Vidpovid: diverge uchun qator.
№3 dumba
$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ qator yig‘indisini toping.
Yig'inishning pastki chegarasining parchalari 1 ga teng, sumi belgisi ostidagi yozuvlar qatorining asosiy a'zosi: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. n-chi xususiy summani saqlash kam, tobto. berilgan raqamli qatorning go'yoki birinchi $n$ a'zolari:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9cdot 11)+ldots+frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Nima uchun $\frac(2)(15)$ emas, balki o'zim $\frac(2)(3\cdot 5)$ yozishim uzoqdan ma'lum bo'ladi. Xususiy summani Prote rekord ní emas, balki bizni nuqtaga yaqinlashtirdi. Agar biz $\lim_(n\to\infty)S_n$ bilishimiz kerak bo'lsa ham, aks holda biz shunchaki yozishimiz mumkin:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\chap(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\oʻng), $$
u holda bu yozuv, mutlaqo to'g'ri, bizga hech narsa bermaydi. Chegarani bilish uchun Schob, xususiy sumi viraz, oldindan so'rash kerak.
Ushbu standart o'zgartirish uchun $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ kasr ishlatiladi, chunki u qatorning asosiy a'zosini, elementar kasrlarni ifodalaydi. Boshlang'ich bo'yicha ratsional kasrlarning oziq-ovqat taqsimoti mavzuga bag'ishlangan (div., masalan, boshqa tomondan 3-sonli dumba). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ni elementar kasrlarga kengaytirish, matematika:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Olingan tenglikning chap va o'ng qismlaridagi kasr sonlarini solishtiramiz:
$$ 2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1). $$
$A$ va $B$ê qiymatini ikki yo'l bilan bilish. Siz kamonlarni ochib, dodankilarni qayta guruhlashingiz mumkin yoki tegishli qiymatlar uchun $n$ almashtirishni qo'yishingiz mumkin. Shunday qilib, har bir dumbaning ko'p qirrali bo'lishi uchun biz birinchi yo'ldan foydalanamiz va keyingisiga $ n $ ning shaxsiy qiymatini taqdim etamiz. Arklarni ochish va dodankilarni qayta guruhlash, bu kerak:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B; 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Tenglikning chap qismi $n$ dan oldin nolga ega. Har doimgidek, aniqlik uchun muvozanatning oxirgi qismi $0\cdot n+ 2$ sifatida mumkin. Tenglikning chap qismi $n$ oldida nolga, tenglikning o'ng qismi esa $n$ oldida $2A+2B$ga ega bo'lgani uchun, ehtimol birinchi teng: $2A+2B=0$. Yana bir bor, biz bu teng huquqbuzar qismini 2 ga bo'lamiz, $A+B=0$ ayiriladi.
Teng sonli tenglikning chap qismining qismlari 2 ga teng, teng uzunlikdagi teng a'zoning tengligining o'ng qismi $3A+B$, keyin $3A+B=2$ bo'ladi. Otzhe, ma'mo tizimi:
$$ \chap\(\boshlash(tegirilgan) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(tegizilgan)\oʻng. $$
Isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi. Birinchi trikotajda uni teskari qilish kerak va nihoyat $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ tengligini $n=1$ga keltirish kerak. Biz $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ ekanligini bilamiz, lekin biz $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ga $\ qiymatini berishni xohlaymiz. frac(2 ) (15) $, yangi $ n = 1 $ qanday kiritiladi? Qayta ko'rib chiqildi:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-frac(1)(5)=frac(5-3)(15)=frac(2)(15). $$
Shuningdek, $n=1$ uchun $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ teng. Kim uchun matematik induksiya usuliga birinchi qadam tugallangan.
$n=k$ tengligining vikonano ekanligi qabul qilinadi, ya'ni. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Aytaylik, bu tenglik $n=k+1$ uchun yutib olinadi. Qaysi uchun $S_(k+1)$ hisoblanishi mumkin:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, keyin $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 ) -\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Ko'rinib turibdiki, $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ezilish nuqtasiga qadar cho'zilgan, shuning uchun formula $S_(k+1)=S_k+u_ (k+1)$ ko'rinadi:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(3)-frac(1)(2(k+1)+3). $$
Visnovok: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formulasi $n=k+1$ uchun toʻgʻri. Shuningdek, matematik induksiya usulidan foydalanib, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formulasi N$dagi har qanday $n\ uchun to'g'ri bo'ladi. Kapital keltirildi.
Oliy matematikaning standart kursida kundalik dalillarga bog'liq bo'lmagan tez orada qo'shimchalarning "yarashishi" bilan kifoyalanadi. Keyinchalik, biz n-í xususiy sumi uchun virazni olib tashladik: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Biz $\lim_(n\to\infty)S_n$ qiymatini bilamiz:
Visnovok: vazifalar soni i yig'indisi $S=\frac(1)(3)$ birlashadi.
Xususiy summa uchun formulani soddalashtirishning yana bir usuli.
Rostini aytsam, men o'zim ham farqni xuddi shunday ko'rmoqdaman :) Keling, shaxsiy summani qisqacha yozamiz:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Biz avvalroq $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ni oldik:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\chap (\ frac (1) (2k + 1) - \ frac (1) (2k + 3) \ o'ng). $$
Dodankívning kilkíst kilkíst uchun qasos olish uchun $S_n$ summasi, shuning uchun biz ularni vasvasaga soladigan tarzda qayta tartibga solishimiz mumkin. Men boshning orqa tomonidagi $\frac(1)(2k+1)$ kabi barcha qo'shimchalarni katlamoqchiman va keyin $\frac(1)(2k+3)$ kabi qo'shimchaga o'tmoqchiman. Tse xususiy summani quyidagicha ifodalash mumkinligini anglatadi:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\o‘ng). $$
Shubhasiz, ochiq yozuv qulay emas, shuning uchun ko'proq tenglikni yanada ixcham tarzda taqdim etish mumkin:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\chap(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\o'ng)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Endi biz $\frac(1)(2k+1)$ va $\frac(1)(2k+3)$ ni bir xil shaklga aylantira olamiz. Men vvazhim zruchny katta kasr ko'z oldiga olib (agar iloji bo'lsa va kamroq, o'ngda lazzatlanish tse). Shards $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (banner qanchalik katta bo'lsa, drib kichikroq bo'ladi), keyin biz $\frac(1)(2k+3) ni maqsad qilib qo'yamiz. ) $ $\frac(1)(2k+1)$ga oʻxshaydi.
Viraz $\frac(1)(2k+3)$ kasr bayrog'ida men uni shu tarzda taqdim etaman:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ yig'indisini endi quyidagicha yozish mumkin:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) qanchalik teng ) $ ovqatga chaqirmang, keyin ketamiz. Oziq-ovqat kabi, men sizdan eslatmani yoyishingizni so'rayman.
O'zgartirilgan sumkani qanday qilib olib ketdik? ko'rsatish / yashirish
Bizda $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2() qatori bor. k+1)+1)$. $k+1$ ni o'zgartiramiz va yangi o'zgartirish kiritamiz, masalan $t$. Shuningdek, $ t = k + 1 $.
Eski $k$ o'zgarishi qanday o'zgargan? Va u 1 dan $ n $ ga o'zgardi. Keling, yangi $t$ qanday o'zgarishini bilib olaylik. Agar $k=1$ boʻlsa, $t=1+1=2$. Agar $k=n$ boʻlsa, $t=n+1$. Keyinchalik, viraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ endi $\sum\limits_(t=2)^(n +1) ga aylanadi )\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$
Bizda $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ sum bor. Oziqlanish: lekin chi hammasi bir xil emas, mening summamdagi xatni qanday qilib urish mumkin? :) $t$ o'rniga $k$ harfini yozib, oldinga qadam tashlang:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1). $$
Qaytish $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \ frac(1) )(2k+1)$.
Ushbu darajadagi shaxsiy summani shunday ko'rinishdan to'lash mumkin:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$
Sumi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ i $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 ) ni hurmat qiling (2k+1)$ Zrobimo qi bir xil o'rtasida. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ summasidan birinchi elementni "olish" quyidagicha bo'ladi:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ yig'indisidan qolgan elementni "olib", biz quyidagilarni qabul qilishimiz mumkin:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\cheklovlar_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Kelajakda shaxsiy sumi uchun Todi viraz men qarayman:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\o'ng)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Agar siz barcha tushuntirishlarni o'tkazib yuborsangiz, n-í xususiy summasi uchun qisqa formulani hisoblash jarayoni quyidagicha ko'rinishi kerak:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\o'ng)=\\ =\sum\limits_(k) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+frac(1)(2n+3)o'ng)=frac(1)(3)-frac(1)(2n+3). $$
$\frac(1)(2k+3)$ $\frac(1)(2k+1)$ ga o'xshab nima qilganimizni taxmin qiling. Shubhasiz, mumkin va navpaki, tobto. oshkor dríb $\frac(1)(2k+1)$ kabi $\frac(1)(2k+3)$. Xususiy sumi uchun Kíntsevy viraz o'zgarmaydi. tsomu vipadku yilda znakhodzhennya chastkovoí̈ sumi jarayoni Men prihovayu píd primítku.
$S_n$-ni qanday bilish mumkin, boshqa ko'rinish uchun kasrni qanday kamaytirish kerak? ko'rsatish / yashirish
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\chap(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\o'ng) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Shuningdek, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Biz $\lim_(n\to\infty)S_n$ orasida bilamiz:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\chap(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\o'ng)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Vazifalar soni $S=\frac(1)(3)$ yig'indisiga to'g'ri keladi.
Vidpovid: $S=\frac(1)(3)$.
Prodovzhennya o'sha znakhodzhennya sumi qator boshqa va uchinchi qismlarda ko'rib chiqiladi.
Persh nizh mi pochnemo virishuvati arifmetik progressiya uchun topshiriq Keling, sonli ketma-ketlik nima ekanligini ko'rib chiqaylik, arifmetik progressiyaning parchalari - sonli ketma-ketlikda bir xil miqdordagi pasayishlar.
Raqamli ketma-ketlik - tse raqamli shaxssiz, teri elementi bunday ma' uning tartib raqami. Ko'paytmaning elementlari ketma-ketlik a'zolari deb ataladi. Tartib elementining tartib raqami indeks bilan ko'rsatiladi:
Ketma-ketlikning birinchi elementi;
Ketma-ketlikning beshinchi elementi;
- ketma-ketlikning "enniy" elementi, tobto. element, n raqami ostida "tik turgan chergi".
Tartib elementining qiymatlari va ikkinchi tartib raqami o'rtasida asosiy xatolik mavjud. Shuningdek, siz ketma-ketlikni funksiya sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning argumenti ketma-ketlik elementining tartib raqamidir. Shunday qilib, buni aytishingiz mumkin ketma-ketlik - tabiiy argumentning butun funktsiyasi:
Tartibni uchta usulda o'rnatish mumkin:
1 . Tartibni qo'shimcha stol orqasiga qo'yish mumkin. Va bu erda biz oddiygina ketma-ketlikning teri atamasining ma'nosini o'rnatamiz.
Misol uchun, Htos viríshiv maxsus vaqtni boshqarish bilan shug'ullanadi va kunning boshi uchun VKontakte-da ko'proq vaqt o'tkazing. Jadvaldagi soatni yozib, biz etti elementdan tashkil topgan ketma-ketlikni hisobga olamiz:
Jadvalning birinchi qatorida haftaning kunining soni, ikkinchisida - hvilinahdagi soat ko'rsatilgan. Mi bachimo, sho, shuning uchun dushanba kuni VKontakte-da 125 kviling, keyin payshanba kuni - 248 kviling, keyin esa juma kuni jami 15 ta kviling bor edi.
2 . Ketma-ketlikni n-chi a'zoning yordamchi formulasi orqasiga qo'yish mumkin.
Va bu erda th sonning ketma-ketlik elementining qiymati formula kabi o'rtasiz ifodalanadi.
Masalan, yakscho, keyin
Berilgan sondan ketma-ketlik elementining qiymatini bilish uchun elementning soni n-chi a'zoning formulasi bilan ifodalanadi.
Xuddi shu mirobimo, chunki funktsiyaning ma'nosini, shuningdek, argumentning qiymatini bilish kerak. Argument uchun teng funktsiyani almashtiramiz:
Masalan, Yakscho 
, keyin
Yana bir bor hurmat qilamanki, ketma-ketlik etarli sonli funktsiyaga asoslanib, argument sifatida faqat natural songa ega bo'lishi mumkin.
3 . Ketma-ketlik qo'shimcha formuladan so'ng kiritilishi mumkin, bu ketma-ketlik a'zosi qiymatining oldingi a'zolarning qiymatiga ko'ra n raqami bilan ahamiyatini aks ettiradi. Bunday holda, ketma-ketlik a'zosining ma'nosini bilishimiz uchun uning sonini bilish etarli emas. Biz ketma-ketlikning birinchi a'zosini yoki birinchi a'zosini kiritishimiz kerak.
Masalan, ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik 
, 
Biz ketma-ketlik a'zolarining ma'nosini bilishimiz mumkin birma-bir, uchinchidan boshlab:
Shunday qilib, bir marta ketma-ketlikning n-a'zosining ma'nosini bilish uchun biz oldinga ikkitaga aylanamiz. Bu ketma-ketlikni tartibga solish usuli deyiladi takrorlanuvchi lotin so'zining turi takrorlash- Ortga burilmoq.
Endi biz aniq arifmetik progressiyani berishimiz mumkin. Arifmetik progressiya sonli ketma-ketlikda oddiy okremy pasayishdir.
Arifmetik progressiya sonli ketma-ketlik deyiladi, uning teri a'zosi, boshqasidan boshlab, kattaroq, bitta va bir xil son bilan katlanmış.
Raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning farqi. Arifmetik progressiyaning farqi ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.
Shuningdek title="(!LANG:(!LANG:d>0).">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} !} o'sib borayotgan.
Masalan, 2; beshta; 8; o'n bir;...
Yakshcho, keyin arifmetik progressiyaning teri a'zosi oldingi uchun kichikroq, progressiya esa pasayish.
Masalan, 2; - bitta; -4; -7;...
Yaxcho, u holda progressiyaning barcha a'zolari bir xil songa teng, progressiya esa statsionar.
Masalan, 2;2;2;2;...
Arifmetik progressiyaning asosiy kuchi:
Keling, rasmni ko'rib chiqaylik.
Mi bachimo, sho
, xuddi shu soatda
Ikki tenglikni aniqlab, biz olib tashlaymiz:
.
Keling, hasadning tajovuzkor qismlarini 2 ga ajratamiz:
Otzhe, arifmetik progressiyaning teri a'zosi, boshqasidan boshlab, ikki o'z joniga qasd qilishning arifmetik o'rtacha qiymatini dovnyu:
Bundan tashqari, parchalar
, xuddi shu soatda
, keyin
, men, keyinroq,
Sarlavha="(!LANG:(!LANG:k>l) dan boshlab arifmetik progressiyaning teri termini">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}!}
a'zo formulasi.
Mening Bachimo, arifmetik progressiya a'zolari uchun quyidagi konnotatsiyalar qo'llaniladi:
va masalan,
Mi otrimali n-sonning formulasi.
MUHIM! Arifmetik progressiyaning istalgan a'zosi i orqali ifodalanishi mumkinmi. Birinchi hadni va arifmetik progressiyaning farqini bilgan holda, siz híh atamasini bilishingiz mumkin.
Arifmetik progressiyaning n ta hadining yig'indisi.
A'zolar yig'indisining ma'lum arifmetik progressiyasida o'zaro teng masofada ekstremal teng:
n ta a'zodan iborat arifmetik progressiyani ko'rib chiqamiz. Progressiyaning n ta a'zosi yig'indisi progressga aylansin.
Keling, sonlarni ko'paytirish tartibida, keyin esa o'zgarish tartibida tartibning progressivligiga o'tamiz:
Biz juft bo'lib yig'amiz:
Teri yoyidagi miqdor yaxshi, juftlar soni yaxshi n.
Biz olamiz:
Otzhe, Arifmetik progressiyaning n ta a’zosining yig‘indisini quyidagi formulalar yordamida bilish mumkin:
Qaramoq arifmetik progressiya masalalarini yechish.
1 . Ketma-ketlik n-chi a'zoning formulasi bilan berilgan: . Menga ketma-ketlik arifmetik progressiya ekanligini bildiring.
Ma'lumki, ketma-ketlikning ikki sudya a'zosi o'rtasidagi farq aynan shu songa teng.
Biz ketma-ketlikning ikki o'z joniga qasd qiluvchi a'zolari o'rtasidagi farqni bir xil sonda va doimiy ravishda saqlash mumkin emasligini olib tashladik. Ozhe, tayinlash uchun, tsya ketma-ket ê arifmetik progressiyaning.
2 . Arifmetik progressiya berilgan -31; -27;
a) Progressiyaning 31 ta hadini toping.
b) 41-sonli keyingi progressiyagacha kirish-qilmaslik haqida qaror qabul qiling.
lekin) Mi bachimo, sho;
Progressiyamizning n-a’zosining formulasini yozamiz.
Yorqin ko'z tuting 
Bizning xohishimizga ko'ra 
bunga 
Arifmetik progressiya yig‘indisi.
Arifmetik progressiya yig'indisi oddiy narsadir. í zmístom uchun, í formula uchun. Ale zavdannya bu mavzuda buvayut usilakí. Víd elementar uchun tsylkom qattiq.
Biz sumkani zimist va sumi formulasi bilan ajratamiz. Va keyin ko'ramiz. Sizning mamnunligingiz uchun.) Sens sumi oddiy, mukannya kabi. Arifmetik progressiya yig'indisini bilish uchun barcha a'zolarni diqqat bilan qo'shish kifoya. Garchi bu atamalar kam bo'lsa-da, ularni odatiy formulalarsiz birlashtirish mumkin. Ale, u boy yoki boy ... Men keskinlikni qo'shyapman.) Negadir, formula to'g'ri.
Sumi formulasi oddiy ko'rinadi:
Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Tse rich nimaga aniqlik kiritish kerak.
S n - arifmetik progressiya yig‘indisi. Qo'shish natijasi hammasi a'zolar, s birinchi yoqilgan dam olish. Tse muhim ahamiyatga ega. o'z-o'zidan katlayın mo'ylov a'zolar pospil, o'tkazib yubormasdan va o'tkazib yubormasdan. Men o'zim tuzataman birinchi. Turi uchun uchinchi va sakkizinchi a'zolarning yig'indisini bilish uchun, lekin beshinchidan yigirmagacha a'zolar yig'indisi to'g'ridan-to'g'ri zastosuvannya formulasi rozcharuê hisoblanadi.)
a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa mantiqiy edi, shunchaki birinchi Bir qatordagi raqam.
a n- STOP progressiyaning a'zosi. Qatorning qolgan qismi. Nomi juda baland emas, lekin, yuz so'mi, bu etarli. O'zingizga sovg'a bering.
n - Qolgan a'zolar soni. Formulalarda qanday raqam borligini tushunish muhimdir zbígaêtsya z kílkístu a'zolari, scho to'ni.
Sezilarli darajada tushunarli qolgani a'zosi a n. Tishlash uchun ovqat: qanday a'zo bo'ladi STOP, qanday beriladi terisiz arifmetik progressiya?)
Vpevnenny vídpovídí síd razumíti elementar arifmetik tuyg'usi uchun... buyruqni o'qish hurmat!)
Arifmetik progressiya yig'indisini qidirish boshida figuraning boshi (to'g'ridan-to'g'ri chi) qolgan a'zo, yaqinlashish usuli sifatida. Inakshe kíntsevoí, o'ziga xos sumi shunchaki bilmayman. Mukammallik uchun hech qanday qiymat yo'q, chunki progressiya o'rnatiladi: kíntsev, yoki skínchenna emas. Emas, balki ma' znachennya, go'yo berilgan: raqamlar tartibi, lekin n-chi a'zosi formula.
Naygolovnishe - formula progressiyaning birinchi a'zosidan raqamga ega bo'lgan a'zoga ishlashini tushunish n. Vlasne, formulaning nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Birinchi a'zolar soni, tobto. n, U faqat topshiriq uchun ko'rsatiladi. Menejerda barcha qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlangan, shuning uchun ... Lekin hech narsa, pastki qismida sirlar oshkor etilmaydi.)
Topshiriqni arifmetik progressiyalar yig‘indisiga qo‘llang.
Nasampered, asosiy ma'lumotlar:
Arifmetik progresslar yig'indisidagi vazifalarning asosiy katlanması formulaning to'g'ri tayinlangan elementlarida.
Boshni yotqizishning elementlari cheksiz fantaziya bilan shifrlangan.) Mana bir smut - qo'rqmang. Elementlarning mohiyatini tushunib, ularni faqat shifrlash. Hisobotga ko'ra, biz ilovalar spratini tahlil qilamiz. Keling, haqiqiy DIA asosida topshiriqdan o'rganamiz.
1. Arifmetik progressiya aqliy tomonidan beriladi: an = 2n-3,5. Dastlabki 10 ta a'zoning yig'indisini toping.
Garne zavdannya. Oson.) Nimani bilishingiz kerak formula uchun bizga sumi tayinlangan? Birinchi a'zo a 1, qolgan a'zo a n, qolgan muddatning bu soni n.
Qolgan a'zoning sonini oling n? Ammo u erda, e'tibor bering! Unda aytiladi: summani biling birinchi 10 a'zo. Xo'sh, qanday raqam bo'ladi dam olish, o'ninchi a'zo?) Ishonmaysiz, yogo soni o'nta!) Ota, deputat a n formulasini kiritamiz a 10, va o'rinbosari n- o'n. Takror aytaman, qolgan a'zolar soni a'zolar soniga qarab belgilanadi.
Ahamiyatini yo'qotgan a 1і a 10. Tse ni n-sonli formuladan ortda qoldirish oson, chunki u vazifaning aqli uchun berilgan. Qanday o'sishni bilmayapsizmi? Keyingi darsga tayyorlaning, usiz - hech qanday tarzda.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10= 2 10 - 3,5 = 16,5
S n = S 10.
Biz arifmetik progressiya yig‘indisi formulasining barcha elementlarining ma’nosini tushuntirdik. Ularni tasavvur qilish, buzish juda ko'p:
Eksa va hamma narsani qiling. Javob: 75.
Batafsil zavdannya s urahuvannyam GIA. Troch buklangan:
2. Arifmetik progressiya (a n) berilgan bo‘lsa, farq 3,7 ga teng; a 1 \u003d 2.3. Birinchi 15 a'zoning yig'indisini biling.
Biz darhol sumi formulasini yozamiz:
Ushbu formula bizga raqam bo'yicha har qanday a'zoning ma'nosini bilish imkonini beradi. Shukaemo oddiy asoslash bilan:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Arifmetik progress yig'indisi uchun formulaning barcha elementlarini taqdim etish va farqni ajratish etarli emas edi:
ID: 423.
Nutqdan oldin xuddi sumi formulasi almashtirilgandek a n n-sonning formulasini tasavvur qiling, biz uni olamiz:
Keling, xuddi shunday taklif qilaylik, arifmetik progressiya hadlari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:
 |
Yak bachimo, bu yerda n-chi a'zo kerak emas a n. Ba'zi vazifalar uchun bu formula mo''jizaviy tarzda ishlaydi, shuning uchun ... Bu formulani yodlab olishingiz mumkin. Va bu erda bo'lgani kabi, bir oz vaqt ajratishingiz mumkin. Aje, sumi formulasini va n-sonning formulasini eslab qolish kerak.)
Endi vazifa qisqa shifrga qarashdir):
3. Uchga karrali barcha musbat ikki xonali sonlarning yig‘indisini toping.
Axi yak! Birinchi a'zo emas, qolganlari ham emas, taraqqiyotlar ham boshlangan emas... Qanday yashash kerak?
Sumi arifmetik progressiyaning barcha elementlarini boshingiz bilan o'ylang va aqlingiz bilan o'ylang. Ikki xonali sonlar nima ekanligini bilamiz. Uchta ikkita raqam qo'shiladi.) Ikki xonali son kabi bo'ladi birinchi? 10, siz o'ylashingiz kerak.) A qoling ikki xonali raqam? 99, to'g'ri tushundingiz! Uning orqasida allaqachon uch raqam bor ...
Uchning karralari... Hm... Bular uchga bo'linadigan sonlar, o'q! O'nni uchga bo'lish mumkin emas, 11ni bo'lish mumkin emas... 12... bo'lish mumkin emas! Shunday qilib, deshcho vimalovuêtsya. Siz aqliy vazifadan keyin qator yozishingiz mumkin:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Ajoyib! Teri a'zosi old tomondan trioga ko'tariladi. Agar a'zoga 2, chi 4 ni bersangiz, deylik, natija, keyin. yangi raqam, uni allaqachon 3 ga oshirish mumkin emas. Sotib olishdan oldin siz arifmetik progressiyaning farqini hisoblashingiz mumkin: d=3. Vaqtingiz yaxshi bo'lsin!)
Shunga qaramay, siz harakatning harakat parametrlarini jasorat bilan yozishingiz mumkin:
Raqam nima bo'ladi n a'zoning qolgan qismi? 99 deb o'ylagan kishi - halokatli kechiradi ... Raqamlar - borish uchun har doim hidlanadi va biz bilan a'zolar - uchtadan sakrab o'tadi. Chi hiddan qochmang.
Bu erda gilosning ikkita usuli bor. Bir yo'l - qo'shimcha amaliyotlar uchun. Siz ketma-ketlikni, raqamlarning butun seriyasini bo'yashingiz va a'zolar sonini olib tashlashingiz mumkin.) Boshqa yo'l - o'ylanganlar uchun. n-sonning formulasini taxmin qilish kerak. Agar formula bizning vazifamizdan oldin bajarilishi kerak bo'lsa, unda biz 99 - taraqqiyotning o'ttizinchi muddati ekanligini hisobga olamiz. Tobto. n = 30.
Arifmetik progressiyalar yig‘indisi formulasini ko‘rib chiqamiz:
Biz hayratda qoldik va xursand bo'ldik.) Biz barcha kerakli rozrahunka sumidan aqlni olib tashladik:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Elementar arifmetika tugadi. Formuladagi muhim raqamlarni almashtiring:
Sana: 1665 yil
Mashhur zavdanning yana bir turi:
4. Arifmetik progressiya berilgan:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yigirmanchi chorakdan o'ttiz chorakgacha a'zolar yig'indisini biling.
Biz sumi formulasidan hayratga tushamiz va ... biz xijolat tortamiz.) Formula, menimcha, summani hurmat qiling birinchi a'zosi. Va tartibda siz summani to'lashingiz kerak yigirmanchidan ... Chi formula emas.
Shubhasiz, siz butun progressiyani qatorga yozib qo'yishingiz va keyin 20 dan 34 gacha bo'lgan segmentlarni qo'shishingiz mumkin. Ale ... bu ahmoqona va uzoq vaqt chiqib ketish, shunday emasmi?)
Yana oqlangan yechim. Rozíb'yomo bizning qatorni ikki qismga bo'ling. Kelajakning birinchi qismi birinchi davrdan to o'n to'qqizinchi muddatgacha. Boshqa qismi - yigirma dan o'ttiz to'rtgacha. Biz birinchi qism a'zolarining yig'indisidan qo'rqayotganimizni angladik S 1-19, shuning uchun u boshqa qismning a'zolari yig'indisidan katlanabilir S 20-34, o'ttiz chorakda birinchi haddan progressiyaning yig'indisini ayiring S 1-34. shunga o'xshash eksa:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Siz summani bilishingizni ko'rishingiz mumkin S 20-34 meni kechira olasizmi
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
o'ng qismi vvazhayutsya yig'indisi xafa birinchi a'zo, tobto. ularning oldida standart sumi formulasi butunlay turg'un. Boshlaymizmi?
Vityaguemo z zavdannya taraqqiyot parametrlari:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Birinchi 19 va birinchi 34 a'zolar yig'indisi uchun bizga 19 va 34 a'zolar kerak bo'ladi. 2-topshiriqdagi kabi n-sonli formuladan keyin muhim í̈x:
a 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28
Hech narsa qoldirmang. 34 a'zo sonida 19 a'zo:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Vidpovid: 262.5
Bitta muhim hurmat! Virishenni tsgogo zavdannya ê dzhe korisna chipi. Zamíst to'g'ridan-to'g'ri rozrahunku nima kerak (S 20-34), mamnun edik berilganlar kerak bo'lmaydi - S 1-19. Va keyin biz tayinladik S 20-34 vydkinuvshi vyd povnogo natija kerak emas. Bunday "voy bilan hiyla" ko'pincha yomon vazifalarda qo'llaniladi.)
Bu yoshda biz vazifalarni ko'rib chiqdik, ularning balandligida arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosiga erishamiz. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.
Amaliy zavq:
Arifmetik taraqqiyot yig'indisi bo'yicha rozv'yazanni be-yakoy zavdannya bo'lsa, men bularning ikkita asosiy formulasini yozishni tavsiya qilaman.
n-sonning formulasi:
Qi formulalari darhol hazil qilish kerakligini, kimdir to'g'ridan-to'g'ri o'ylashi kerak, shunda siz buni qila olasiz. Yordam bering.
Va endi - mustaqil qarash uchun vazifa.
5. Barcha ikki xonali sonlar yig‘indisini, agar uchga bo‘linmasa, biling.
Zo'rmi?) Maslahat 4-topshiriqgacha hurmatliga biriktiriladi.O'sha 3-topshiriq foydaliroq.
6. Arifmetik progressiya aql bilan beriladi: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Dastlabki 24 a'zoning yig'indisini toping.
Ko'rinmasmi?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda darsning boshida o'qishingiz mumkin. So'rovni e'tiborsiz qoldirmang, DPAdagi bunday amaldorlar tez-tez chaqiriladi.
7. Vasya Muqaddasga tiyin yig'di. Tsilih 4550 rubl! I vyrishiv eng sevimli odamlarga (o'zlariga) bir necha kun baxt beradi). Jonli garno, hech narsa haqida o'ylamang. Birinchi kunida vitrativlik 500 rubl, terini bo'yashning keyingi kuni esa 50 rubl ko'proq, old tomondan pastroq! Pennis ta'minoti tugamaguncha. Necha kun baxtingiz bor edi?
U yig'iladiganmi?) 2-topshiriqdan qo'shimcha qo'shimcha formula.
Vídpovídy (tartibsizlik): 7, 3240, 6.
Sizga butun sayt qanday yoqadi...
Gapirishdan oldin siz uchun yana bir nechta veb-saytlarim bor.)
Siz virishenny dumbalarida mashq qilishingiz va riveningizni tanib olishingiz mumkin. Mitteva reverifikatsiyasi bilan sinov. Vchimosya - qiziqish bilan!)
funksiyalar va shunga o'xshashlar haqida bilib olishingiz mumkin.
go'shakni qo'yadi
