Силата на интеграцията е методът за заместване на промяната. Тази формула се нарича формула за заместване на промяната в пеещия интеграл. Алгоритъм за метода на замяна на промяна

2. Промяна на промяната (метод на заместване)

Същността на метода на заместване е, че резултатите от въвеждането в експлоатация на нови задачи за подмяна сгъванеинтегралът се извежда до табличен или такъв, като се приема изчислението на някакъв вид информация.

Нека е необходимо да се изчисли интегралът. Използвайте две правила за заместване:

Правила на Zagalnogo за добавяне на функции
не знам, но има някои видове пинтегрални функции, за които има препоръки как да се избират функции
.

Подмяната на промените може да се извърши няколко пъти, докинговете няма да бъдат отнети от резултата.

пример 1. Познайте интегралите:

но)
; б)
; в)
;

ж)
; д)
; д)
.

Решение.

а) Сред табличните интеграли няма как да се отмъсти на радикалите на различни стъпки, че „искам да се изгубя“, първо за всичко, в
і
. За когото е необходимо да се замени хтакъв вираз, от който лесно могат да се извлекат обиди към корените:

b) Типичен приклад, ако повредата е причинена от функцията за показване
. Но в тази ситуация е по-добре нова промяна да вземе всички вирази, които стои на знамето на фракцията:

;

в) Забележка, че броячът на числата има tvir
, който е част от диференциала на основната вираза, ние заместваме всички вирази на новата промяна:

;

г) Тук, като и u vipadku а), искам да се отърва от радикала. Ale oskіlki, от гледна точка на точка а), има само един корен, тогава ще го заменя с нов:

д) Тук, ако решите, сменете двете мебели: от едната страна логаритмите се премахват интуитивно, от другата страна, видимостта на ума , което е диференциалната функция
. Но точно така в предните дупета е по-добре да включите алтернативния логаритъм на константата:

д) Тук, както в предния приклад, интуитивно bazhanya ще усети обемния дисплей в pіdіntegralіy функция uzgodzhuєєzvіdomim факт:
(Формула 8 от Таблица 3). Ето защо:

Замяна на промените за определени класове функции

Нека да разгледаме някои класове функции, които могат да бъдат препоръчани като замествания.

Таблица 4Рационални функции

Гледайки интеграла	Метод на интеграция
1.1.
1.2.
1.3.	Виждайки целия квадрат:
1.4.	Повтаряща се формула

Трансцендентни функции:

1.5.
- Заместване т = д х ;

1.6.
- Заместване т= дневник а х.

дупе 2.Познайте интегралите на рационалните функции:

но)
; б)
;

в)
; д)
.

Решение.

а) Този интеграл не е необходимо да се изчислява за допълнителна замяна на промените, тук е по-лесно да спечелите въвеждането на знака на диференциала:

б) По същия начин, победното въвеждане на знака на диференциала:

;

в) Пред нас е интеграл от тип 1.3 в таблица 4, ускорен от следните препоръки:

д) Подобно на предното дупе:

Пример 3.Познайте интегралите

но)
; б)
.

Решение.

b) Pіdіntegrаlny vіraz mіst е логаритъм, това е препоръката 1.6. Само по някакъв начин е по-добре да се замени не само функция
, и всички suroot viraz:

Таблица 6 Тригонометрични функции (Р

Гледайки интеграла	Метод на интеграция
3.1.	Универсална замяна , , ,
3.1.1. , като	Заместване
3.1.2. , като	Заместване .
3.1.3. . , като (тоест има по-малко от две стъпки на функциите )	Заместване
3.2.	Yakscho - несдвоен, след това div. 3.1.1; yakscho - несдвоен, след това div. 3.1.2; yakscho - пич, див. 3.1.3; yakscho - момчета, след това победете формулите на долната стъпка ,
3.3. , ,	Използване на формули

Пример 4.Познайте интегралите:

но)
; б)
; в)
; д)
.

Решение.

а) Ето интегрируема тригонометрична функция. Можем да направим универсална замяна (Таблица 6, 3.1):

б) Ето и универсална замяна:

Заслужава да се отбележи, че при разглеждания интеграл, замяната на промяната се случи да засосуват две.

в) Изчислете по подобен начин:

д) Нека разгледаме два начина за изчисляване на този интеграл.

Подобно на Bachimo, те отнеха различни функции-оригинали. Це не означава, че един от победоносните методи дава неправилен резултат. Отдясно, във факта, че победи в тригонометричните тотонизми, които свързват тангенса на половин разрез с тригонометричните функции на пълен разрез, може би

В този ранг първите известни бягат един по един.

Пример 5.Познайте интегралите:

но)
; б)
; в)
; ж)
.

Решение.

а) С този интеграл също е възможно да се фиксира универсалното заместване
, но косинусовата скала, която е включена в пиинтегралната функция - сдвоен свят, тогава е по-рационално да се използва препоръката в параграф 3.1.3 от таблица 6:

b) Връщане на всички тригонометрични функции, които идват до интегралната функция на сумата от до един аргумент:

В пропуснатия интеграл е възможно да се добави универсално заместване, но ние уважаваме, че функцията на интегралната функция не променя знака при промяна на символите на синус и косинус:

Също така, функцията на повече правомощия, изброена в точка 3.1.3 от Таблица 6, ще бъде най-удобната замяна
. Maemo:

в) Ако промените знака на косинуса в дадената интегрална функция, тогава цялата функция променя символа:

Също така, pіdіntegrаlna funktsіy maі vіvstіvіst, описана в параграф 3.1.2. Otzhe, рационално ускорете обосновката
. Ale, ако, както в предния дупе, можем да трансформираме интегралната функция:

d) Ако си спомняте знака на синуса в дадената функция на интеграла, тогава цялата функция помни знака, също така, може би, описанията в клауза 3.1.1 от Таблица 6, така че трябва да присвоите нова функция
. Но фрагментите в интегранта не се страхуват от проявлението на функцията
, nі її диференциал, реверсивен напред:

Пример 6.Познайте интегралите:

но)
; б)
;

в)
ж)
.

Решение.

a) Този интеграл се довежда до интеграла във формата 3.2 от Таблица 6. Ако синусът не е в несдвоен свят, следвайте препоръките, ръчно заменете функцията
. Нека се обърнем към функцията интегрант:

б) Този интеграл може да се доведе до същия тип като предишния, но тук функциите
і
момчетата от стъпката може да си помислят, за това е необходимо да попълните формулите на долната стъпка:
,
. Ние взимаме:

в) Нека пренаредим функцията:

г) Въз основа на препоръки 3.1.3 от Таблица 6, в този интеграл ръчно добавете промяна
. Ние взимаме:

Таблица 5Ирационални функции (Р- Рационална функция на техните аргументи)

Гледайки интеграла	Метод на интеграция
	Заместване , де к – спящо знаме от кадри …, .
	Заместване , де к-Spilny знаме на кадри …,
2.3.	Заместване, , де к- пламтящо знаме на изстрели-показники …,
2.4.	Заместване .
2.5.	Заместване ,
2.6.	Заместване , .
2.7.	Заместване , .
2.8. (диференциален бином), той е по-малко интегриран по три начина: но) Р- cile (замяна х = т к, де к- огнен знаме от изстрели ті П); б) - цяла (замяна = т к, де к- Изстрел на банер Р); в) - цяла (замяна = т к, де к- Изстрел на банер Р).

Пример 7.Познайте интегралите:

но)
; б)
; в)
.

Решение.

а) Този интеграл може да се пренесе до интеграла във формата 2.1, така че се нуждаем от валидно заместване. Да гадаем, заменим усещането в този начин на мислене, за да се отървем от ирационалността. А това означава, че трябва да замените следващия подкорен с такава стъпка на нова промяна, така че да бъдат спечелени всички реални под интеграла на корена. Това е очевидно за нашия ум :

Под интеграла на Вийшов е неправилна рационална разлика. Интегрирането на такива дроби ни прехвърля към визията на цялата част. За това разделяме номера на банер:

Тоди е приемлив
, звезди

Изчислете задачи

не се тревожи. Един от най-ефективните методи

є метод за заместване на chi замести промяна интеграция.

Същността на този метод се крие във факта, че пътят на въвеждане на нова промяна на интеграцията ви позволява да създавате задачи за интеграла

нов интеграл, който може да се вземе без средно интегриране.

Нека да разгледаме метода:

Хайде - непрекъсната функция

трябва да знам: (1)

Ще променя променящата се интеграция:

de φ (t) е монотонна функция

това е действителната сгъваема функция f(φ(t)).

Zastosuvshi до F (х) = F (φ (t)) формулата за диференциация сгъване

необходими функции:

﴾F(φ(t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′(t)

Ale F′(x) = f(x) = f(φ(t)), тогава

﴾F(φ(t))﴿′ = f(φ(t)) ∙ φ′(t) (3)

Така функцията F(φ(t)) е основната за функцията

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), тогава:

∫ f(φ(t)) ∙ φ′(t) dt = F(φ(t)) + C (4)

Променяйки, че F(φ(t)﴿ = F(x), от (1) и (4) следва формулата за заместване

промяна за неопределения интеграл:

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ′(t)dt (5)

Формално формула (5) излиза чрез замяна на x с φ(t) и dx с φ′(t)dt

За кратко време след интегрирането след формула (5) резултатът е следният

върнете се, за да промените x. Tse zavzhd е възможно, за това за

позиция, функцията x = φ (t) е монотонна.

В далечината звучи изборът на заместване, представящ работата на

Новини. За их podannya е необходимо да се отвори техниката на подстригване

много добре познати таблични интеграли.

Ale, все пак можете да настроите редица скандални правила и други трикове

интеграция.

Правила за интегриране чрез метод на заместване:

1. Решете кой табличен интеграл да индуцира дадения интеграл (след пренареждане на интегралната вираза, ако е необходимо).

2. Сигнификат, като част от интегралната функция до замяна

нова промяна, тя записва промяната.

3. Познайте диференциалите на двете части на записа и обърнете диференциала

cial old zminnoy (или viraz, за какво да отмъстя за този диференциал

наем) чрез диференциала на новата промяна.

4. Viroblyayu замени pіd іntegralom.

5. Познайте изваждането на интеграла.

6. В резултат на това преминете към старата промяна.

Приложете решението, като интегрирате по начина на заместване:

1. Знайте: ∫ x²(3+2x) dx

Решение:

можем да добавим заместването 3+2х = t

Знаем диференциала на двете части на заместването:

6x dx = dt, звезди

баща:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Заменяйки t с йога вираз от заместването, вземаме:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Решение:

= ∫ = e = e + C = e + C

Решение:

Разбиране на пеещия интеграл.

Разликата в стойността за това дали първичната функция се променя при промяна на аргумента се нарича интеграл на функцията в диапазоните от a до b и се присвоява:

a и b се наричат долна и горна граница на интегриране.

За да се изчисли интегралният интеграл, е необходимо:

1. Познайте интеграла на несъответствието

2. Изпратете в otrimaniy viraz zamіst x на гърба на горната граница между интеграцията, а след това долната - a.

3. От първия резултат от замяната вижте друг.

Накратко, правилото е написано под формата на формули, както следва:

Тази формула се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

Основната сила на пеещия интеграл:

1. , de K = const

3. Якшо, значи

4. Как функцията е невидима за окото, де, тогава

При замяна на старата интегрирана интеграция с нова е необходимо да се замени старата интеринтеграция с нова. Броят на новите етапи се определя от избраните подстанции.

Zastosuvannya пеене интегрално.

Площта на криволинейния трапец е заобиколена от крива, цялата абциса и две прави линии ісе изчислява по следната формула:

Обемът на тялото, увит около абсцисната ос на криволинейния трапец, описан от крива, която не променя знака си върху, оста на абсцисата и две прави линии ісе изчислява по следната формула:

С помощта на пеещия интеграл е възможно да се преодолеят дори ниски физически изисквания.

Например:

Колко бързо тялото колабира в права линия, според домашната функция на часа t, пътя S, преминаването на тялото от момента t = t 1 до момента t = t 2 се определя по формулата:

Ако силата се променя от началната функция на пътя S (когато се прехвърля, че силата не се променя директно), тогава роботът A, който се упражнява от силата върху пътя, се определя по формулата:

Приложи:

1. Изчислете площта на фигурата, заобиколена от линии:

y=; у=(х-2)2; 0x.

Решение:

а) Нека разгледаме графиките на функциите: y =; y=(x-2)2

б) Значително числото, чиято площ трябва да се изчисли.

в) Значително между интегрирането, rozv'azuyuchi равен: = (x-2) 2; х = 1;

г) Изчислете площта на дадената фигура:

S = dx + 2 dx = 1 od 2

2. Изчислете площта на фигурата, заобиколена от линии:

Y=x2; x = y2.

Решение:

х 2 =; х 4 = х;

x (x 3 - 1) = 0

х 1 = 0; x2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = od 2

3. Изчислете общия брой на тялото, увито около оста 0x на фигурата, заобиколено от линии: y = ; х = 1.

Решение:

V = π dx = π) 2 dx = π = π │ = π/2 od. 3

Математически контрол на дома
Опции за назначаване.

Вариант номер 1

y = (x + 1) 2; y = 1 - x; 0x

Вариант номер 2