Vrijednost argumenta z pod jakom f(z) pretvara se na nulu zvuka. nulta točka, onda. yakscho f(a) = 0, dakle a - nulta točka.

Def. Točkasta, pjegava a zvuk nulti redn , Kao FKP se može podnijeti na licu mjesta f(z) = , de
analitička funkcija koja
0.

Na koji način je raspored funkcija u Taylorovom nizu (43) prvi n koeficijenti jednaki nuli

= =

itd. Odredite nulti red za
ja (1-cos z) na z = 0

=
=

nula 1 red

1 - cos z =
=

nula 2. reda

Def. Točkasta, pjegava z =
zvuk beskonačno udaljena točkaі nula funkcije f(z), kao f(
) = 0. Ova funkcija je poredana u nizu iza negativnih koraka z : f(z) =
. Yakscho prvi n koeficijenti jednaki nuli, onda dolazimo do nulti red n na beskonačno udaljenim točkama: f(z) = z - n
.

Izolacija posebnih točaka dijeli se na: a) staviti posebne točke; b) pole poredakn; u) točno singularne točke.

Točkasta, pjegava a zvuk usuvaetsya posebna točka funkcije f(z) , čak i ako z
a lim f(z) = h - posljednji broj .

Točkasta, pjegava a zvuk pole poredakn (n 1) funkcije f(z), kao funkcija preokreta
= 1/ f(z) može nulti red n u točki ali. Takva funkcija može se zauvijek dati gledatelju f(z) =
, de
- analitička funkcija
.

Točkasta, pjegava a zvuk točno singularna točka funkcije f(z), čak i ako z
a lim f(z) nije poznato.

Red Laurent

Pogledajmo vipadok regije Kiltse r < | z 0 – a| < R sa središtem u točki a za funkciju f(z). Uvest ćemo dva nova udjela L 1 (r) to L 2 (R) u blizini između kíltsya s mrljicom z 0 između njih. Zrobimo rozryz kíltsya, uz rubove kočića rozryu z'ednaêmo, idite do područja s jednom vezom i u

Cauchyjeva integralna formula (39) uzima dva integrala nad promjenom z

f(z 0) =
+
, (42)

deintegracija ići na suprotnim ravnim linijama.

Za integral preko L 1 vykonuetsya umova | z 0 – a | > | z – a |, a integral preko L 2 umova zvorotna | z 0 – a | < | z – a |. Dakle, množitelj je 1/( z – z 0) staviti u red (a) u integral za L 2 í u redu (b) u integralu L jedan . Kao rezultat, uzimamo izgled f(z) u blizini kíltsevíy oblasti Laurent serija iza pozitivnih i negativnih koraka ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

de A n =
=
;A -n =

Širenje iza pozitivnih koraka (z 0 - a) zvuk ispravan dio Laurent serija (Taylor serija), te raspored iza negativnih koraka zvuka. dio glave pored Laurenta.

Kao usred klade L 1 nema singularnih točaka i funkcija je analitička, tada je (44) prvi integral jednak nuli po Cauchyevom teoremu i samo ispravan dio nedostaje u proširenju funkcije. Negativni koraci u rasporedu (45) nisu više krivi za slom analitičnosti nego unutarnji ulog i služe kao opis funkcije u blizini izolacije posebnih točaka.

Za poticanje serije Laurent (45) f(z) možete izračunati koeficijent raspodjele psovka formula inače, možete postaviti izgled elementarnih funkcija koje možete unijeti prije f(z).

Broj donacija ( n) glavni dio Laurentovog retka koji spada u vrstu određene točke: posebna točka (n = 0) ; točno singularna točka (n
); poln- ti red(n - posljednji broj).

i za f(z) = točka, točka z = 0 usuvna singularna točka, jer nema dijela glave. f(z) = (z -
) = 1 -

b) Za f(z) = točka, točka z = 0 - stup 1. reda

f(z) = (z -
) = -

c) Za f(z) = e 1 / z točka, točka z = 0 - točno singularna točka

f(z) = e 1 / z =

Yakscho f(z) je analitičan na terenu D za vinjetu m izolirane singularne točke to | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , zatim pri proširenju funkcija iza koraka z cijelo je područje podijeljeno na m+ 1 prsten | z i | < | z | < | z i+ 1 | i serija Laurent maê drugačiji izgled za kožni prsten. Prilikom postavljanja iza stepenica ( z – z i ) područje zbízhností nisko Laurent ê kolo | z – z i | < r, de r - Dođite do najbliže posebne točke.

itd. Primjena funkcije f(z) =u Row Laurent iza stepenica zі ( z - 1).

Riješenje. Onemogućite funkciju preglednika f(z) = - z 2 . Vikoristovuêmo formulu za zbroj geometrijske progresije
. Kada | z |< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , onda. rozladannya samo osveta ispravan dio. Prijeđimo na vanjsko područje udjela |z| >1. Funkcija se može predstaviti u pogledu
, de 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Jer , proširenje funkcije iza koraka ( z - 1) može izgledati f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) za sve
1.

itd. Proširite Laurentovu funkciju u niz f(z) =
: a) iza stepenica z kod coli | z| < 1; b) по степеням z prsten 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2). Riješenje. Razložimo funkciju na najjednostavnije razlomke
= =+=
. 3 uma z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

a) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], za | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), u 1< |z| < 3.

iz) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, Na | 2- z| < 1

Cecolo radijus 1 s središte u točki z = 2 .

Za brojna odstupanja, statički niz može se izgraditi do skupa geometrijskih progresija, a zatim je lako odrediti njegovu površinu.

itd. Nastavite zbízhnist red

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Riješenje. Zbroj dviju geometrijskih progresija q 1 = , q 2 = (). Iz umova njihovih života < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

2. Poznate su nam nulte funkcije.

f(x) na x .

Vidcond f(x) na x .

2) x 2>-4x-5;

x2+4x+5>0;

Neka je onda f(x)=h 2 +4h +5

D=-4 Nema nula.

4. Sustavi nepravilnosti. Nepravilnosti i sustav nepravilnosti iz dvije promjene

1) Bezlično rješenje sustava nepravilnosti je ponavljanje multiplikativnog rješenja nepravilnosti koje ulaze prije njega.

2) Neosobna razlika f(x; y) > 0 može se grafički prikazati na koordinatnoj ravnini. Ozvučite liniju kojoj je dano jednako f(x; y) = 0, dijeleći ravninu na 2 dijela, od kojih je jedan razlika između neravnina. Za određivanje, kao dio, potrebno je dostaviti koordinate dovoljne točke M (x0; y0), da ne leži pravac f (x; y) \u003d 0, u neravnini. Ako je f(x0; y0) > 0, tada je rješenje neravnine dio ravnine koja pokriva točku M0. kako f(x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Neosobno rješenje sustava nepravilnosti je ponavljanje multiplikativnog rješenja nepravilnosti koje ulaze prije njega. Ajde, na primjer, dan je sustav nepravilnosti:

.

Za prvu neravninu, bezlično rješenje je kružnica polumjera 2 í sa središtem na klipu koordinata, a za drugu poluravnina, povučena preko ravne linije 2x + 3y = 0. Neosobna odluka sustava da posluži kao promjena u značaju višestrukih, tobto. pivkolo.

4) stražnjica. Razbiti sustav nepravilnosti:

Odluke 1. nejednakosti služiti kao bezličnost, 2. bezličnost (2; 7) i treća - bezličnost.

Peretina zaznachenih umnožava ê jaz (2; 3], koji í ê bezličan rozv'yazkív sustav nepravilnosti.

5. Otklanjanje racionalnih nepravilnosti metodom intervala

Metoda intervala temelji se na naprednoj snazi ​​binarne (x-a): točku x = α podijelite numerički na dva dijela - desnoruku u točki α binarni (x-α)> 0, a lijevo u točki α (x-α)<0.

Neka je potrebno ukloniti neravninu (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, de α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - fiksno brojevi, prosjek nema vršnjaka, štoviše, 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 metodom intervala treba biti sljedećim redoslijedom: stavite brojeve α 1 , α 2 ... n-1 , n na brojčano sve; na sredini, desnoruki, u najvećem od njih, tobto. brojevi? Tada će doći do kombinacije svih praznina, koje imaju znak plus, i neosobne nepravilnosti ruže (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Manifestacija racionalnih nedosljednosti P(x) Q(x) temelji se na naprednoj snazi ​​neprekinute funkcije: ako se neprekinuta funkcija okrene na nulu u točkama x1 i x2 (x1; x2) i između tih točaka nema drugih korijena, tada u intervalima (x1; x2 ) funkcija poprima predznak.

Stoga, za značajnost intervala značaja funkcije y \u003d f (x) na numeričkoj ravnoj crti, mora se dodijeliti točka u kojoj se funkcija f (x) pretvara u nulu ili poznaje razliku. Qi točke prekidaju numeričku ravnu liniju prostora, u sredini kože, osim toga, funkcija f (x) je neprekidna i okreće se na nulu, tj. uzmi znak. Za određivanje predznaka dovoljno je znati predznak funkcije u bilo kojoj točki intervala brojevnog pravca.

2) Za određivanje intervala predznaka racionalne funkcije, tj. Da bi se prevladala racionalna neravnina, naznačena je na numeričkom izravnom korijenu knjige brojeva i korijenu zastave, kao da su korijeni i točke racionalne funkcije.

Otklanjanje nepravilnosti metodom intervala

3. < 20.

Riješenje. Raspon dopuštenih vrijednosti određen je sustavom nepravilnosti:

Za funkciju f(x) = – 20. Znamo f(x):

zvijezde x = 29 i x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3> 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10< 0.

Prijedlog: . Osnovne metode rozv'yazannya racionalnog rivnyan. 1) Najjednostavniji: hodaju putem jednostavnog oprosta - dovedeni su do zastave za spavanje, slični članovi su dovedeni toshcho. Kvadratno poravnanje ax2 + bx + c = 0 je obrnuto za pomoć...

X se mijenja u prom (0.1] i smanjuje se na prom)