Argument qiymati z yak ostida f(z) tovush nolga aylanadi. nol nuqtasi, keyin. yakscho f(a) = 0, keyin a - nol nuqtasi.

Def. Nuqta, lekeli a ovoz nol tartibn , kabi FKP ko'rganda topshirilishi mumkin f(z) = , de
analitik funktsiya
0.

Teylor qatorida (43) funksiyalarning joylashishi birinchi navbatda qanday usulda n koeffitsientlar nolga teng

= =

Va boshqalar. uchun nol tartibini belgilang
i (1-cos z) da z = 0

=
=

nol 1 buyurtma

1 - chunki z =
=

nol 2-tartib

Def. Nuqta, lekeli z =
ovoz cheksiz uzoq nuqtaі nol funktsiyalari f(z), kabi f(
) = 0. Bu funksiya manfiy qadamlar orqasida bir qatorda joylashgan z : f(z) =
. Yakscho birinchi n nolga teng koeffitsientlar, keyin biz kelamiz nol tartib n cheksiz uzoq nuqtalarda: f(z) = z - n
.

Maxsus punktlarni izolyatsiya qilish quyidagilarga bo'linadi: a) maxsus nuqtalarni qo'ying; b) qutb tartibin; ichida) aniq yagona nuqtalar.

Nuqta, lekeli a ovoz usuvaetsya maxsus nuqta funktsiyalari f(z) , xatto .. bo'lganda ham z
a lim f(z) = h - oxirgi raqam .

Nuqta, lekeli a ovoz qutb tartibin (n 1) funktsiyalar f(z), teskari funktsiya sifatida
= 1/ f(z) nol tartib bo'lishi mumkin n nuqtada a. Bunday funktsiya tomoshabinga abadiy berilishi mumkin f(z) =
, de
- analitik funktsiya
.

Nuqta, lekeli a ovoz aniq yagona nuqta funktsiyalari f(z), xatto .. bo'lganda ham z
a lim f(z) ma'lum emas.

Laurent qatori

Keling, Kiltse viloyatining vipadokiga qaraylik r < | z 0 – a| < R nuqtada markaz bilan a funktsiyasi uchun f(z). Biz ikkita yangi qoziqni kiritamiz L 1 (r) bu L 2 (R) dog' bilan kiltsya o'rtasida yaqin z ular orasida 0. Zrobimo rozryz kíltsya, rozryu z'edna'mo payining chetlari bo'ylab, bitta bo'g'inli maydonga o'ting va ichida

Koshi integral formulasi (39) z o'zgarishida ikkita integralni oladi

f(z 0) =
+
, (42)

deintegratsiya qarama-qarshi to'g'ri chiziqlar bo'ylab boradi.

Integral uchun L 1 vykonuetsya umova | z 0 – a | > | z – a |, va integral tugadi L 2 umova zvorotna | z 0 – a | < | z – a |. Shunday qilib, ko'paytiruvchi 1/( z – z 0) qatorga (a) uchun integral qo'ying L 2 í qatorda (b) integralda L bitta. Natijada, biz tartibni olamiz f(z) Kíltsevíy oblastí yaqinida Laurent seriyasi ijobiy va salbiy qadamlar ortida ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 -a) n (43)

de A n =
=
;A -n =

Ijobiy qadamlar orqasida tarqalish (z 0 - a) ovoz to'g'ri qism Laurent seriyasi (Teylor seriyasi) va tovushning salbiy qadamlari ortidagi tartib. bosh qismi Loranning yonida.

Qoziqning o'rtasida bo'lgani kabi L 1da yagona nuqtalar yo'q va funksiya analitik bo'lsa, u holda (44) birinchi integral Koshi teoremasi bo'yicha nolga teng va funktsiyani kengaytirishda faqat to'g'ri qism etishmaydi. Tartibdagi salbiy qadamlar (45) analitiklikning buzilishi uchun ichki qoziqdan ko'ra ko'proq ayblanmaydi va maxsus nuqtalarni izolyatsiyalash yaqinidagi funktsiyaning tavsifi bo'lib xizmat qiladi.

Laurent seriyasini rag'batlantirish uchun (45) f(z) taqsimot koeffitsientini hisoblashingiz mumkin qasamyod qilish formulasi aks holda, siz oldin kiritishingiz mumkin bo'lgan elementar funktsiyalarning tartibini joylashtirishingiz mumkin f(z).

Xayriyalar soni ( n) Laurent qatorining bosh qismi ma'lum bir nuqta turiga to'g'ri keladi: maxsus nuqta (n = 0) ; aniq yagona nuqta (n
); qutbn- buyurtma(n - oxirgi raqam).

va uchun f(z) = nuqta, nuqta z = 0 usuvna yagona nuqta, chunki bosh qismi yo'q. f(z) = (z -
) = 1 -

b) uchun f(z) = nuqta, nuqta z = 0 - 1-tartibli ustun

f(z) = (z -
) = -

c) uchun f(z) = e 1 / z nuqta, nuqta z = 0 - aniq yagona nuqta

f(z) = e 1 / z =

Yakscho f(z) sohada analitik hisoblanadi D vinyetka uchun m ajratilgan yagona nuqtalar bu | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , keyin qadamlar orqasidagi funktsiyalarni kengaytirganda z butun maydon bo'lingan m+ 1 ta uzuk | z i | < | z | < | z i+ 1 | i seriyasi Laurent maê boshqacha ko'rinish teri halqasi uchun. Zinalar orqasiga yotqizilganda ( z – z i ) maydoni zbízhností past Laurent ê kolo | z – z i | < r, de r - Eng yaqin maxsus nuqtaga boring.

Va boshqalar. Funktsiyani tarqatish f(z) =zinapoyalar ortida Row Loranda zі ( z - 1).

Yechim. Tomoshabin funksiyasini o'chiring f(z) = - z 2 . Geometrik progressiya yig'indisi uchun Vikoristovuemo formulasi
. Qachon | z |< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , keyin. rozladannya faqat qasos to'g'ri qismi. Keling, qoziqning tashqi hududiga o'tamiz |z| >1. Funktsiya ko'rinishda ifodalanishi mumkin
, de 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Chunki , qadamlar orqasidagi funksiyaning kengayishi ( z - 1) ko'rinishi mumkin f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) hamma uchun
1.

Va boshqalar. Laurent funksiyasini qatorga kengaytiring f(z) =
: a) zinapoyalar ortida z da coli | z| < 1; b) по степеням z uzuk 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2). Yechim. Funksiyani eng oddiy kasrlarga ajratamiz
= =+=
. 3 aql z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

a) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], | uchun z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), 1 da< |z| < 3.

bilan) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, At | 2- z| < 1

Sekolo radiusi 1 s nuqtada markaz z = 2 .

Bir qator og'ishlar uchun statik qatorni geometrik progressiyalar to'plamiga qadar qurish mumkin, keyin esa ularning maydonini aniqlash oson.

Va boshqalar. Zbízhnist qatorni davom ettiring

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Yechim. Ikki geometrik progressiyaning yig'indisi q 1 = , q 2 = (). Ularning hayotlarining ongidan < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

2. Biz nol funksiyalarni bilamiz.

f(x) x da .

Vidcond f(x) x da .

2) x 2>-4x-5;

x2+4x+5>0;

f(x)=x 2 +4x +5 bo'lsin

D=-4 Nol yo'q.

4. Noqonuniylik tizimlari. Ikki o'zgarishdan tartibsizliklar va tartibsizliklar tizimi

1) tartibsizliklar sistemasining shaxssiz yechimi uning oldiga kiruvchi tartibsizliklarning ko`paytmali yechimining takrorlanishidir.

2) f(x; y) > 0 nomli shaxssiz farqni koordinata tekisligida grafik tasvirlash mumkin. Teng f(x; y) = 0 bo'lgan tekislikni 2 qismga bo'lgan chiziqni tovushlang, ulardan biri notekislik orasidagi farqdir. Bir qism sifatida aniqlash uchun f (x; y) \u003d 0 chizig'ini notekislikda yotqizmaslik uchun etarli darajada M (x0; y0) nuqtasining koordinatalarini taqdim etish kerak. Agar f(x0; y0) > 0 bo'lsa, notekislikning yechimi M0 nuqtani qoplash uchun tekislikning bir qismidir. qanday f(x0; y0)<0, то другая часть плоскости.

3) tartibsizliklar sistemasining shaxssiz yechimi uning oldiga kiruvchi tartibsizliklarning ko‘paytiruvchi yechimining takrorlanishidir. Keling, masalan, qoidabuzarliklar tizimi berilgan:

.

Birinchi notekislik uchun shaxssiz yechim radiusi 2 í bo'lgan aylana bo'lib, markazi koordinatalar kobida, ikkinchisi uchun esa 2x + 3y = 0 to'g'ri chiziq bo'ylab chizilgan yarim tekislikdir. Tizimning shaxssiz qarori ko'paytmalarning ahamiyatini o'zgartirish bo'lib xizmat qiladi, tobto. pivkolo.

4) dumba. Noqonuniylik tizimini buzing:

1-notekislikning qarorlari shaxssizlik, 2-shaxssizlik (2; 7) va uchinchisi - shaxssizlik bo'lib xizmat qiladi.

Peretina zaznachenih ê bo'shliqni (2; 3] ko'paytiradi, bu íê nomubuzarliklar tizimi shaxssiz rozv'yazkív.

5. Ratsional tartibsizliklarni intervallar usuli bilan bartaraf etish

Intervallar usuli ikkilik (x-a) ning oldinga siljish kuchiga asoslanadi: x = a nuqta son jihatdan ikki qismga bo'linadi - o'ng qo'l a nuqtada ikkilik (x-a)> 0 va nuqtada chap qo'l. a (x-a)<0.

Tengsizlikni bartaraf qilish kerak bo'lsin (x-a 1)(x-a 2)...(x-a n)>0, de a 1 , a 2 ...a n-1 , a n - o'zgarmas. raqamlar, o'rtacha tengdoshlar yo'q, bundan tashqari, 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 intervallar usuli bo'yicha quyidagi tartibda bo'lishi kerak: a 1 , a 2 ... n-1 , n raqamlarini hamma narsaga qo'ying; o‘rtada, o‘ng qo‘l, eng kattasida tobto. raqamlar? Keyin ortiqcha belgiga ega bo'lgan barcha bo'shliqlar va shaxssiz atirgul tartibsizliklarining kombinatsiyasi bo'ladi (x-a 1 )(x-a 2)...(x‑a n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Ratsional nomuvofiqliklarning namoyon bo'lishi P(x) Q(x) uzluksiz funksiyaning ilgarilash kuchiga asoslanadi: agar uzluksiz funksiya x1 va x2 (x1; x2) nuqtalarda nolga aylansa va bu nuqtalar orasida boshqa ildizlar bo‘lmasa, u holda intervalli (x1; x2 ) funksiya o'z belgisini oladi.

Shuning uchun, y \u003d f (x) funktsiyasining raqamli to'g'ri chiziqdagi ahamiyati oralig'ining ahamiyati uchun f (x) funktsiyasi nolga aylanadigan yoki farqni biladigan nuqta tayinlanishi kerak. Qi nuqtalari bo'shliqning raqamli to'g'ri chizig'ini buzadi, terining o'rtasida, qo'shimcha ravishda, f (x) funktsiyasi uzluksiz va nolga aylanadi, ya'ni. belgini oling. Belgini aniqlash uchun son qatori oraliqning istalgan nuqtasidagi funksiyaning ishorasini bilish kifoya.

2) Ratsional funktsiyaning belgi oraliqlarini belgilash uchun, ya'ni. Ratsional notekislikni bartaraf qilish uchun u raqamlar kitobining raqamli to'g'ridan-to'g'ri ildizida va bannerning ildizida, xuddi ratsional funktsiyaning ildizlari va nuqtalari kabi ko'rsatilgan.

Intervallar usuli bilan tartibsizliklarni bartaraf etish

3. < 20.

Yechim. Ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni qoidabuzarliklar tizimi bilan belgilanadi:

f(x) = funktsiyasi uchun – 20. Biz f(x) ni bilamiz:

yulduzlar x = 29 va x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3> 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10< 0.

Taklif: . Rozv'yazannya ratsional rivnyanning asosiy usullari. 1) Eng oddiylari: ular oddiy kechirim yo'lidan yurishadi - ular uxlab yotgan bayroqqa olib kelishadi, o'xshash a'zolar toshcho'l keltiriladi. Kvadrat tekislash ax2 + bx + c = 0 yordam uchun teskari ...

X baloga almashtiriladi (0,1] va bitiruvga kamayadi)