Розглянемо функцію від двох змінних:
Оскільки змінні $x$ і $y$ є незалежними, для такої функції можна запровадити поняття приватної похідної:
Приватна похідна функції $f$ у точці $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за змінною $x$ - це межа
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
Аналогічно можна визначити приватну похідну за змінною $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Іншими словами, щоб знайти приватну похідну функції кількох змінних, потрібно зафіксувати решту змінних, крім шуканої, а потім знайти звичайну похідну за цією шуканою змінною.
Звідси випливає основний прийом для обчислення таких похідних: просто вважайте, що всі змінні, крім цієї, є константою, після чого диференціюйте функцію так, як диференціювали б «звичайну» - з однією змінною. Наприклад:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Очевидно, що приватні похідні з різних змінних дають різні відповіді — це нормально. Куди важливіше розуміти, чому, скажімо, у першому випадку ми спокійно винесли $10y$ з-під похідної знака, а в другому — зовсім обнулили перший доданок. Все це відбувається через те, що всі літери, крім змінної, за якою йде диференціювання, вважаються константами: їх можна виносити, спалювати і т.д.
Що таке "приватна похідна"?
Сьогодні ми поговоримо про функції кількох змінних та про приватні похідні від них. По-перше, що таке функція кількох змінних? До цього часу ми звикли вважати функцію як $y\left(x \right)$ або $t\left(x \right)$, або будь-яку змінну та одну-єдину функцію від неї. Тепер функція в нас буде одна, а змінних кілька. У разі зміни $y$ та $x$ значення функції змінюватиметься. Наприклад, якщо $x$ збільшиться вдвічі, значення функції зміниться, при цьому якщо $x$ зміниться, а $y$ не зміниться, значення функції так само зміниться.
Зрозуміло, функцію від кількох змінних, так само як і від однієї змінної, можна диференціювати. Однак оскільки змінних кілька, то й диференціювати можна з різних змінних. У цьому виникають специфічні правила, яких був при диференціюванні однієї змінної.
Перш за все, коли ми вважаємо похідну функції від будь-якої змінної, то повинні вказувати, за якою змінною ми вважаємо похідну - це і називається приватною похідною. Наприклад, у нас функція від двох змінних, і ми можемо порахувати її як $x$, так і $y$ — дві приватних похідних у кожної зі змінних.
По-друге, щойно ми зафіксували одну зі змінних і починаємо вважати приватну похідну саме за нею, то всі інші, що входять до цієї функції, вважаються константами. Наприклад, $z\left(xy \right)$, якщо ми вважаємо приватну похідну по $x$, то скрізь, де ми зустрічаємо $y$, ми вважаємо її константою і звертаємося з нею саме як з константою. Зокрема при обчисленні похідної твори ми можемо виносити $y$ за дужку (у нас же константа), а при обчисленні похідної суми, якщо у нас десь виходить похідна від виразу, що містить $y$ і не містить $x$, то похідна цього виразу дорівнюватиме «нулю» як похідна константи.
На перший погляд може здатися, що я розповідаю про щось складне, і багато учнів спочатку плутаються. Проте нічого надприродного у приватних похідних немає, і ми переконаємося у цьому з прикладу конкретних завдань.
Завдання з радикалами та багаточленами
Завдання №1
Щоб не гаяти часу, з самого початку почнемо з серйозних прикладів.
Для початку нагадаю таку формулу:
Це стандартне табличне значення, яке ми знаємо із стандартного курсу.
У цьому випадку похідна $z$ вважається так:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Давайте ще раз, оскільки під коренем стоїть не $x$, а якийсь інший вираз, в даному випадку $\frac(y)(x)$, то спочатку ми скористаємося стандартним табличним значенням, а потім, оскільки під корінням стоїть не $x $, а інший вираз, нам необхідно примножити нашу похідну на ще одну з цього виразу за тією ж змінною. Давайте для початку порахуємо наступне:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Повертаємось до нашого виразу та записуємо:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
У принципі це все. Однак залишати її в такому вигляді неправильно: таку конструкцію незручно використовувати для подальших обчислень, тому давайте її трохи перетворимо:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Відповідь знайдено. Тепер займемося $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Випишемо окремо:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Тепер записуємо:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Все зроблено.
Завдання №2
Цей приклад одночасно і простіше і складніше, ніж попередній. Складніше, тому що тут більше дій, а простіше, тому що тут немає кореня та, крім того, функція симетрична щодо $x$ та $y$, тобто. якщо ми поміняємо $x$ та $y$ місцями, формула від цього не зміниться. Це зауваження надалі спростить обчислення приватної похідної, тобто. Достатньо порахувати одну з них, а в другій просто поміняти місцями $x$ і $y$.
Приступаємо до справи:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Давайте порахуємо:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Проте багатьом учням такий запис незрозумілий, тому запишемо ось так:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Таким чином, ми ще раз переконуємося в універсальності алгоритму приватних похідних: яким би ми їх не вважали, якщо всі правила застосовуються правильно, відповідь буде та сама.
Тепер давайте розберемося ще з однією приватною похідною нашої великої формули:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Підставимо отримані висловлювання на нашу формулу і отримаємо:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left(((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
$x$ пораховано. А щоб порахувати $y$ від того самого виразу, давайте не будемо виконувати всю ту ж послідовність дій, а скористаємося симетрією нашого вихідного виразу - ми просто замінимо в нашому вихідному виразі всі $y$ на $x$ і навпаки:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
За рахунок симетрії ми порахували цей вираз набагато швидше.
Нюанси вирішення
Для приватних похідних працюють всі стандартні формули, які ми використовуємо для звичайних, а саме похідна приватного. При цьому, однак, виникають свої специфічні особливості: якщо ми вважаємо приватну похідну $x$, то коли ми отримуємо її по $x$, то розглядаємо її як константу, і тому її похідна дорівнюватиме «нулю».
Як і у випадку зі звичайними похідними, приватну (одну й ту саму) можна порахувати кількома різними способами. Наприклад, ту ж конструкцію, яку ми щойно порахували, можна переписати так:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Разом про те, з іншого боку, можна використовувати формулу від похідної суми. Як ми знаємо, вона дорівнює сумі похідних. Наприклад, запишемо таке:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Тепер, знаючи все це, давайте спробуємо попрацювати з більш серйозними висловлюваннями, оскільки справжні приватні похідні не обмежуються одними лише багаточленами та корінням: там зустрічаються і тригонометрія, і логарифми, і показова функція. Тепер цим і займемося.
Завдання з тригонометричними функціями та логарифмами
Завдання №1
Запишемо такі стандартні формули:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Озброївшись цими знаннями, спробуємо вирішити:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Окремо випишемо одну змінну:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Повертаємось до нашої конструкції:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Все, по $x$ ми знайшли, тепер давайте займемося обчисленнями $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Знову ж таки порахуємо один вираз:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]
Повертаємося до вихідного виразу та продовжуємо вирішення:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Все зроблено.
Завдання №2
Запишемо необхідну нам формулу:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Тепер порахуємо за $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
За $x$ знайдено. Вважаємо по $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Завдання вирішено.
Нюанси вирішення
Отже, від якої функції ми не брали приватну похідну, правила залишаються одними і тими ж, незалежно від того, чи працюємо ми з тригонометрією, з корінням або з логарифмами.
Незмінними залишаються класичні правила роботи зі стандартними похідними, а саме, похідна суми та різниці, приватної та складної функції.
Остання формула найчастіше зустрічається під час вирішення завдань із приватними похідними. Ми зустрічаємося з ними практично скрізь. Жодного завдання ще не було, щоб там нам воно не траплялося. Але якою б ми не скористалися формулою, нам все одно додається ще одна вимога, а саме, особливість роботи з приватними похідними. Щойно ми фіксуємо одну змінну, решта виявляються константами. Зокрема, якщо ми вважаємо приватну похідну виразу $\cos \frac(x)(y)$ $y$, то саме $y$ і є змінною, а $x$ скрізь залишається константою. Те саме працює і навпаки. Її можна виносити за знак похідної, а похідна від самої константи дорівнюватиме «нулю».
Все це призводить до того, що приватні похідні від одного й того ж виразу, але з різних змінних можуть виглядати по-різному. Наприклад, подивимося такі вирази:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Завдання з показовими функціями та логарифмами
Завдання №1
Для початку запишемо таку формулу:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Знаючи цей факт, а також похідну складної функції, спробуємо порахувати. Я зараз вирішу двома різними способами. Перший і найочевидніший — це похідна робота:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Давайте вирішимо окремо такий вираз:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Повертаємося до нашої вихідної конструкції та продовжуємо вирішення:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y) \right)\]
Все, $x$ пораховано.
Однак, як я і обіцяв, зараз постараємося порахувати цю ж приватну похідну іншим способом. Для цього зауважимо таке:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
У цьому запишемо так:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
В результаті ми отримали таку саму відповідь, проте обсяг обчислень виявився меншим. Для цього досить було помітити, що при добутку показники можна складати.
Тепер порахуємо за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Давайте вирішимо один вираз окремо:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Продовжимо вирішення нашої вихідної конструкції:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Зрозуміло, цю ж похідну можна було б порахувати другим способом, відповідь вийшла б такою самою.
Завдання №2
Порахуємо за $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Давайте порахуємо один вираз окремо:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]
Продовжимо рішення вихідної конструкції: $$
Ось така відповідь.
Залишилось за аналогією знайти по $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Один вираз порахуємо як завжди окремо:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Продовжуємо вирішення основної конструкції:
Все пораховано. Як бачите, залежно від того, яка змінна береться для диференціювання, відповіді виходять абсолютно різні.
Нюанси вирішення
Ось яскравий приклад того, як похідну однієї й тієї функції можна порахувати двома різними способами. Ось дивіться:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
При виборі різних шляхів, обсяг обчислень може бути різний, але відповідь, якщо все виконано правильно, вийде одним і тим самим. Це стосується як класичних, і приватних похідних. У цьому ще раз нагадую: залежно від цього, якою змінної йде взяття похідної, тобто. диференціювання, відповідь може вийти зовсім різною. Подивіться:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Насамкінець для закріплення всього цього матеріалу давайте спробуємо порахувати ще два приклади.
Завдання з тригонометричною функцією та функцією з трьома змінними
Завдання №1
Давайте запишемо такі формули:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Давайте тепер вирішувати наш вираз:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Окремо порахуємо таку конструкцію:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Продовжуємо вирішувати вихідний вираз:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Це остаточна відповідь приватної змінної $x$. Тепер порахуємо за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Вирішимо один вираз окремо:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Вирішуємо до кінця нашу конструкцію:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Завдання №2
На перший погляд, цей приклад може здатися досить складним, бо тут три змінні. Насправді це одне з найпростіших завдань у сьогоднішньому відеоуроці.
Знаходимо по $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Тепер розберемося з $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Ми знайшли відповідь.
Тепер залишається знайти $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Ми порахували третю похідну, на чому вирішення другого завдання повністю завершене.
Нюанси вирішення
Як бачите, нічого складного у цих двох прикладах немає. Єдине, у чому ми переконалися, то це в тому, що похідна складної функції застосовується часто і залежно від того, яку приватну похідну ми вважаємо, ми отримуємо різні відповіді.
В останній задачі нам було запропоновано розібратися з функцією відразу від трьох змінних. Нічого страшного в цьому немає, проте наприкінці ми переконалися, що вони один від одного істотно відрізняються.
Ключові моменти
Остаточні висновки з сьогоднішнього відеоуроку:
- Приватні похідні вважаються так само, як і звичайні, при цьому, щоб вважати приватну похідну по одній змінній, решта всіх змінних, що входять в цю функцію, ми приймаємо за константи.
- Працюючи з приватними похідними ми використовуємо ті самі стандартні формули, як і з звичайними похідними: суму, різницю, похідну твори і приватного і, зрозуміло, похідну складної функції.
Звичайно, перегляду одного цього відеоуроку недостатньо, щоб повністю розібратися в цій темі, тому зараз на моєму сайті саме до цього відео є комплект завдань, присвячених саме сьогоднішній темі - заходьте, завантажуйте, вирішуйте ці завдання і звіряйтеся з відповіддю. І після цього жодних проблем із приватними похідними ні на іспитах, ні на самостійних роботах у вас не буде. Звичайно, це далеко не останній урок з вищої математики, тому заходьте на наш сайт, додавайте ВКонтакте, підписуйтесь на YouTube, ставте лайки і залишайтеся з нами!
Нехай функція z - / (х, у) визначена деякій області D на площині хОу. Візьмемо внутрішню точку (х, у) з області D і дамо х збільшення Ах таке, щоб точка (х + Ах, у) 6D (рис.9). Величину назвемо приватним збільшенням функції z по х. Складемо відношення Для цієї точки (х, у) це відношення є функцією від визначення. Якщо за Ах -* 0 відношення ^ має кінцеву межу, то ця межа називається приватною похідною функції z = /(х, у) за незалежною змінною х у точці (х, у) і позначається символом jfc (або /i(x, jj) ), або z"x(x, Та ним чином, за визначенням або, що теж саме, Аналогічно Якщо і - функція п незалежних змінних, то Помітивши, що Arz обчислюється при незмінному значенні змінної у, a Atz - при незмінному значенні змінної х, визначення приватних похідних можна сформулювати так: Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Потрібні умови диференційності функції декількох змінних ) називається звичайна похідна цієї функції по х, обчислена в припущенні, що у - постійна; , у) називається її похідна за у, обчислена у припущенні, що х - постійна. Звідси випливає, правила обчислення приватних похідних збігаються з правилами, доведеними для функції однієї змінної. приклад. Знайти приватні похідні функції 4 Маємо заміни*. З існування функції г = /(х, у) у цій точці приватних похідних за всіма аргументами не витімає безперервності функції у цій точці. Так, функція не є безперервною у точці 0(0,0). Однак у цій точці зазначена функція має приватні похідні з х і у. Це випливає з того, що /(х, 0) = 0 і /(0, у) = 0 і тому Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Нехай у тривимірному просторі поверхня S задана рівнянням де f(x, у) - функція, безперервна в деякій області D і має там приватні похідні х і у. З'ясуємо геометричний зміст цих похідних у точці Мо(хо,уо) 6 D, якій поверхні z = f(x)y) відповідає точка f(x0)yo)). При знаходженні приватної похідної точки M0 ми вважаємо, що z є тільки функцією аргументу х, тоді як аргумент у зберігає постійне значення у = уо, тобто. Функція fi(x) геометрично зображується кривою L, по якій поверхня S перетинається площиною у = у о. З геометричного сенсу похідної функції однієї змінної f\(xo) = tg а, де а - кут, утворений дотичної до лінії L у точці JV0 з віссю Ох (рис. 10). Але так що Таким чином, приватна похідна ($ |) дорівнює тангенсуугла а між віссю Ох і дотичної в точці N0 до кривої, отриманої в перерізі поверхні z = / (х, у) площиною у Аналогічно отримуємо, що §6. Диференційність функції кількох змінних Нехай функція z = /(х, у) визначена в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо точку (х, у) € D і вибраним значенням х і дамо будь-які прирости Ах і Ду, але такі, щоб точка. Визначення. Функція г = /(х, у) називається диференційованою * точці (ж, у) € 2Е, якщо повне вирішення цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ду аргументів, можна представити у вигляді де Л і В не залежать від Дх і Д у ( але взагалі залежить від х і у), а а(Дх, Ду) і /?(Дх, Ду) прагнуть нулю при прагненні нулю Дх і Ду. . Якщо функція z = /(х, у) диференційована в точці (х, у), то частина А Дх 4- ВД приросту функції, лінійна щодо Дх і Ду, називається повним диференціалом цієї функції в точці (х, у) і позначається символом dz: Танім чином, приклад. Нехай г = х2 + у2. У будь-якій точці (г,у) і для будь-яких Дх і Ду маємо Тут. Так що а і / 3 прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. Відповідно до визначення, дана функція диференційована в будь-якій точці площини хОу. При цьому зауважимо, що в наших міркуваннях не був формально виключений той випадок, коли прирости Дх, Ду порізно або навіть обидва відразу дорівнюють нулю. Формулу (1) можна записати більш компактно, якщо ввести вираз (відстань між точками (Користуючись ним, можемо написати Позначивши вираз, що стоїть у скобнах, через е, будемо мати де з залежить від Дж, Ду і прагне нуля, якщо Дж 0 і Ду 0 або коротше, якщо р 0. Формулу (1), що виражає умову диференційності функції z = f(xt у) у точці (ж, у), можна тепер записати у вигляді Так, у наведеному вище прикладі 6.1. 4. Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в деякій точці, то вона в цій точці безперервна 4 Якщо в точці (ж, у) функція г = /(ж, у) диференційована, то повне приріст функції я в цій точ»«е, що відповідає приростам Дж і Ду аргументів, можна представити у вигляді (величини Л, В для даної точки постійні; звідки слідує, що Останнє означає, що в точці (ж, у) функція г б) Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в даній точці, mo око ы.иеет у цій точці приватні похідні $§ і. Нехай функція z = / (х, у) диференційована від точки (х, у). .Тоді прираше^ Дг цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ау аргументів, можна у вигляді (1). Взявши в рівності (1) Дх Ф 0, Ду = 0, отримаємо звідки Так як у правій частині останньої рівності величина А не залежить від, Це означає, що в точці (х, у) існує приватна похідна функції г = / (х, у) по х, причому Подібними ж міркуваннями переконуємось (х, існує приватна похідна функції zу, причому З теореми слід, що Підкреслимо, що теорема 5 стверджує існування приватних похідних тільки в точці (х, у), але нічого не говорить про безперервність їх у цій точці, а також про їхню поведінку в околиці точки (х, у) 6.2 Достатні умови функцій кількох змінних, що диференціюються™ Як відомо, необхідною і достатньою умовою диференційованості функції у = /(х) однієї змінної в точці хо є сутність кінцевої похідної /"(х) у точці х0. У разі, коли функція залежить від декількох змінних, справа значно складніша: необхідних і достатніх умов диференційності немає вже для функції z = /(х, у) двох незалежних змінних х, у; є л бач окремо необхідні умови (див. вище) та окремо - достатні. Ці достатні умови диференційності функцій кількох змінних виражаються наступною теоремою. Теорема ст. Якщо функція має приватні похідні /£ і f"v деякій околиці тонкі (хо, Уо) і якщо ці похідні безперервні в самій точці (хо,Уо), то функція z = f(x, у) диференційована в точці (х- Розглянемо функцію Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференційності функцій кількох змінних Повний диференціал Приватні диференціали Похідні складної функції Вона визначена всюди ™ даної функції в точці 0(0,0) знайдемо і прирощування цієї точить 0 і Ду 0. Покладемо Д0. Тоді з формули (1) матимемо Тому функції /(х,у) = не диференційована в точці 0(0,0), хоча і має в цій точці робимо fa і f"r Отриманий результат пояснюється тим, що похідні f"z і f"t розривні точки §7. Повний диференціал. Приватні диференціали Якщо функція г - f(z> у) диференційована, то її стислий диференціал dz дорівнює Помічаючи, що А = В = щ, запишемо формулу (1) в наступному вигляді Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали їх збільшенням: Після цього формула повного диференціала функції примітвкд Приклад. Нехай i - 1л (х + у2). Тоді Аналогічно, якщо u =) є функція, що диференціюється n незалежних змінних, то Вираз називається пісним диференціалом функції z = f(x, у) по змінній х; вираз називається приватним диференціалом функції z = / (ж, у) поперемінною у. З формул (3), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: Зазначимо, що повне збільшення Az функції z = / (ж, у), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. Якщо в точці (я, у) фунмцияг = /(ж, у) диференційована і диференціал dz ФО в цій точці, то її повне прирощення відрізняється від своєї лінійної частини тільки на суму останніх доданків аАх 4- /?ДУ, які при Аж 0 і Ау --» Про є нескінченно малими вищого порядку, ніж складові лінійної частини. Тому при dz Ф 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою яка буде тим більш точною, чим меншими по абсолютній величині будуть збільшення аргументів. §8. Похідні складної функції 1. Нехай функція визначена в деякій області D на площині хОу, причому кожна зі змінних ж, у свою чергу, є функцією аргументу t: Припускатимемо, що при зміні t в інтервалі (відповідні точки (ж, у) не виходять за межі області D. Якщо підставити значення в функцію z = / (ж, у), то отримаємо складну функцію однієї змінної t. M Дамо t приріст Дt.Тоді x і у отримають деякі прирощення Ах і Ду. В результаті цього при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функція z також отримає деяке прирощення Дг, яке в силу диференційованості функції z = /(ж , у) у точці (х, у) може бути представлене у вигляді де а) прагнуть нуля при прагненні нуля Ах і Ду. Довизначимо а і /3 при Ах = Ау = 0, поклавши а Тоді а (будуть безперервні при Дж = Ду = 0. Розглянемо відношення Маємо У кожному доданку ^ в Правій частині (2) обидва співмножники мають межі при дійсно, приватні похідні і ^ для даної є постійними, за умовою існують межі з існування похідних ^ і в точці £ слід безперервність у цій точці функцій х = y(t) і у = тому при At 0 прагнуть нуля і Дж і Ду, що в свою чергу тягне за Таким чином, права частина рівності (2) при 0 має межу, рівну Значить, існує при At 0 і межа лівої частини (2), т. е. існує рівний Переходячи в рівності (2) до межі при At -» 0, отримуємо необхідну формулу У окремому випадку, коли, отже, z є складною функцією від ж, отримуємо У формулі (5) є приватна похідна фунадііг = /(ж , у) по ж, при обчисленні якої у вираженні / (ж, у) аргумент у приймається за постійну. А є повна похідна функції z за незалежною змінною ж, при обчисленні якої у у виразі /(ж, у) вже не приймається за постійну, а вважається у свою чергу функцією від ж: у = tp(x)t і тому залежність z від ж враховується повністю. приклад. Знайти і jg, якщо 2. Розглянемо тепер диференціювання складної функції кількох змінних. Нехай де у свою чергу так припустимо, що в точці (() існують безперервні приватні похідні щ, 3?» а у відповідній точці (ж,у), де Функція /(ж, у) диференційована. Покажемо, що за цих умов складна функція z = z(() у) у точці t7) має похідні і щ, і знайдемо вирази для цих похідних. Зауважимо, що це випадок від вивченого істотно не відрізняється. Дійсно, при диференціюванні z по £ друга незалежна змінна rj приймається за постійну, внаслідок чого ж і у при цій операції стають функціями однієї змінної ж" = с), у = с) і питання про похідну Ц вирішується так само, як питання про Похідною при виведенні формули (3) Використовуючи формулу (3) і формально замінюючи в ній похідні § і ^ на похідні щ і відповідно, отримаємо Аналогічно знаходимо Приклад. Якщо складна функція « Задана формулами так що то при виконанні відповідних умов маємо У окремому випадку, коли І = де Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції декількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференційності функцій декількох змінних Повний диференціал Похідні складної функції маємо тут т-повна. приватна похідна функції і по незалежній змінній х, що враховує повну залежність і від х, в тому числі і через z = z (x, y), a ^ -приватна произвpдная.
1°. Випадок однієї незалежної змінної. Якщо z=f(x,y) є функція, що диференціюється, аргументів х і у, які в свою чергу є диференційованими функціями незалежної змінної t: , то похідна складної функції 
може бути обчислена за формулою
приклад. Знайти, якщо, де.
Рішення. За формулою (1) маємо:
Приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо 
.
Рішення. .
На підставі формули (2) отримуємо 
.
2°. Випадок кількох незалежних змінних.
Нехай z =f (x;y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х =x (t), у =y (t).У цьому випадку функція z =f (x (t);y (t))є складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.
Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у)Dфункція та х =x (t)і у =y (t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,то похідна складної функції z (t) == f(x (t);y (t))обчислюється за формулою
|
|
Окремий випадок:z = f (x; у),де у = у(х),тобто. z = f (x;y (x)) -складна функція однієї незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:
.
Остання формула зветься формули повної похідної
Загальний випадок:z = f (x;y),де х =x (u;v),y =y (u;v).Тоді z = f (x (u;v);y (u;v)) -складна функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (3) наступним чином. Зафіксувавши v,замінюємо в ній , відповідними приватними похідними
Таким чином, похідна складної функції (z ) по кожній незалежній змінній (іі v)дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжними змінними (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).
У всіх розглянутих випадках справедлива формула
(Властивість інваріантності повного диференціалу).
приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv,.
Рішення. Застосовуючи формули (4) та (5), отримаємо:
приклад. Показати, що функція задовольняє рівняння 
.
Рішення. Функція залежить від х і у через проміжний аргумент, тому
Підставивши приватні похідні до лівої частини рівняння, матимемо:
Т. е. Функція z задовольняє даному рівнянню.
Похідна в даному напрямку та градієнт функції
1°. Похідна функції у цьому напрямку. Похіднийфункції z= f(x, y) у цьому напрямкуназивається 
де і - значення функції в точках і . Якщо функція z диференційована, справедлива формула
де - кути між напрямком lта відповідними координатними осями. Похідна у цьому напрямі характеризує швидкість зміни функції у цьому напрямі.
приклад. Знайти похідну функції z = 2х 2 - Зу 2 у точці P (1; 0) у напрямку, що становить з віссю ОХ кут 120°.
Рішення. Знайдемо приватні похідні цієї функції та його значення у точці P .
приклад. Знайти, якщо, де.
Рішення. За формулою (1) маємо:
приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо 
.
Рішення. .
На підставі формули (2) отримуємо 
.
2°. Випадок кількох незалежних змінних.
Нехай z = f(x; y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією
незалежної змінної t: x = x(t), у = y(t).У цьому випадку функція z = f (x (t); y (t))є
складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.
Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у) Dфункція
і х = x(t)і у =y(t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,
то похідна складної функції z(t) == f(x(t); y(t))обчислюється за формулою
 | (3) |
Окремий випадок: z = f(x; у),де у = у(х),тобто. z = f(x; y(x)) -складна функція однієї
незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної
tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:
.
Остання формула зветься формули повної похідної
Загальний випадок: = f(x;y),де х = x(u;v), y=y(u;v).Тоді z = f(x(u;v); y(u;v)) -складна
функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні і можна знайти,
використовуючи формулу (3) в такий спосіб. Зафіксувавши v,замінюємо в ній,
відповідними приватними похідними
Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежній змінній (іі v)
дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжним
змінним (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).
У всіх розглянутих випадках справедлива формула
(Властивість інваріантності повного диференціалу).
приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv, .
Приватні похідні застосовуються у завданнях із функціями кількох змінних. Правила знаходження точно такі ж як і для функцій однієї змінної, з різницею лише в тому, що одну із змінних слід вважати в момент диференціювання константою (постійним числом).
Формула
Приватні похідні для функції двох змінних $ z (x, y) $ записуються в наступному вигляді $ z "_x, z"_ y $ і знаходяться за формулами:
Приватні похідні першого порядку
$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$
$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$
Приватні похідні другого порядку
$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$
Змішана похідна
$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$
Приватна похідна складної функції
а) Нехай $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, тоді похідна складної функції визначається за формулою:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
б) Нехай $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тоді приватні похідні функції перебувають за формулою:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$
Приватні похідні неявно заданої функції
а) Нехай $ F(x,y(x)) = 0 $, тоді $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
б) Нехай $ F (x, y, z) = 0 $, тоді $ $ z "_x = - \ frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$
Приклади рішень
| Приклад 1 |
| Знайти приватні похідні першого порядку $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ |
| Рішення |
|
Для знаходження приватної похідної по $ x $ будемо вважати $ y $ постійною величиною (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для знаходження приватної похідної функції по $ y $ визначимо $ y $ константою: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| Приклад 2 |
| Знайти приватні похідні функції другого порядку $ z = e ^ (xy) $ |
| Рішення |
|
Спочатку потрібно знайти перший похідні, а потім знаючи їх можна знайти похідні другого порядку. Вважаємо $ y $ константою: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Покладемо тепер $ x $ постійною величиною: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Знаючи перші похідні, аналогічно знаходимо другі. Встановлюємо $ y $ постійною: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задаємо $ x $ постійної: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Тепер лишилося знайти змішану похідну. Можна продиференціювати $ z"_x $ по $ y $, а можна $ z"_y $ по $ x $, так як за теоремою $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| Відповідь |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| Приклад 4 |
| Нехай $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ ставить неявну функцію $ F (x, y, z) = 0 $. Знайти приватні похідні першого порядку. |
| Рішення |
|
Записуємо функцію у форматі: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ і знаходимо похідні: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| Відповідь |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
