З (2.48) отримаємо
(2.49)
З урахуванням того, що функції Уолша дорівнюють ±1, вираз (2.49) запишемо у вигляді
(2.50)
де а п (к) = 0 або 1 визначає знак функції Уолша на інтервалі 
Приклади спектрів Волша.
1. Спектр Волша прямокутного імпульсу s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)
З (2.50) знаходимо
Спектр Волша прямокутного імпульсу залежить від співвідношення між т і Т. При τ/T = 2 v де v - ціле позитивне число, з урахуванням значень функцій Волша отримаємо
Розкладання прямокутного імпульсу за функціями Волша має вигляд
Спектр складається з 2 V складових з однаковими амплітудами, рівними 1/2 V. Спектр містить кінцеву кількість складових. При т/Т≠ 2 V структура спектра зміниться.
2. Спектр вулка трикутного імпульсу (рис. 2.10) При описі трикутного імпульсу
зручно перейти до безрозмірного часу х = t/T
Відповідно до (2.50) знаходимо:
Спектри Уолша при нумерації Хармута та Пелі зображені на рис.2.10, б і в.
3. Спектр Уолша синусоїдального імпульсу (рис. 2.11)
Для синусоїдального імпульсу
переходячи до безрозмірного часу x = t/T, запишемо 
З (2.50) у системі Хармута знаходимо (рис. 2.11):
Спектри Уолша аналізованого сигналу при нумерації Хармута та Пелі наведені на рис.2.11,6 та ст.
2.7А. Властивості спектрів Волша
При аналізі сигналів з використанням функцій Волша корисно враховувати властивості розкладання сигналів у базисі Волша - спектрів Волша.
1. Спектр суми сигналів дорівнює сумі спектрів кожного сигналу.
Спектр сигналу у системі функцій Волша визначається коефіцієнтами розкладання (2.47). Для суми сигналів коефіцієнти розкладання визначаються виразом
(2.52)
де а пк – коефіцієнти розкладання сигналу s k (t).
2. Розмноження сигналу на функцію Волша з номером n змінює номери коефіцієнтів розкладання з k згідно із законом двійкового зсуву за модулем два
3. Спектр Уолша добутку сигналів s 1 (t) та s 2 (t). визначених на інтервалі. Такі функції описують періодичні сигнали з обмеженою потужністю.
Для парної функції s(t), як це випливає з (3.2),
(3.3)
для непарної функції s(t):
(3.4)
Зазвичай під час аналізу сигналів використовується розкладання s(t) як
(3.5)
Періодичний сигнал представляється як суми гармонійних складових з амплітудами А n і початковими фазами.
Сукупність амплітуд (Д,) визначає амплітудний спектр, а сукупність початкових фаз (n) - фазовий спектр сигналу (рис.3.1,а). Як випливає з (3.5), спектри періодичних сигналів є дискретними або лінійчастими, інтервал дискретизації по частоті дорівнює частоті сигналу 1 = 2π/ Т.
Тригонометричний ряд Фур'є можна записати у комплексній формі
(3.7)
(3.8)
Перехід від (3.1) до (3.7) є очевидним з урахуванням формули Ейлера
(3.9)
Коефіцієнти з n у випадку є комплексними величинами
При використанні комплексної форми ряду Фур'є сигнал визначається сукупністю комплексних амплітуд (з n). Модулі комплексних амплітуд | з n | описують амплітудний спектр, аргументи n - фазовий спектр сигналу (рис. 3.1,6).
Представивши (3.8) у вигляді
(3.11)
Як випливає із записаних виразів, амплітудний спектр має парну, а фазовий - непарну симетрію.
(3.13)
Зі зіставлення виразів (3.2) і (3.11) слід
Як приклад розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів (рис. 3.2, а). При розкладанні періодичної послідовності прямокутних імпульсів у тригонометричний ряд Фур'є з (3.2) отримаємо амплітудний та фазовий спектри у вигляді (рис.3.2,б):
При використанні комплексної форми ряду Фур'є 
з (3.8) випливає:
Амплітудний та фазовий спектри сигналу рівні
Граничним видом низки Фур'є є інтеграл Фур'є. Періодичний сигнал при Т → ∞ стає неперіодичним. Підставивши (3.8) у (3.7), запишемо
(3.16)
Гармонічний аналіз сигналів
Перетворюючи (3.16), при T→∞ (у цьому випадку ω 1 → dω та пω 1 = ω), отримуємо
(3.17)
У квадратних дужках записаний інтеграл Фур'є, він визначає спектральну щільність сигналу
Вираз (3.17) набуде вигляду
Записані співвідношення представляють пряме та зворотне перетворення Фур'є. Вони застосовуються при гармонійному аналізі неперіодичних сигналів.
3.2. Гармонічний аналіз неперіодичних сигналів
Пряме та зворотне перетворення Фур'є встановлюють взаємно однозначну відповідність між сигналом (тимчасовою функцією, що описує сигнал s(t)) та його спектральною щільністю S(ω):
(3.18)
Відповідність за Фур'є позначимо:
(3.19)
Умовою існування перетворення Фур'є є абсолютна інтегрованість функції s(t)
(3.20)
У практичних додатках більш зручною є умова інтегрованості квадрата цієї функції
(3.21)
Для реальних сигналів умова (3.21) еквівалентна умові (3.20), але має очевидніший фізичний сенс: умова (3.21) означає обмежену енергію сигналу. Таким чином, можна вважати можливим застосування перетворення Фур'є до сигналів з обмеженою енергією. Це неперіодичні (імпульсні) сигнали. Для періодичних сигналів розкладання на гармо
ні складові виробляється за допомогою ряду Фур'є.
Функція S(ω) у загальному випадку є комплексною
де Re, lm - дійсна та уявна частини комплексної величини; |s(w)|, ф(оо)- модуль та аргумент комплексної величини:
Модуль спектральної щільності сигналу | S (ω) | описує розподіл амплітуд гармонійних складових за частотою, називається амплітудним спектром. Аргумент φ(ω) дає розподіл фази частотою, називається фазовим спектром сигналу. Амплітудний спектр є парною функцією, а фазовий спектр - непарною функцією частоти
З урахуванням формули Ейлера (3.9) вираз для S(ω) запишемо у вигляді
(3.24)
Якщо s(t)парна функція, то з (3.24) отримаємо
(3.25)
Функція S(ω), як випливає із (3.25), є дійсною функцією. Фазовий спектр визначається як
(3.26)
Для непарної функції s(t) з (3.24) отримаємо
(3.27)
Функція S(ω) є чисто уявною, фазовий спектр
(3.28)
Будь-який сигнал можна представити як суму парної s ч (t) та непарної s H (t) складових
(3.29)
Можливість такого уявлення стає ясною з огляду на такі рівні:
З (3.24) та (3.29) отримаємо
(3.30)
Отже, для дійсної та уявної частин спектральної щільності сигналу можна записати:
Таким чином, дійсна частина спектральної густини представляє перетворення Фур'є від парної складової, уявна частина - від непарної складової сигналу. Дійсна частина комплексної спектральної щільності сигналу є парною, а уявна частина – непарною функцією частоти.
Спектральна густина сигналу при ω = 0
(3.31)
дорівнює площі під кривою s(t).
Як приклади отримаємо спектри деяких сигналів.
1. Прямокутний імпульс (рис. 3.3 а)
де і - тривалість імпульсу.
Спектральна щільність сигналу
Графіки амплітудного та фазового спектрів сигналу наведено на рис. 3.3, б, ст.
2. Сигнал, що описується функцією
Спектральна щільність сигналу визначається виразом 
Інтегруючи частинами n-1 раз, отримуємо
Сигнал (рис. 3.4 а)
має спектральну щільність
Графіки амплітудного та фазового спектрів зображені на рис. 3.4, б, ст.
Сигнал (рис. 3.5 а)
має спектральну щільність
Графіки амплітудного та фазового спектрів – рис. 3.5, б, ст.
Число прикладів збільшує табл. 3.1.
Порівняння (3.18) та (3.8) показує, що спектральна щільністьодиночного імпульсу при τ< З урахуванням зазначеного співвідношення визначення спектра періодичного сигналу часом можна спростити, використовуючи перетворення Фур'є (3.18). Коефіцієнти ряду Фур'є знаходяться як де S(ω) – спектральна щільність одного імпульсу. Таким чином, при визначенні амплітудного та фазового спектрів періодичних сигналів корисно мати на увазі наступні рівності: Коефіцієнт 1/T може розглядатися як інтервал частот між сусідніми складовими спектра, а спектральна щільність як відношення амплітуди складової сигналу інтервалу частот, якому відповідає амплітуда. З огляду на це стає більш зрозумілим термін «спектральна щільність». Безперервні амплітудний та фазовий спектри одиночного імпульсу є огинальними дискретних амплітудного та фазового спектрів періодичної послідовності таких імпульсів. За допомогою співвідношень (3.33) результати наведені в табл. 3.1 можна використовувати для визначення спектрів періодичних послідовностей імпульсів. Такий підхід ілюструють такі приклади. 1. Періодична послідовність прямокутних імпульсів (табл. 3.1 п. 1), рис. 3.2. Записаний вираз повторює результат прикладу п.3.1. 2. Періодична послідовність меандрових імпульсів (табл. 3.1 п.2), рис. 3.6 рис. 3.2. 3. Періодична послідовність експонентних імпульсів (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7. Таблиця 3.1 Сигнали та їх спектри 3.3. Частотні спектри сигналів, представлених у вигляді узагальненого ряду Фур'є При поданні сигналу як узагальненого ряду Фур'є корисно мати перетворення Фур'є базових функцій. Це дозволить від спектру в базисі різних ортогональних систем перейти до частотного спектра. Нижче наведено приклади частотних спектрів деяких видів сигналів, що описуються базовими функціями ортогональних систем. 1. Сигнали Лежандра. Перетворення Фур'є багаточлена Лежандра (розд. 2) має вигляд п = 1,2, ... - багаточлен Лежандра; Використовуючи (3.34) від сигналу, представленого у вигляді ряду з коефіцієнтами Вираз (3.35) визначає спектральну щільність сигналу s(f) як ряду. Графіки складових спектра з номерами 1 – 3 наведено на рис.3.8. 2. Сигнали Лагерра. Перетворення Фур'є функції Лагерра має вигляд п = 1,2, ... - Функції Лагерра. Використовуючи (3.36), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання по багаточлена Лагерра (розд. 2) з коефіцієнтами можна перейти до спектральної густини сигналу 3. Сигнали Ерміта. Перетворення Фур'є функції Ерміта має вигляд З (3.38) слід, що функції Ерміта мають властивість трансформованості, тобто. функції та його перетворення Фур'є рівні (з точністю до постійних коефіцієнтів). Використовуючи (3.38), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання по багаточлена Ерміта з коефіцієнтами можна перейти до спектральної густини сигналу 4. Сигнали Волша. Частотні спектри сигналів Волша (сигналів, що описуються функціями Волша) визначаються наступним перетворенням Фур'є: де wal (n, x) - функція Уолша. Оскільки функції Уолша мають N ділянок постійних значень, де х до - значення х на якому інтервалі. З (3.41) отримаємо де Оскільки функції Уолша набувають значення ±1, то (3.42) можемо записати як де а n (к) = 0 чи 1 визначає знак функції wal(n, x k). На рис. 3.9 наведено графіки амплітудних спектрів перших шести сигналів Волша. 3.4. Спектри сигналів, що описуються неінтегрованими функціями Перетворення Фур'є існує лише сигналів з кінцевої енергією (для яких виконується умова (3.21)). Розширити клас сигналів, аналізованих з використанням перетворення Фур'є, дозволяє суто формальний прийом, заснований на введенні поняття спектральної щільності імпульсної функції. Розглянемо деякі з таких сигналів. 1. Імпульсна функція. Імпульсна функція (або δ - функція) визначається як З визначення імпульсної функції випливає її фільтруюча властивість Спектральну щільність імпульсної функції визначимо як Амплітудний спектр дорівнює одиниці, фазовий спектр φ(ω) = ωt0 (рис. 3.10). Зворотне перетворення Фур'є дає За аналогією з (3.47) для частотної області запишемо Використовуючи отримані вирази, визначимо спектральні густини деяких видів сигналів, що описуються функціями, для яких не існує перетворення Фур'є. 2. Постійний сигнал s(t) = s0. З урахуванням (3.48) отримаємо (рис. 3.11) 3. Гармонійний сигнал. Спектральна щільність сигналу вийде з урахуванням (3.48) як При ? = 0 (рис. 3.12) Для сигналу за аналогією з (3.52) знайдемо 4. Поодинока ступінчаста функція. Одиничну ступінчасту функцію σ(t) розглядатимемо як граничний вид експоненціального імпульсу Експонентний імпульс представимо у вигляді суми парної та непарної складових (3.29) Функціями Уолша називається сімейство функцій, що утворюють ортогональну систему, що приймають значення лише 1 та −1 на всій області визначення. У принципі, функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але найчастіше їх визначають як дискретні послідовності елементів. Група функцій Уолша утворює матрицю Адамара. Функції Уолша набули широкого поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодове поділ каналів (CDMA), наприклад, таких стандартах стільникового зв'язку, як IS-95, CDMA2000 або UMTS. Система функцій Уолша є ортонормованим базисом і, як наслідок, дозволяє розкладати сигнали довільної форми у узагальнений ряд Фур'є. Перетворення Волша-Адамара Є окремим випадком узагальненого перетворення Фур'є, у якому базисом виступає система функцій Уолша. Узагальнений ряд Фур'є є формулою: де це з базисних функцій, а - коефіцієнт. Розкладання сигналу за функціями Волша має вигляд: У дискретній формі формула запишеться так: Визначити коефіцієнти можна, здійснивши скалярний твір сигналу, що розкладається, на відповідну базисну функцію Уолша: Слід враховувати періодичний характер функцій Уолша. 9. Інтерполяція: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку; Використання поліфазної структури. Інтерполяція – процес цифр. обробки сигналів, що призводить до формування сигналу y(nT) з підвищеною частотою дискретизації з сигналу x(vT’)=x(vLT) з нижчою частотою дискретизації при певних обмеженнях на часові та спектральні зміни вых.сигналу. Виділяють три різновиди процесу інтерполяції ЦГЗ: 1. Збільшення частоти дискретизації здійснюється відповідно до математичного поняття інтерполяції; 2. При збільшенні част. дискр. вихідні відліки дискретного сигналу x(vT') виявляються втраченими, проте відліки вихідного сигала y(nT) можуть розглядатися як відліки вихідного аналогового сигналу x(t), з якого шляхом дискретизації з інтервалом T' утворений вихідний дискретний сигнал x(vT'). У цьому випадку форма огинаючої сигналів x(vT') та y(nT) (і спектр) не змінюються; 3. Збільшення част.дискретизації призводить до зміни форми сигналу, що інтерполюється, проте модуль спектра не змінюється. Д-дискретизатор з інтервалом дискретизації T'=LT., ІІ-ідеальний інтерполятор збільшує част.дискр. в ціле число L.Після ІІ сигнал можна розглядати, як результат дискретизації вих.аналогового сигналу x(t) з інтервалом дискретизації T=T'/L. , Hφ-дискретна система з частотною хар-кою. Частотна інтерполяція процесу з цілим коефіцієнтом L: а) спектр вихідного аналогового сигналу. б) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд. в) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд = 3fд. Т.О. процес підвищення частоти дискретизації (інтерполяції) – перетворення спектра від б) до в), тобто придушення «зайвих» частотних складових вих.спектра. Збільшення частоти дискретизації вихідного сигналу в потрібне число разів L здійснює експандер частоти дискретизації (ЕКД). Використання поліфазної структури при інтерполяції з використанням КІХ-фільтрів.Особливість цієї структури в тому, що замість одного фільтра, що працює на високій частоті дискретизації, використовується кілька фільтрів, що працюють на низькій частоті. Поліфазний фільтр являє собою набір невеликих фільтрів, що працюють паралельно, кожен з яких обробляє лише підмножина відліків сигналу (якщо є N фільтрів, кожен фільтр буде обробляти тільки кожен N-й відлік). Еквівалентна схема поліфазної структури: Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку. Нульовий порядок. При обчисленні чергового відліку вих сигналу y(nT) з інтервалом дискретизації T исп-ся лише один відлік вхідного сигналу, що інтерполується x(vT’) з інтервалом дискретизації T’. При збільшенні частоти дискретизації L раз відлік сигналу x(vT’) повторюється L разів на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1: y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,… Процес інтерполяції нульового порядку показаний на рис., де Tз-затримка, що вноситься фільтром. Передатна функція фільтра Реалізація однорідного фільтра: Вхідний сигнал x(vT') записується в регістр RG з частотою fд'=1/T', а зчитування сигналу y(nT) проводиться з частотою fд=Lfд'=1/T. Перший порядок (лінійна інтерполяція). Нехай дано сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Між кожним. відліком вих. сигналу вставляється L-1 відліків (підвищення част.дискретизації). Записується передатна функція 10. Децимація: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку; використання поліфазної структури. Децімація - процес зменшення частоти дискретизації сигналу. Розгляну сигнал x(t), модуль його спекту а). x(nT)-дискретизований сигнал з інтервалом дискретизації T, його модуль спектру в першому випадку б), у другому г). x(лямбдаT)-дискретизований сигнал x(t) з інтервалом дискретизації T'=MT.(M=2), його модуль спектра у першому випадку в), у другому д). Випадок 1. При дискретизації з частотою wд1 виконалася умова умова wд1 2Мwmax.(у разі wд1 4wmax). Сигнал можна відновити, тому що спектр не перекривається. Випадок 2. При дискретизації з частотою wд2 не виконалася умова умова wд2 2Мwmax. Сигнал відновити не можна, тому що спектр накладається. Для виконання операції децимації в ціле число М необхідно, щоб частота дискретизації wд сигналу x(nT), що підлягає децимації, задовольняло умові wд 2Мwmax. Операція децимації здійснюється з допомогою компресора частоти дискретизації(КЧД)(рис зліва). КЧД є ключом, який замикається в моменти t=nMT=лямбдаT', тобто з вхідного сигналу x*(nT) з інтервалом дискретизації Т береться тільки кожен М-й відлік і формує сигнал x(лямбдаT')= x*(лямбдаМТ) ) з інтервалом дискретизації Т = МТ Використання поліфазної структури при децимації з використанням КІХ-фільтрів.Ця структура містить М паралельних гілок обробки, у кожній з яких знаходиться фільтр, що працює на «низькій» (вихідній) частоті дискретизації. Рівняння, що описує поліфазну структуру децимації: Де М-целочисл.коефіцієнт, G-ціле число, r=0, 1,…,M-1. Тобто. вихідна послідовність y(лямбдаT') схеми є сума М послідовностей yk(лямбдаMT'), k=0,1,…,M-1, кожна з яких є своєю чергою результат фільтрації послідовності yk*(лямбдаMT')=x(лямбдаМТ) -kT) дискретним фільтром з ПФ Hk * (zM) і імпульсної характеристики brk = brM + k, причому відліки імпульсної характеристики k-го фільтра є відліки імпульсної характеристики bl фільтра-прототипу, взяті через М-1 відлік. Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку. Схема зменшення частоти дискретизації Нульовий порядок. Як фільтр використовується однорідний, передатна функція якого: АЧХ однорідного фільтра Умова, у якому вибирається порядок фільтра: N=k*M. Перший лад. Як фільтр використовується тріангулярний з ПФ. Базисна тригонометрична ф-я описується: номер гармоніки. Інтервал ортогональності. При нормуванні за потужністю базова ф-ія:Ω=2π\T Ф-ії Уолша складаються з ф-ій Радемахера
sgn-знакова функція. Інтервал розбивається на 2 k інтервали ∆T. Вони ф-я Радемахера приймає значення “+1” і ”–1”. (Ф-я зберігає свою ортогональність.) wal 0 = 1 - функція-я Уолша "0" порядку 1. Отримання ф-ії wal більш високих порядків (k = 1,2,3 ...): 1) Записують число kв двійковій системі прямому коді. m-число розрядів коду необхідних для представлення ф-ій Уолшаk-го порядку, γ i -ваговий коефіцієнт, що має значення 1 або 0 (залежно від того, враховується чи ні даний розряд при підсумовуванні). 2) Число kперекодують за правилом коду Грея. При цьому молодший розряд відкидають, отриманий код називають кодом Волша. 3) Подання ф. Волша в ряд Родомахера: Це показує, що ф. Уолша виходить перемноженням ф-ії Родомахера певної комбінації з коефіцієнтом b i . Для 4kф. Волша будуємо: числа змінних знака на інтервалі. У цій системі парні щодо середини інтервалу чергуються з непарними при цьому число змін знака на інтервалі для парних ф-ій змін знака m/2 та непарних (m+1)/2. Математичний об'єкт A i є елементом множини А 1 . Якщо над об'єктом A i можна зробити лінійні операції, то безліч А 1 належить лінійному простору, а його елементи A i є точками цього простору. Простір має будь-яку розмірність m. Ifв такому просторі визначено відстань між точками A i і A j то простір - метричний, а відстань між початком координат і будь-якою точкою - норма, а простір нормований. Відповідно норму та відстань можна визначити. У лінійному нормованому просторі визначено норму як Тоді коливанню U i (t) можна зіставити точку A або вектор Винахід відноситься до галузі обробки інформації та може бути використане в аналізаторах мовних сигналів. Технічним результатом є забезпечення сумісного частотно-часового аналізу. Аналізатор містить генератор тактових імпульсів, генератор функцій Уолша, реверсивний лічильник, регістр, елемент І, дільник частоти та послідовно з'єднані зсувний регістр та кільцевий зсувний регістр. 1 іл. Винахід відноситься до області приладобудування і може бути використане для обчислення коефіцієнтів дискретного ортогонального перетворення Уолша над аналоговими сигналами в різних пристроях автоматики, наприклад, аналізаторах мовних сигналів, пристроях обробки зображень і т. п. Пристрої для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша відомі. Відомі пристрої здійснюють спектральне перетворення дискретних сигналів, заданих на кінцевих інтервалах визначення базисі ортогональних функцій Уолша-Адамара . Найбільш жорсткі вимоги до пристроїв для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша перш за все по швидкодії пред'являються у разі застосування для спільного частотно-часового аналізу радіосигналів . Насправді ширше застосовуються цифрові аналізатори спектра за функціями Уолша. Вони найбільш універсальні та здатні забезпечити кращу точність представлення даних. Вхідний сигнал у таких пристроях повинен бути заданий на кінцевому інтервалі визначення та дискретизований як за амплітудою, так і за часом. Відношення бази розкладання, тобто інтервалу завдання сигналу до кроку дискретизації, дасть число N коефіцієнтів перетворення Уолша. Загальним недоліком універсальних цифрових аналізаторів спектра Уолша є їхня відносно низька швидкодія. Значно підвищити швидкодію вдається шляхом застосування спеціалізованих пристроїв, орієнтованих виконання однієї чи кількох родинних завдань. В окремому випадку, коли аналогові сигнали мають вигляд однополярних телеграфних або фототелеграфних сигналів функції аналого-цифрового перетворювача та аналізатора спектра, можна поєднати і створити досить простий аналізатор спектру , який забезпечує високу точність перетворення даних при високій швидкодії, що визначається застосовуваною елементною базою. Найбільш близьким за технічною сутністю до пристрою є аналізатор спектру за функціями Уолша , який можна вибрати як прототип. Прототип містить генератор функцій Волша, кожен із виходів якого підключений до входу управління відповідного реверсивного лічильника. Загальна кількість реверсивних лічильників може бути довільним і визначається характером завдання, що вирішується пристроєм. У випадку число реверсивних лічильників дорівнює числу N базисної системи ортогональних функцій Уолша, що визначається як цілий ступінь числа два N=2 n . Вихід кожного реверсивного лічильника з'єднаний із входом відповідного регістру, що здійснює зберігання розрахованих даних. Інформаційний вхід кожного реверсивного лічильника підключений до виходу елемента, перший вхід якого служить входом пристрою, а другий приєднаний паралельно з синхронізуючим входом генератора функцій Волша до виходу генератора тактових імпульсів. Залежно від знаку i-ї функціїУолша, що діє на i-му виході генератора функцій Уолша, i-й реверсивний лічильник перерахує число імпульсів з виходу елемента І в режимі, що накопичує або віднімає. Сигнал на виході елемента І діє лише у разі наявності вхідного сигналу. Тому кожен реверсивний лічильник за час генерування повної системи ортогональних функцій підрахує в заданому коді число імпульсів, пропорційне відповідного коефіцієнта перетворення Волша. Нестача відомого пристрою полягає у неможливості здійснення з його допомогою спільного частотно-часового аналізу, коли необхідно для кожного дискретного відліку часу визначати всі поточні коефіцієнти перетворення Волша. Залежність цих коефіцієнтів від часу отримала назву "ковзного спектра". Мета цього винаходу полягає у забезпеченні можливості одночасного обчислення всіх коефіцієнтів перетворення Уолша для кожного дискретного відліку часу та забезпечення тим самим можливості проведення спільного частотно-часового аналізу сигналів. Поставлена мета досягається тим, що у відомий пристрій додатково введені дільник частоти і з'єднані між собою регістр зсуву, кільцевий регістр зсуву, а також дільник. Вихід кільцевого зсувного регістру з'єднаний з входами реверсивних лічильників, при цьому його входи з'єднані з виходами генератора функцій Уолша та зсувного регістру, який, у свою чергу, з'єднаний з генератором тактових імпульсів через дільник і з виходом елемента безпосередньо. Вихід дільника також пов'язаний із входами реверсивних лічильників. Зсувний регістр накопичує пачки N імпульсів і під дією імпульсу з дільника частоти подає таку пачку на кільцевий зсувний регістр, з якого імпульси під дією імпульсу з генератора функцій Уолша надходять на відповідні реверсивні лічильники. Частота проходження імпульсів у пачці відповідає частоті тактових імпульсів, які більші за частоту зміни значень функцій Уолша в число разів, що дорівнює значенню дільника частоти. Структурна схема запропонованого пристрою представлена на кресленні. Пристрій містить послідовно з'єднані генератор тактових імпульсів 1, дільник частоти 2, елемент 3, генератор функцій Волша 4, зсувний регістр 5, кільцевий зсувний регістр 6, N реверсивних лічильників 7 і N регістрів 8. Входом пристрою служить елемент І 3, другий вхід якого з'єднаний з генератором тактових імпульсів 1 через дільник частоти 2. Вихід дільника частоти з'єднаний також з керуючим входом зсувного регістра 5, з обнулюючим входом кожного i-го реверсивного лічильника 7 і з керуючим входом регістрів зберігання 8. Кожен реверсивний лічильник 7 призначений для підрахунку числа . При цьому кожен реверсивний лічильник вважає накопичення або віднімання відповідно до знаком сигналу, що надходить на його вхід управління реверсом. Вихід кожного i-го реверсивного лічильника 7 з'єднаний з інформаційним входом відповідного i-го регістру 8. Генератор функцій Уолша 4 призначений для генерування повної системи ортогональних функцій Уолша розміру N, причому кожній генерованій функції відповідає окремий вихід генератора функцій Уолша 4, з'єднаний з входом реверса кожного i-го реверсивного лічильника 7. Генератор тактових 1 імпульсів призначений для генерування синхронізуючих імпульсів. Його вихід з'єднаний з входом дільника частоти 2, з керуючим входом генератора функцій Уолша 4 і керуючим входом кільцевого зсувного регістра 6. Інформаційний вхід кільцевого зсувного регістра 6 з'єднаний з виходом зсувного регістра 5, а його вихід підключений до інформаційного входу кожного реверсивного лічильника. частоти 2 призначений для поділу частоти імпульсної послідовності N разів. Працює пристрій у такий спосіб. Генератор тактових імпульсів 1 безперервно генерує послідовність імпульсів із деякою частотою f n . Ця імпульсна послідовність надходить одночасно на вхід дільника частоти 2, кільцевий зсувний регістр 6 і генератор функцій Уолша 4. Коефіцієнт поділу частоти блоку 2 обраний рівним N, причому N >> 1. Імпульсна послідовність з виходу дільника частоти 2 з частотою f д N надходить на обнуляющий вхід кожного реверсивного лічильника 7 і перший вхід елемента І 3, керуючий вхід зсувного регістра 5 і керуючий вхід регістра 8. Входом пристрою є другий вхід елемента І 3, з виходу якого вхідний сигнал під дією керуючого імпульсу з дільника частоти 2 надходить на інформаційний вхід зсувного регістра 5, де формуються пачки імпульсів, які потім надходять на інформаційні входи кільцевого зсувного регістра 6. Кільцевий зсувний регістр послідовно подає імпульси на реверсивні лічильники 7 під дією керуючого імпульсу з виходу генератора тактових . реверсивного лічильника з але мірою i надходить напруга з i-го виходу генератора функцій Уолша 4. Якщо на вході i-го реверсивного лічильника 7 діє напруга логічної "1", лічильник працює на накопичення, тобто веде підсумовування числа імпульсів, що надходять на рахунковий вхід. Якщо на вході управління реверсом діє логічний "0", то лічильник 7 працює на віднімання, тобто веде віднімання числа імпульсів, що надходять на рахунковий вхід. За час генерування повної системи функцій Волша в кожному i-му реверсивному лічильнику 7 буде накопичено в заданому коді число імпульсів, пропорційне i-й компонентіспектру Волша. У момент закінчення генерування системи функцій Уолша генератор виробляє на своєму синхронізуючому вході імпульс, який переписує показання кожного реверсивного лічильника 7 відповідний регістр 8. Таким чином, в кожному i-му регістрі 8 буде зберігатися цифровий код, пропорційний i-й компоненті спектра Уолша вхідного аналогового сигналу, зафіксованого на Наразічасу в зсувному регістрі 5. Одночасно зі скиданням інформації з реверсивних лічильників 7 регістр 8 відбувається зчитування через елемент 3 чергового значення вхідного сигналу. Цикл розрахунку повної системи коефіцієнтів перетворення Волша над значеннями сигналу, що зберігаються в зсувному регістрі, повторюється. Таким чином, періодично, з частотою f д регістри 8 будуть скидатися значення "ковзного" спектру вхідного сигналу, обчислені в базисі повної системи ортогональних функцій Уолша. Література 1. Х. Хартмут. Теорія секвентного аналізу. - М: Мир, 1980. 2. А.А. Алексєєв, А.Б. Кірілів. Технічний аналіз сигналів та розпізнавання радіовипромінювань. – С.-Пб.: Військова академія зв'язку, 1998. Розділ 4. Елементи теорії узагальненого спектрально-часового аналізу, 4.3.2. Розподіл Вігнера-Уолша, стор. 164-209. 3. Аналізатор спектра за функціями Уолша. А.С. N 640305, G06F 15/34, 1976. 4. Виноградов Д.Г., Шабаков Є.І. Аналізатор спектру за функціями Волша. А.С. СРСР N 1203536, G06F 15/332, 1985. В останні роки значний прогрес у телекомунікаційних технологіях досягнуто завдяки переходу на цифрові видизв'язки, які, своєю чергою, базуються на стрімкому розвитку мікропроцесорів. Один із яскравих прикладів цього – поява і швидке впровадженнятехнології зв'язку з цифровими шумоподібними сигналами на основі методу багатостанційного доступу з кодовим поділом каналів (CDMA - Code Division Multiple Access), в найближчі роки нового століття затьмарить собою всі інші, витісняючи аналогові NMT, AMPS та ін і складаючи серйозну конкуренцію цифровим технологіям, таким як GSM. Чудова властивість цифрового зв'язкуз шумоподібними сигналами - захищеність каналу зв'язку від перехоплення, перешкод та підслуховування. Саме тому ця технологія була спочатку розроблена та використовувалася для збройних сил США, і лише недавно американська компанія Qualcom на основі цієї технології створила стандарт IS-95 (CDMA one) та передала його для комерційного використання. Устаткування для цього стандарту вже випускають шість компаній: Hughes Network Systems, Motorola та Samsung. Принцип роботи систем стільникового зв'язку з кодовим поділом каналів можна пояснити на наступному прикладі. Припустимо, що ви сидите у ресторані. За кожним столиком перебувають дві особи. Одна пара розмовляє між собою на англійській мові, інша російською, третя німецькою і т.д. Виходить так, що в ресторані всі розмовляють одночасно на одному діапазоні частот (мова від 3 кГц до 20 кГц), при цьому ви, розмовляючи зі своїм опонентом, розумієте тільки його, але чуєте всіх. Так само і в стандарті CDMA інформація, що передається в ефірі, від базової станції до мобільної або навпаки потрапляє до всіх абонентів мережі, але кожен абонент розуміє тільки ту інформацію, яка призначена для нього, тобто. російська розуміє лише російської, німець лише німця, а решта інформації відсівається. Мова спілкування зараз є кодом. У CDMA це організовано за рахунок застосування кодування даних, що передаються, якщо точніше, то за це відповідає блок множення на функцію Уолша. На відміну від стандарту GSM, який використовує TDMA (Time Division Multiple Access - багатостанційний доступ з тимчасовим поділом каналу, тобто кілька абонентів можуть розмовляти на одній і тій же частоті, як і в CDMA, але на відміну від CDMA, у різне час), стандарт IS-95 діапазон частот використовує економічніше. CDMA називають широкосмуговою системою і сигнали, що йдуть в ефірі шумоподібними. Широкосмугова - тому, що займає широку смугу частот. Шумоподібні сигнали - тому, що коли в ефірі на одній частоті, одночасно працюють кілька абонентів, сигнали накладаються один на одного (можна уявити шум у ресторані, коли всі одночасно говорять). Перешкодостійка - тому, що при виникненні в широкій смузі частот (1,23 МГц) сигналу-перешкоди, вузького діапазону (<150кГц), сигнал примется
почти неискаженный. За счет помехоустойчивого кодирования потерянные
данные система восстановит, см. рис 1, где показан полезный сигнал и
помеха (СЗС - селективная помеха). А у стандарті GSM таке не вийде. Через те, що GSM спочатку сам вузькосмуговий. Ширина смуги, що використовується, дорівнює 200 кГц. Система CDMA фірми Qualcom розрахована працювати у діапазоні частот 800 Мгц. Система CDMA побудована методом прямого розширення спектра частот з урахуванням використання 64 видів послідовностей, сформованих за законом функцій Уолша. Для передачі мовних повідомлень вибрано речепреобразующее пристрій алгоритмом CELP зі швидкістю перетворення 8000 біт/с (9600 біт/с каналі). Можливі режими роботи на швидкостях 4800, 2400, 1200 біт/с. У каналах системи CDMA застосовується згорткове кодування зі швидкістю? (у каналах від базової станції) і 1/3 (в каналах від рухомої станції), декодер Вітербі з м'яким рішенням, перемежування повідомлень, що передаються. Загальна смуга каналу зв'язку становить 1,25 МГц. Основні характеристики наведено у таблиці. Ширина спектру випромінюваного сигналу: за рівнем мінус 3 Дб за рівнем мінус 40 Дб 1 пілот-канал 1 канал синхронізації 7 каналів персонально виклику 55 каналів зв'язку 1 канал доступу 1 канал зв'язку Швидкість передачі даних: У каналі синхронізації У каналі перс.дзвінка та доступу У каналах зв'язку 9600, 4800 біт/с 9600, 4800, 2400, 1200 біт/с У стандарті використовується роздільна обробка відбитих сигналів, що приходять з різними затримками, і подальше їхнє вагове додавання, що значно знижує негативний вплив ефекту багатопроменя. При роздільній обробці променів у кожному каналі прийому на базовій використовується 4 паралельно працюючі корелятори, а на рухомій станції 3 корелятори. Наявність паралельно працюючих кореляторів дозволяє здійснити м'який режим "естафетної передачі" під час переходу з стільника в соту. М'який режим "естафетної передачі" відбувається за рахунок керування рухомою станцією двома або більше базовими станціями. Транскодер, що входить до складу основного обладнання, проводить оцінку якості прийому сигналів від двох базових станцій кадр за кадром. Процес вибору кращого кадру призводить до того, що результуючий сигнал може бути сформований у процесі безперервної комутації та подальшого "склеювання" кадрів, що приймаються різними базовими станціями, що беруть участь у "естафетній передачі". Протоколи встановлення зв'язку в CDMA, як і в стандартах AMPS засновані на використанні логічних каналів. У CDMA канали передачі з базової станції називаються прямими (Forward), прийому базової станцією - зворотними (Reverse). Структура каналів CDMA в стандарті IS-95 показана на рис: Структура каналів передачі базової станції показана на рис: Кожному логічному каналу призначається свій код Волша. Усього одному фізичному каналі логічних каналів то, можливо 64, т.к. послідовностей Уолша, яким у відповідність ставляться логічні канали, всього 64, кожна з яких має довжину по 64 біти. З усіх 64 каналів на 1-й канал призначається перший код Волша (W0) якому відповідає "Пілотний канал", на наступний канал призначається тридцять другий код Волша (W32), наступним 7 каналам так само призначаються свої коди Волша (W1,W2 ,W3,W4,W5,W6,W7) яким відповідають канали виклику, і 55 каналів, що залишилися, призначені для передачі даних по "Каналу прямого трафіку". При зміні знака біта інформаційного повідомлення фаза послідовності Уолша, що використовується, змінюється на 180 градусів. Оскільки ці послідовності взаємно ортогональні, то взаємні перешкоди між каналами передачі однієї базової станції відсутні. Перешкоди по каналах передачі базової станції створюють лише сусідні базові станції, які працюють у тій же смузі радіочастот і використовують ту саму ПСП, але з іншим циклічним зрушенням. Розгляньмо структурну схему зворотного каналу трафіку. У прямому та зворотному каналі ця схема повторюється; в залежності від того, який канал використовується в даний момент, деякі блоки цієї схеми виключаються. В даний час обладнання стандарту CDMA є найновішим і найдорожчим, але водночас найнадійнішим і найзахищенішим. Європейським Співтовариством у рамках дослідницької програми RACE розробляється проект CODIT щодо створення одного з варіантів Універсальної системи рухомого зв'язку (UMTS) на принципі кодового поділу каналів з використанням широкосмугових сигналів із прямим розширенням спектра (DS-CDMA). Основною відмінністю концепції CODIT буде ефективне та гнучке використання частотного ресурсу. Як ми раніше пояснили, на широкосмуговий сигнал CDMA вплив вузькосмугової завади практично не позначається. За рахунок цієї властивості у стандарті CODIT для передачі даних додатково використовуватимуться захисні інтервали між несучими частотами.
(3.32)
(3.34)
- Функція Бесселя.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
п = 1,2, ... - Функції Ерміта.
(3.39)
(3.40)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.48)
(3.49)
(3.53)
(3.55)
;
;
;
;
, A i -амплітуда гармонік, Θ i -фаза
;
2. Розкладання сигналів та перешкод за функціями Волша.
, K = 1,2 ...; 
для цієї системи характерні розташування ф-ій у порядку зростання
-Ф. Волша в ортогональній системі.3. Геометричне уявлення сигналів та перешкод.
та відстань 
-простір називається Евклідовим.ifn→∞ - Гільбертовий простір.A i – вектор, його довжина – норма.
вn-мірному просторі розмірність якого дорівнює числу ступенів свободи коливанняu(t). Нехай коливанняu a (t) і b (t) розкладаються по ортогональній системі функцій φ i (t). 
,
Цим коливанням будуть відповідати вектору 
з координатами 
. Їхня довжина 
. Взявши до уваги умову ортогональності, а точніше ортонормальності. Довжина та норма збігаються. 
P a і P b -середня питома потужність коливання. Довжина вектора в n-мірному просторі визначається ефективним значенням відповідного коливання.
-характеризує ступінь близькості. Відстань можна розглядати як модуль різниці 
, Чим менше ця величина тим менше відмінності між коливаннями.
* - Середнє значення добутку коливань. 
**-ефективна взаємодія між коливаннямиu a іu b .взаємна потужність коливань-P ab .Ifвзяти як базисну ф-ии 
, то вирази * і ** збігуться. =0.If U a =–U b тоді P ab = – P a = – P b . Сигнал та перешкоду можна представити як вектор. При геометричному поданні кодованих сигналів. Широкий-мірний простір в Неевклідовій метриці. Відстань у цьому просторі визначається за алгоритмом 
,n- число елементів комбінації даного коду, а x i і y i значення відповідних розрядів. Геометричною моделлюn-значного двійкового коду єn-вимірюваний куб з ребром = 1, кожна з вершин якого представляє одну з можливих комбінацій. 000,001,010,100,101,110,011,111 Відстань -. Кодований сигнал у виглядіn-мірного куба.ФОРМУЛА ВИНАХОДУ
Аналізатор спектру за функціями Волша, що містить генератор тактових імпульсів, виходом підключений до входу синхронізації генератора функцій Волша, вихід i-ї функції Волша якого з'єднаний з синхронізуючим входом i-го реверсивного лічильника, підключеного до інформаційного входу i-го регістру, вихід якого є вихід i-ї гармонікианалізатора, а також елемент І, перший вхід якого є інформаційним входом аналізатора, який відрізняється тим, що додатково введені дільник частоти та послідовно з'єднані зсувний регістр та кільцевий зсувний регістр, включені між виходом елемента І та рахунковим входом кожного з реверсивних лічильників, а дільник частоти включений між генератором тактових імпульсів і другим входом елемента І, з'єднаним з керуючим входом зсувного регістру паралельно з керуючим входом кожного реверсивного лічильника і кожного регістра, причому вихід генератора тактових імпульсів підключений до керуючого входу кільцевого зсувного регістру паралельно з входом. Система стільникового рухомого зв'язку CDMA
Загальна характеристика та принципи функціонування
Діапазон частот передачі MS
824,040 - 848, 860 МГц
Діапазон частот передачі BTS
869,040 - 893,970 мгц
Відносна нестабільність несучої частоти BTS
+/- 5*10^-8
Відносна нестабільність несучої частоти MS
+/- 2,5*10^-6
Вид модуляції несучої частоти
QPSK(BTS), O-QPSK(MS)
Тактова частота ПСП М-функції
1,2288 МГц
Кількість каналів BTS на 1 несучій частоті
Кількість каналів MS
Кодування у каналах передачі BTS
Згортковий код R=1/2, К=9
Кодування у каналах передачі MS
Згортковий код R=1/3, K=9
Необхідне для прийому відношення енергії біта інформації
6-7 дБ
Максимальна ефективна випромінювана потужність BTS
50 Вт
Максимально ефективна випромінювана потужність MS
6,3 - 1,0 Вт
Прямі канали в CDMA:
Зворотні канали в CDMA:
Порядок проходження мовних даних на мобільній станції до моменту відправки в ефір.
На цьому етапі мовний сигнал оцифровується і стискається за алгоритмом CELP.
Блок призначений для боротьби із пачками помилок в ефірі. Пачки помилок – спотворення кількох біт інформації поспіль.
Принцип такий. Потік даних записується в матрицю рядків. Як тільки матриця заповнена, починаємо з неї передавати інформацію по стовпчикам. Отже, як у ефірі спотворюються поспіль кілька біт інформації, прийому пачка помилок, пройшовши через зворотну матрицю, перетворюється на одиночні помилки.
На інформацію накладається маска (послідовність) завдовжки 42 біти. Ця маска є секретною. При несанкціонованому перехопленні даних в ефірі неможливо декодувати сигнал, не знаючи маски. Спосіб перебору різноманітних значень не ефективний т.к. при генерації цієї маски, перебираючи різні значення, доведеться генерувати 8.7 трильйона масок завдовжки 42 біти. Хакер, користуючись персональним комп'ютером, пропускаючи через кожну маску сигнал і перетворюючи його у файл звукового формату, потім, розпізнаючи його на наявність мови, витратить багато часу.
Цифровий потік даних перемножується на послідовність біт, згенерованих за функцією Уолша.
У цьому етапі кодування сигналу відбувається розширення спектра частот, тобто. кожен біт інформації кодується послідовністю, побудованої за функцією Уолша, довжиною 64 біти. Т.ч. швидкість потоку даних у каналі збільшується у 64 рази. Отже, в блоці модуляції сигналу швидкість маніпуляції сигналу зростає, звідси розширення спектра частот.
Також функція Уолша відповідає за відсів непотрібної інформації з інших абонентів. У момент початку сеансу зв'язку абоненту призначається частота, на якій він працюватиме і один (з 64 можливих) логічний канал, який визначає функція Уолша. У момент прийняття сигнал за схемою проходить у зворотний бік. Прийнятий сигнал множиться на кодову послідовність Волша
За результатом множення обчислюється інтеграл кореляційний.
Якщо Z порогова задовольняє граничне значення, значить, сигнал наш. Послідовність функції Уолша ортогональні і мають хороші кореляційні та автокореляційні властивості, тому ймовірність сплутати свій сигнал з чужим дорівнює 0.01%.
Блок призначений для перемішування сигналу блоку модуляції. Кожній призначеній частоті призначаються різні М-функції.
У стандарті CDMA використовується фазова модуляція ФМ4 ОФМ4.
