiya r = /(x, y) kasrda differensiallanadi, keyin u tsij nuqtasida uzluksiz bo'ladi e, bu o'sishlarni tasdiqlaydi J va D argumentlarini vizual ko'rinishda ko'rsatish mumkin (ma'lum doimiy nuqta uchun L, B qiymatlari; yulduzlar kuzatib boradi, bu esa Rest nuqtasida (w, y) funktsiya gb) , y) ekanligini anglatadi. berilgan nuqtada differensiallangan, qiy nuqtada mo ko'z s.ieet xususiy o'xshash $§ i.z = / (x, y) funksiya (x, y) nuqtada differensiallansin. o'sish Dx, Ay argumentlari, siz ko'rishingiz mumkin (1). (1) Dx F 0, Dn = 0 tengligini olib, yulduzlarni olib tashlaymiz Demak, qolgan tenglikning o'ng tomoni sifatida A qiymati vídda yotmaydi, Tse (x, y) nuqtada ekanligini bildiradi. bu xususiy nisbiy funktsiya r \u003d / (x, y) x ga ko'ra, bundan tashqari, muhitni o'zgartiramiz (x, bu aslida xususiy o'xshash funktsiya zy, bundan tashqari, teoremaning Z quyidagi, lekin bu yaxshi, chunki teorema 5 faqat (x, y) nuqtalarda xususiy o'xshash mavjudligini tasdiqlaydi, lekin hech narsa yo'qligi haqida boshqa hech narsa aytish mumkin emas y nuqtalari, shuningdek, (x, y) 6 nuqtasi yaqinidagi xatti-harakatlarim haqida. 2 ili kílkohh zmínnyyi, Shaho Differential™ ™ Yak Vídomo, nafas olish zarurati í i i i i i i i i i i ininoy ininoí̈ í í i i i i i i i i i i ininoy ininoí̈ í í i i i i i i níníníi í í í í í í í í í í í í í í i i stoíniy otíni i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i nínniy funki bilish qobiliyatiga ega. ittsíy x0 dekílkoh zmínnyh, o'ng tomonda sezilarli darajada katlanmış: farqlash uchun zarur va etarli aql yo'q, lekin z \u003d / (x, y) funktsiyasi uchun ikkita mustaqil o'zgarish x, y; a funktsiyalarining differentsial tabiati o'zgarishlar soni tajovuzkor teorema bilan namoyon bo'ladi.. San'at teoremasi. x, y) nuqtalarda differensiallangan (x- xususiy o'xshash funksiyalarning funksiyasini ko'rib chiqamiz. rivatní differentsiallar Pokhídní katlama funktsiyalari Vaughn hamma joyda ™ berilgan funktsiyalarni 0(0,0) nuqtasida biz bilamiz va tsíêí o'tkirlash 0 í Du 0. Keling, D0 qilaylik. Xuddi shu formulaga (1) biz / (x, y) \u003d 0 (0, 0) nuqtada farqlanmagan funktsiyani hisoblashimiz mumkin, garchi va ts_y nuqtasida robimo fa va f "r f "t alohida bo'lishi mumkin. nuqtalar § 7. Yangi differentsial.Xususiy differensiallar g - f (z> y) funksiyasi differensiallanganligi sababli, dz uslubiy jihatdan differensial differensial funktsiyani mustaqil o'zgarishlar bo'yicha takomillashgan bo'lib, ularning farqlariga differensiallarni qo'llagan holda: Quyidagi formula Misol tariqasida funksiyaning to‘liq differensialidan olingan.i - 1l (x + y2) bo‘lsin.z = f(x, y) funksiyaning o‘zgaruvchan xga nisbatan differensiali; y xususiy differentsiallar yig‘indisi: sezilarli darajada , ko'proq zbílshennya Az funktsiyalari z = / (w, y), vzagaly ko'rinadi, dorívn emas yuê xususiy qo'shimchalar summalari. Agar (i, y) nuqtada = /(w, y) funktsiya differensiallansa va tsij nuqtasida differensial dz FD bo'lsa, u holda jami o'sish uning chiziqli qismiga faqat qolgan qo'shimchalar yig'indisiga qo'shiladi aAx. 4- /?i Ay --» Cheksiz kichik umumiy tartib haqida, chiziqli qismning pastki ombori. Shuning uchun dz F 0 bo'lganda, differentsiatsiyalangan funktsiya ortishining chiziqli qismi funktsiya ortishining bosh qismi deb ataladi va taxminiy formula bilan korralizatsiya qilinadi, chunki u aniqroq bo'lsa, mutlaq qiymat qanchalik kichik bo'ladi. argumentlarning ko'payishi. §8. Boshqa katlama funksiyalari 1. Funksiya xOy tekisligidagi haqiqiy D maydonida tayinlansin, bundan tashqari, teri w ni o'z chizig'ida t argumentining funktsiyasini o'zgartiradi: Faraz qilaylik, t ni hududlar orasidagi intervalda o'zgartirganda. D. Agar z = / (w, y) funktsiyaga qiymat qo'shsak, u holda biz bir o'zgarish tning katlama funktsiyasini olamiz.M Ha t o'sish Dt.2 + (Dy)2 F 0 funktsiyasi z ham olib tashlaydi. Dg ning o'sishi, chunki, funktsiyaning differentsiatsiyasi tufayli z = /(x, y) y nuqtasi (x, y) vizual de a) nol Ax va Du bo'lganda nolni o'zgartirishi mumkin. A í /3 da Ax \u003d Ay \u003d 0, poklavshi a Todí a (ular J \u003d Dy \u003d 0 bo'lganda uzluksiz bo'ladi. Biz farqni ko'rishimiz mumkin Maêmo Teri qo'shimchasida ^ O'ng qismda (2) ) haqorat spívmultipliers o'rtasida bo'lishi mumkin qachon samarali bo'lsa, xususiy pokhídny í ^ berilgan ê doimiy uchun, aqliy sabab o'rtasidagi keyingi bo'lganlar asoslari ^ i nuqtada £ funktsiyalari uzluksizligi x = y (t) va. y = bunga 0 da nol darajani siljitish uchun, tenglikning o'ng qismi (2) da 0 ma' o'rtasida, teng O'rtacha, isnye da 0 í chap qism (2) o'rtasida, ya'ni Y formulasi okremu vpadku, agar, keyin , z ê yig'iladigan funktsiya víd w, otrimuêmo U formula (5) ê xususiy pokhídna funadííg \u003d / (w , y) tomonidan w, y qanday talaffuz qilinishini hisoblashda / (w, y) argument y qabul qilinadi A ê pohídna funktsiyasi z mustaqil zmínnoy f uchun, yy viraz / (w, y) deb hisoblanganda endi ro'za sifatida qabul qilinmaydi, lekin o'z vazifasi bilan hurmat qilinadi. víd f: y \u003d tp (x) t va shuning uchun kuzda qolgan z víd g sug'urta bilan qoplanadi. dumba. Know í jg, yaksho 2. Endi ko'p o'zgarishlarning yig'iluvchi funksiyalarining differensiallanishini ko'rib chiqamiz. Bu sizning qatoringizda shunday joiz bo'lsinki, (() nuqtada uzluksiz xususiy yo'qotishlar mumkin, 3?" z = z(() y) y nuqta t7) funktsiyasi yomonroq bo'lishi mumkin va u, í ma'lum. cih uchun boshqacha bo'lish yomonroq. Hurmat bilan, scho vídok vyd vyvchennogo ístotno emas vydyznyaooê. Darhaqiqat, z ni do'stning £ ga ko'ra farqlashda, postina uchun mustaqil o'zgarish rj olinadi, shundan so'ng, bu operatsiya jarayonida ular bir xil o'zgarishlarning funktsiyalariga aylanadilar w" = c), y = c) qachon formula (3) ko'rsatilgan, vikoristovuyuchi formula (3) va rasmiy ravishda níy yilda o'rnini pokhídní § í ^ pokhídní í vídpovídno, otrimaêmo Analogly ma'lum dumba. Yakscho chiday funktsіya "berilgan formula shuning uchun men agar = de Privatnі pohіdnі geometrik zmіst Xususiy pohіdnih funktsії dvoh zmіnnih Diferentsіynіst funktsії dekіlkoh Neobhіdnі Minds Dostatnі ongimiz funktsії diferentsіynostі zmіnnih diferentsіynostі funktsіy dekіlkoh zmіnnih Povny diferentsіal Pohіdnі skladnoї, vikonannі vіdpovіdnih aqllari okremomu vipadku bor maєmo keyin scho funktsíí̈ balki bu yerda t-povna. xususiy tasodifiy funktsiya i mustaqil o'zgarishi bilan x, u i bilan butunlay mustaqil bo'lgan x ichida, shu jumladan i orqali z = z (x, y), a ^ xususiy hosiladir.
1°. Vypadok bir nezalezhnaya zminnoy. z = f (x, y) kabi, x va y ni farqlovchi, argumentlar, o'z qatoringizdagi kabi - mustaqil o'zgarishlarning farqlovchi funktsiyalari t: , keyin shunga o'xshash katlama funktsiyalari 
formula bo'yicha hisoblash mumkin
dumba. Biling, yakscho, de.
Yechim. Formula (1) uchun biz:
Butt. Xususiy bilish uchun men yo'qolib qolaman va yana yo'qolib qolaman, kabi 
.
Yechim. .
Formula (2) asosida biz taxmin qilishimiz mumkin 
.
2°. Vipadok kilkoh nezalezhnyh zminnyh.
Qo'ysangchi; qani endi z=f(x;y)- ikki smena funktsiyasi Xі y, teri funktsiyasi t:x=x (t), y =y (t). Qaysi biri funksiyaga ega z=f(x (t);y (t))ê bitta mustaqil o'zgarishning katlama funktsiyasi t; o'zgartirish x va y - oraliq o'zgarishlar.
Teorema. Yakscho z == f(x; y) - nuqtalarda farqlanadi M(x; y)D bu funktsiya x =x (t)і da =y (t)- mustaqil bilan farqlanadigan funktsiyalar t, keyin bu yig'iladigan funksiya z(t) == f(x (t);y (t)) formula bo'yicha hisoblang
|
|
Okremy vipadok:z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x;y (x)) - bitta mustaqil o'zgarishning yig'iladigan funktsiyasi X. Tsej vpadok old tomonga olib boradi, bundan tashqari, ilonning roli t kulrang X. Formula (3) ga mos kelishi mumkin:
.
Formulaning qolgan qismi jiringlaydi formulalar aynan bir xil
Issiq kuz:z = f(x;y), de x =x (u;v),y=y (u;v). Todi z = f(x (u;v);y (u;v)) - mustaqil o'zgarishlarning yig'iladigan funktsiyasi іі v.Їí̈ xususiy pokhídní ma'lum bo'lishi mumkin, vikoristovuyuchi formula (3) tajovuzkor daraja. Tuzatish v, nyy, vídpovídnymi xususiy yilda almashtiring
Shu tarzda, katlama funktsiyasi (z) teri mustaqil o'zgarishiga o'xshaydi (іі v) oraliq o'zgarishlar uchun xususiy o'xshash funktsiyalar (z) ishlarining yaxshiroq yig'indisi (x va y) katta mustaqil shamol tegirmoni uchun sayohatlarida (u va v).
Ko'rib chiqilgan barcha qarashlar uchun formula to'g'ri
(To'liq differentsialning o'zgarmasligining kuchi).
dumba. Biling va qanday qilib z = f(x, y), de x = uv,.
Yechim. Zastosovuyuchi formulalar (4) va (5), biz olamiz:
dumba. Funktsiya qanoatlantirilganligini ko'rsating 
.
Yechim. Víd x í y ni oraliq argument orqali joylashtirish funktsiyasi, shuning uchun
Daryoning chap qismiga shaxsiy sayohatlarni taqdim etish, matimemo:
Ya’ni z funksiya berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Bu to'g'ri chiziqda Pokhídna gradíênt funktsiyasi
1°. Pokhídna kimga bevosita ishlaydi. Pokhidny z= funktsiyalari f(x, y) to'g'ridan-to'g'ri kimga chaqirdi 
de i - funksiyaning i nuqtalardagi qiymati. z funksiyasi differensiallanganligi sababli, formula rost
de - kuti mizh to'g'ridan-to'g'ri oldinga l va koordinata o'qlari yordamida. To'g'ridan-to'g'ri funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflovchi pokhídna.
dumba. To'g'ridan-to'g'ri P (1; 0) y nuqtasida Zu 2 - aniq funktsiyani biling z = 2x 2, OH kesish balandligini 120 ° o'rnatish uchun.
Yechim. Funktsiyaning shaxsiy qiymatlarini va P nuqtasining qiymatini bizga xabar bering.
dumba. Biling, yakscho, de.
Yechim. Formula (1) uchun biz:
dumba. Xususiy bilish uchun men yo'qolib qolaman va yana yo'qolib qolaman, kabi 
.
Yechim. .
Formula (2) asosida biz taxmin qilishimiz mumkin 
.
2°. Vipadok kilkoh nezalezhnyh zminnyh.
Qo'ysangchi; qani endi z = f(x; y) - ikki smena funktsiyasi Xі y, terining funktsiyasi
mustaqil kon t: x = x(t), y = y(t). Qaysi biri funksiyaga ega z=f(x(t); y(t))є
bitta mustaqil o'zgarishning katlama funktsiyasi t; o'zgartirish x va y - oraliq o'zgarishlar.
Teorema. Yakscho z == f(x; y) - nuqtalarda farqlanadi M(x; y) D funktsiyasi
і x = x(t)і da =y(t) - mustaqil bilan farqlanadigan funktsiyalar t,
keyin bu yig'iladigan funksiya z(t) == f(x(t); y(t)) formula bo'yicha hisoblang
 | (3) |
Okremy vipadok: z = f(x; y), de y = y(x), tobto. z= f(x; y(x)) - yolg'iz katlanadigan funksiya
mustaqil kon X. Tsej vpadok old tomonga olib boradi, bundan tashqari, ilonning roli
t kulrang X. Formula (3) ga mos kelishi mumkin:
.
Formulaning qolgan qismi jiringlaydi formulalar aynan bir xil
Issiq kuz: = f(x;y), de x = x(u;v), y=y(u;v). Todi z = f(x(u;v); y(u;v)) - buklanadigan
mustaqil o'zgarishlar funktsiyasi іі v.Їí̈í shaxsiy sayohatlar va siz bilishingiz mumkin
vikorist formula (3) shu tarzda. Tuzatish v, niy bilan almashtiring,
Vídpovídnimi xususiy
Shu tarzda, katlama funktsiyasi (z) teri mustaqil o'zgarishiga o'xshaydi (іі v)
o'rta uchun xususiy o'xshash funktsiyalar (z) ishlarining ko'proq yig'indisi
o'zgardi (x va y) katta mustaqil shamol tegirmoni uchun sayohatlarida (u va v).
Ko'rib chiqilgan barcha qarashlar uchun formula to'g'ri
(To'liq differentsialning o'zgarmasligining kuchi).
dumba. Biling va qanday qilib z = f(x, y), bu erda x = uv, .
Xususiy bayramlar kam sonli odamlarning funktsiyalari boshida turadi. Ahamiyatlilik qoidalari bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan aynan bir xil bo'lib, yagona farqi shundaki, o'zgaruvchan izlaridan biri doimiy (doimiy son) bilan farqlanish momentida hisobga olinadi.
Formula
Ikki o'zgaruvchining $ z (x, y) $ funktsiyasi uchun shaxsiy sanalar keyingi ko'rinishda $ z "_x, z"_ y $ yoziladi va formulalarga amal qiling:
Shaxsiy bayramlar birinchi buyurtma
$$ z"_x = \frac(\qisman z)(\qisman x) $$
$$ z"_y = \frac(\qisman z)(\qisman y) $$
Boshqa tartibda shaxsiy sayohatlar
$$ z""_(xx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman y) $$
Zmishana yaxshi
$$ z""_(xy) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman x \qisman y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\qisman^2 z)(\qisman y \qisman x) $$
Xususiy saqlash katlama funktsiyasi
a) $ z(t) = f(x(t), y(t)) $ boʻlsin, u holda oʻxshash katlama funksiyalari quyidagi formula boʻyicha boʻladi:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\qisman z)(\qisman y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
b) $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $ boʻlsin, formuladan keyin quyidagi xususiy funksiyalarni takrorlang:
$$ \frac(\qisman z)(\qisman u) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman u) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman u) $$
$$ \frac(\qisman z)(\qisman v) = \frac(\qisman z)(\qisman x) \cdot \frac(\qisman x)(\qisman v) + \frac(\qisman z)( \qisman y) \cdot \frac(\qisman y)(\qisman v) $$
Xususiy bayramlar aniq belgilangan funktsiyalar
a) $ F(x,y(x)) = 0 $, keyin $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ bo'lsin.
b) $ F (x, y, z) = 0 $, keyin $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$
Yechimni qo'llang
| dumba 1 |
| Birinchi darajali shaxsiy qiymatlarni toping $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ |
| Yechim |
|
$ x $ dagi xususiy o'zgaruvchining qiymati uchun biz $ y $ dan doimiy qiymat (raqam) sifatida foydalanamiz: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Xususiy funktsiyaning $ y $ ga nisbatan qiymati uchun $ y $ doimiy qiymatga ega: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Agar siz o'z vazifangizni buzishga jur'at etmasangiz, unda bizdan oldin yoga bilan shug'ullaning. Bizga batafsilroq yechim kerak. Hisoblash jarayoni haqida bilib olishingiz va ma'lumotlarni olib tashlashingiz mumkin. Tse dopomozhe har soat vikladach dan zalni olib! |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| dumba 2 |
| Shaxsiy o'xshash funktsiyalarni boshqa tartibda toping $ z = e ^ (xy) $ |
| Yechim |
|
Shu bilan birga, birinchi qadamni bilish kerak, keyin ularni bilish, siz boshqa tartibdagi qadamlarni bilishingiz mumkin. Muhim $ y $ doimiy: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Keling, $ x $ doimiy qiymatini qo'yaylik: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Birinchi pokhídni bilish, xuddi shunday biz boshqalarni bilamiz. Biz $ y $ ni doimiy ravishda o'rnatamiz: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ doimiy o'rnating: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Endi men zmíshanu pokhídnu haqidagi bilimlarni yo'qotdim. Siz $ z"_x $ ni $ y $ ga nisbatan farqlashingiz mumkin yoki $ z" _y $ ni $ x $ ga nisbatan farqlashingiz mumkin, $ z""_(xy) = z""_(yx) teoremasiga ko'ra. ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| dumba 4 |
| $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ koʻrinmas funksiyani $ F (x, y, z) = 0 $ qoʻysin. Birinchi tartibdagi shaxsiy voqealarni biling. |
| Yechim |
|
Funksiyani quyidagi formatda yozamiz: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Vidpovid |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
