Визначники та його властивості. Перестановкоючисел 1, 2,..., n називається будь-яке розташування цих чисел у порядку. В елементарній алгебрі доводиться, що кількість всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, дорівнює 12 ... n = n! Наприклад, із трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що в даній перестановці числа i і j складають інверсію(безлад), якщо i>j, але i стоїть у цій перестановці раніше j, тобто якщо більше число стоїть лівіше меншого.
Перестановка називається парний(або непарною)якщо в ній відповідно парно (непарно) загальна кількість інверсій. Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять до іншої, складеної з тих самих n чисел, називається підстановкою n-ого ступеня.
Підстановка, що переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками в загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в перестановках, що розглядаються, називаються відповіднимиі пишуться одне під одним. Наприклад, символ позначає підстановку, в якій 3 переходить до 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Підстановка називається парний(або непарною), якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки парна (непарна). Будь-яка підстановка n-ого ступеня може бути записана у вигляді, тобто. з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.
Нехай нам дано квадратну матрицю порядку n
Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, взятих по одному і лише по одному з кожного рядка та кожного стовпця, тобто. творів виду:
, (4.4)
де індекси q 1 , q 2 ,...,q n становлять деяку перестановку з чисел
1, 2,..., n. Число таких творів дорівнює кількості різних перестановок з n символів, тобто. одно n!. Знак твору (4.4) дорівнює (-1) q, де q – число інверсій у перестановці других індексів елементів.
Визначником n-го порядку, що відповідає матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника використовується знак 
або detA = 
(Детермінант, або визначник, матриці А).
Властивості визначників
1. Визначник не змінюється під час транспонування.
2. Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
3. Якщо в визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.
4. Визначник, що містить два однакові рядки, дорівнює нулю.
5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на деяке число k, сам визначник помножиться на k.
6. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків aij = bj + cj (j = 1,...,n), то визначник дорівнює сумі визначників, у яких усі рядки, крім i-ого, - такі ж, як у заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj, в іншому - з елементів cj.
8. Визначник не змінюється, якщо до елементів одного з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на те саме число.
Зауваження.Усі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпці.
Мінором M i j елемента a i j визначника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який виходить із d викреслюванням рядка та стовпця, що містять даний елемент.
Алгебраїчним доповненнямелемента a i j визначника d називається його мінор M i j взятий зі знаком (-1) i + j . Алгебраїчне доповнення елемента a i j позначатимемо A i j . Таким чином, A i j = (-1) i + j M i j .
Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.
Теорема (Розкладання визначника по рядку або стовпцю).
Визначник дорівнює сумі творів всіх елементів довільного його рядка (або стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення. Інакше кажучи, має місце розкладання d за елементами i-го рядка
d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)
або j-го стовпця
d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = 1,...,n).
Зокрема, якщо всі елементи рядка (або стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому на його додаток алгебри.
Формула обчислення визначника третього порядку.
Для полегшення запам'ятовування цієї формули:
Приклад 2.4.Не обчислюючи визначника, показати, що він дорівнює нулю.
Рішення.Віднімемо з другого рядка перший, отримаємо визначник, рівний вихідному. Якщо з третього рядка також відняти першу, то вийде визначник, в якому два рядки пропорційні. Такий визначник дорівнює нулю.
приклад 2.5.Обчислити визначник D = , розклавши його елементами другого стовпця.
Рішення.Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:
D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =
.
Приклад 2.6.Обчислити визначник
,
в якому всі елементи з одного боку від головної діагоналі дорівнюють нулю.
Рішення.Розкладемо визначник А по першому рядку:
.
Визначник, що стоїть праворуч, можна розкласти по першому рядку, тоді отримаємо:
.
Приклад 2.7.Обчислити визначник 
.
Рішення.Якщо до кожного рядка визначника, починаючи з другого, додати перший рядок, то вийде визначник, в якому всі елементи, що знаходяться нижче за головну діагональ, будуть рівними нулю. А саме, отримаємо визначник: 
, рівний вихідному.
Розмірковуючи, як у попередньому прикладі знайдемо, що він дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто. n! Спосіб, за допомогою якого обчислений цей визначник, називається способом приведення до трикутного вигляду.
· Визначником квадратний матриці А п-го порядку або визначником п-го порядку називається число, що дорівнює алгебраїчній сумі п! членів, кожен із яких є твором пелементів матриці, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця з певними знаками. Визначник позначається або .
Визначник другого порядкує число, виражене так: 
. Наприклад 
.
Визначник третього порядкуобчислюється за правилом трикутників (правило Саррюса): .
Приклад. .
Зауваження. Фактично визначники третього порядку, як і вищих порядків, обчислюються з допомогою властивостей визначників.
Властивості визначників п-го порядку.
1. Величина визначника не зміниться, якщо кожен рядок (стовпець) замінити стовпцем (рядком) з тим самим номером – транспонувати.
2. Якщо один із рядків (стовпець) визначника складається з нулів, то величина визначника дорівнює нулю.
3. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (стовпці), то абсолютна величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протилежний.
4. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпця), дорівнює нулю.
5. Загальний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
· Мінором деякого елемента визначника п-го порядку називається визначник ( п-1)-го порядку, отриманий з вихідного викреслювання того рядка і того стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент. Позначення: .
· Алгебраїчним доповненням елементом визначника називається його мінор, взятий зі знаком . Позначення: В.о. =.
6. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їх додатки алгебри ( теорема розкладання).
7. Якщо кожен елемент - того рядка є сумою kдоданків, то визначник подається у вигляді суми kвизначників, у яких усі рядки, крім того рядка, такі ж як у вихідному визначнику, а той рядок у першому визначнику складається з перших доданків, у другому – з других і т.д. Те ж саме і для стовпців.
8. Визначник не зміниться, якщо до одного з рядків (стовпців) додати інший рядок (стовпець), помножений на число .
Слідство. Якщо до рядка (стовпця) визначника додати лінійну комбінацію інших її рядків (стовпців), то визначник не зміниться.
9. Визначник діагональної матриці дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, тобто.
Зауваження. Визначник трикутної матриці також дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.
Перераховані властивості визначників дозволяють значно спростити їхнє обчислення, що особливо важливо для визначників високих порядків. При цьому доцільно так перетворити вихідну матрицю, щоб перетворена матриця мала рядок або стовпець, що містить якнайбільше нулів («обнулення» рядків або стовпців).
приклади.Обчислимо ще раз визначник, наведений у попередньому прикладі, використовуючи властивості визначників.
Рішення: Зауважимо, що у першому рядку є загальний множник – 2, а у другому – загальний множник 3, винесемо їх за знак визначника (за властивістю 5). Далі розкладемо визначник, наприклад, першого стовпця, використовуючи властивість 6 (теорему розкладання).
Найбільш ефективний метод приведення визначника до діагонального або трикутного вигляду . Для обчислення визначника матриці достатньо виконати таке перетворення матриці, яке не змінить визначника і дозволить перетворити матрицю на діагональну.
У висновку зауважимо, що якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю, то матриця називається виродженою (або особливою) , в іншому випадку - невиродженою .
Задано систему N лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) з невідомими, коефіцієнтами при яких є елементи матриці , а вільними членами — числа
Перший індекс біля коефіцієнтів вказує у якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий — за якого з невідомим він перебуває.
Якщо визначник матриці не дорівнює нулю
то система лінійних рівнянь алгебри має єдине рішення.
Рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається така впорядкована сукупність чисел, яка при перетворює кожне з рівнянь системи на правильну рівність.
Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною. У випадку, коли деякі з них відмінні від нуля – неоднорідний
Якщо система лінійних рівнянь алгебри має хоч одне рішення, то вона називається спільною, в іншому випадку — несумісною.
Якщо рішення системи єдине, то система лінійних рівнянь називається певною. У разі коли рішення спільної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними (або рівносильними), якщо всі рішення однієї системи є рішеннями другої, і навпаки. Еквівалентні (або рівносильні) системи отримуємо за допомогою еквівалентних перетворень.
Еквівалентні перетворення СЛАУ
1) перестановка місцями рівнянь;
2) множення (або розподіл) рівнянь на відмінне від нуля число;
3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне, відмінне від нуля число.
Рішення СЛАУ можна знайти у різний спосіб.
МЕТОД КРАМЕРУ
ТЕОРЕМА КРАМЕРУ. Якщо визначник системи лінійних рівнянь алгебри з невідомими відмінний від нуля то ця система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами Крамера:
— визначники, утворені із заміною стовпця, стовпцем із вільних членів.
Якщо , а хоча б один із відмінний від нуля, то СЛАУ рішень не має. Якщо ж 
, то СЛАУ має багато рішень. Розглянемо приклади із застосуванням методу Крамера.
—————————————————————
Дана система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Вирішити систему методом Крамера
Знайдемо визначник матриці коефіцієнтів при невідомих
Оскільки задана система рівнянь спільна і має єдине рішення. Обчислимо визначники:
За формулами Крамера знаходимо невідомі
Отже 
єдине рішення системи.
Дана система чотирьох лінійних рівнянь алгебри. Вирішити систему методом Крамера.
Знайдемо визначник матриці коефіцієнтів за невідомих. Для цього розкладемо його за першим рядком.
Знайдемо складові визначника:
Підставимо знайдені значення у визначник
Детермінант, отже система рівнянь спільна і має єдине рішення. Обчислимо визначники за формулами Крамера:
Розкладемо кожен із визначників по стовпцю, в якому є більше нулів.
За формулами Крамера знаходимо
Рішення системи 
Даний приклад можна вирішити математичним калькулятором YukhymCALC. Фрагмент програми та результати обчислень наведено нижче.
——————————
МЕТОД ДО Р А М Е Р А
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2 = | 5,1,2,-8 |
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000
x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000
x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000
x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000
Переглянути матеріали:
(jcomments on)
У загальному випадку правило обчислення визначників порядку є досить громіздким. Для визначників другого та третього порядку існують раціональні способи їх обчислень.
Обчислення визначників другого порядку
Щоб обчислити визначник матриці другого порядку, треба від добутку елементів головної діагоналі відібрати добуток елементів побічної діагоналі:
Приклад
Завдання.Обчислити визначник другого порядку
Рішення.
Відповідь.
Методи обчислення визначників третього порядку
Для обчислення визначників третього порядку існують такі правила.
Правило трикутника
Схематично це правило можна зобразити так:
Добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком «плюс»; аналогічно, другого визначника — відповідні твори беруться зі знаком «мінус», тобто.
Приклад
Завдання.Обчислити визначник 
методом трикутників.
Рішення.
Відповідь.
Правило Саррюса
Праворуч від визначника дописують перші два стовпці та твори елементів на головній діагоналі та на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком «плюс»; а твори елементів побічної діагоналі та діагоналей, їй паралельних, зі знаком «мінус»:
Приклад
Завдання.Обчислити визначник за допомогою правила Саррюса.
Рішення.
Відповідь.
Розкладання визначника по рядку або стовпцю
Визначник дорівнює сумі творів елементів рядка визначника на їх додатки алгебри.
Зазвичай вибирають той рядок/стовпець, у якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, буде позначати стрілкою.
Приклад
Завдання.Розклавши по першому рядку, обчислити визначник
Рішення.
Відповідь.
Цей метод дозволяє обчислення визначника звести до обчислення визначника нижчого порядку.
Приклад
Завдання.Обчислити визначник
Рішення.Виконаємо наступні перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перші, а з третього перший рядок, помножений на сім, в результаті, згідно з властивостями визначника, отримаємо визначник, рівний даному.
Визначник дорівнює нулю, тому що другий і третій рядки є пропорційними.
Відповідь.
Для обчислення визначників четвертого порядку та вище застосовується або розкладання рядком/стовпцем, або приведення до трикутного вигляду, або за допомогою теореми Лапласа.
Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця
Приклад
Завдання.Обчислити визначник 
, розклавши його за елементами якогось рядка або якогось стовпця.
Рішення.Попередньо виконаємо елементарні перетворення над рядками визначника, зробивши якнайбільше нулів або в рядку, або в стовпці. Для цього спочатку від першого рядка віднімемо дев'ять третіх, від другого - п'ять третіх і від четвертого - три треті рядки, отримуємо:
Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:
Отриманий визначник третього порядку також розкладемо елементами рядка і стовпця, попередньо отримавши нулі, наприклад, у першому стовпці.
Для цього від першого рядка віднімаємо два другі рядки, а від третього - другий:
Відповідь.
Зауваження
Останній і передостанній визначники можна було б і не обчислювати, а відразу зробити висновок про те, що вони дорівнюють нулю, оскільки містять пропорційні рядки.
Приведення визначника до трикутного вигляду
За допомогою елементарних перетворень над рядками або стовпцями визначник наводиться до трикутного вигляду і тоді його значення, згідно з властивостями визначника, дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.
Приклад
Завдання.Обчислити визначник 
приведенням його до трикутного вигляду.
Рішення.Спочатку робимо нулі у першому стовпці під головною діагоналлю.
4.Властивості визначників. Визначник твору матриць.
Усі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент дорівнюватиме 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:
Далі отримуємо нулі у другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент дорівнюватиме, то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другий і третій рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):
Відповідь.
Теорема Лапласа
Приклад
Завдання.Використовуючи теорему Лапласа, обчислити визначник 
Рішення.Виберемо в даному визначнику п'ятого порядку два рядки - другий і третій, тоді отримуємо (доданки, які дорівнюють нулю, опускаємо):
Відповідь.
ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРАВЕНСТВА I
§ 31 Випадок, коли головний визначник системи рівнянь дорівнює нулю, а хоча б один із допоміжних визначників відмінний від нуля
Теорема.Якщо головний визначник системи рівнянь
(1)
дорівнює нулю, хоча один із допоміжних визначників відмінний від нуля, то система несовместна.
Формально, підтвердження цієї теореми неважко отримати шляхом протилежного. Припустимо, що система рівнянь (1) має рішення ( x 0 , y 0). Тоді як показано у попередньому параграфі,
Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)
Але за умовою Δ = 0, а хоча б один із визначників Δ x і Δ y відмінний від нуля. Отже, рівності (2) одночасно виконуватися що неспроможні. Теорему доведено.
Однак цікаво більш детально з'ясувати, чому система рівнянь (1) в даному випадку несумісна.
означає, що коефіцієнти за невідомих у системі рівнянь (1) пропорційні. Нехай, наприклад,
a 1 = ka 2 , b 1 = kb 2 .
означає, що коефіцієнти при у та вільні члени рівнянь системи (1) не пропорційні. Оскільки b 1 = kb 2 , то c 1 =/= kc 2 .
Отже, система рівнянь (1) може бути записана у такому вигляді:
У цій системі коефіцієнти при невідомих відповідно пропорційні, але коефіцієнти при у (або при х ) та вільні члени не пропорційні. Така система, звісно, несумісна. Дійсно, якби вона мала рішення ( x 0 , y 0), то виконувались би числові рівності
k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1
a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .
Але одна з цих рівностей суперечить іншому: адже c 1 =/= kc 2 .
Ми розглянули лише випадок, коли Δ x =/= 0. Аналогічно може бути розглянутий випадок, коли Δ y =/= 0."
Доведену теорему можна сформулювати і в такий спосіб.
Якщо коефіцієнти при невідомих хі уу системі рівнянь (1) пропорційні, а коефіцієнти при якійсь із цих невідомих і вільні члени не пропорційні, то ця система рівнянь несумісна.
Легко, наприклад, переконатися в тому, що кожна з цих систем буде несумісною:
Метод Крамера розв'язання систем лінійних рівнянь
Формули Крамера
Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.
Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільких лінійних рівнянь, як у кожному рівнянні невідомих.
Метод Крамер. Застосування для систем лінійних рівнянь
Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.
Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).
Визначники
виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:
;
.
Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.
приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:
Згідно теоремі Крамерамаємо:
Отже, рішення системи (2):
Три випадки при вирішенні систем лінійних рівнянь
Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:
Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення
(Система спільна та визначена)
* 
Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень
(Система спільна та невизначена)
** 
,
тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.
Третій випадок: система лінійних рівнянь розв'язків не має
(Система несумісна)
Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система рівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.
Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера
Нехай дана система
.
На підставі теореми Крамера
………….
,
де 
—
визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:
приклад 2.
.
Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.
Приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
.
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, рішення системи - (2; -1; 1).
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
На початок сторінки
Пройти тест на тему Системи лінійних рівнянь
Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несумісна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.
Приклад 4.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих
Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже система несумісна, тобто не має рішень.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці літери позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостей будь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви якийсь новий матеріал або пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних — літери. За прикладами далеко не треба ходити.
Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.
Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Знаходимо визначники при невідомих
За формулами Крамера знаходимо:
,
,
.
І, нарешті, система чотирьох рівнянь із чотирма невідомими.
Приклад 7.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
.
Увага! Методи обчислення визначників четвертого порядку тут не пояснюватимуть. За цим – на відповідний розділ сайту. Але невеликі коментарі будуть. Рішення. Знаходимо визначник системи:
Невеликий коментар. У початковому визначнику з елементів другого рядка було віднято елементи четвертого рядка, з елементів третього рядка — елементи четвертого рядка, помноженого на 2, з елементів четвертого рядка — елементи першого рядка, помноженого на 2. Перетворення початкових визначників при трьох перших схемою. Знаходимо визначники при невідомих
Для перетворення визначника при четвертому невідомому з елементів першого рядка було віднято елементи четвертого рядка.
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, рішення системи - (1; 1; -1; -1).
Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
Найуважніші, мабуть, зауважили, що у статті не було прикладів розв'язання невизначених систем лінійних рівнянь. А все тому, що шляхом Крамера вирішити такі системи неможливо, можна лише констатувати, що система невизначена. Вирішення таких систем дає метод Гауса.
Немає часу вникати у рішення? Можна замовити роботу!
На початок сторінки
Пройти тест на тему Системи лінійних рівнянь
Інше на тему «Системи рівнянь і нерівностей»
Калькулятор - рішення систем рівнянь онлайн
Програмна реалізація методу Крамера на C++
Розв'язання систем лінійних рівнянь методом підстановки та методом додавання
Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса
Умова спільності системи лінійних рівнянь.
Теорема Кронекера-Капеллі
Вирішення систем лінійних рівнянь матричним методом (зворотної матриці)
Системи лінійних нерівностей та опуклі множини точок
Початок теми «Лінійна алгебра»
Визначники
У цій статті ми познайомимося з дуже важливим поняттям розділу лінійної алгебри, яке називається визначник.
Відразу хотілося б відзначити важливий момент: поняття визначник дійсне лише для квадратних матриць (число рядків = числу стовпців), в інших матриць його немає.
Визначник квадратної матриці(Детермінант) - чисельна характеристика матриці.
Позначення визначників: | A |, det A, ∆ A.
Визначником"n" порядку називають алгебраїчну суму всіх можливих творів його елементів, що задовольняють наступним вимогам:
1) Кожен такий твір містить рівно "n" елементів (тобто визначник 2 порядку - 2 елементи).
2) У кожному творі присутній як співмножник представник кожного рядка і кожного стовпця.
3) Будь-які два співмножники у кожному творі не можуть належати одному рядку або стовпцю.
Знак твору визначається порядком чергування номерів стовпців, якщо елементи розставлені в порядку зростання номерів рядків.
Розглянемо кілька прикладів знаходження детермінанту матриці:
У матриці першого порядку (тобто.
Лінійні рівняння. Вирішення систем лінійних рівнянь. Метод Крамер.
є всього 1 елемент), детермінант дорівнює цьому елементу:
2. Розглянемо квадратну матрицю другого порядку:
3. Розглянемо квадратну матрицю третього порядку (3×3):
4. А тепер розглянемо приклади із дійсними числами:
Правило трикутника.
Правило трикутника - це спосіб обчислення визначника матриці, який передбачає його знаходження за такою схемою:
Як ви вже зрозуміли, спосіб був названий правилом трикутника внаслідок того, що елементи матриці, що перемножуються, утворюють своєрідні трикутники.
Для того, щоб зрозуміти це краще, розберемо такий приклад:
А тепер розглянемо обчислення визначника матриці із дійсними числами правилом трикутника:
Для закріплення пройденого матеріалу вирішимо ще один практичний приклад:
Властивості визначників:
1. Якщо елементи рядка або стовпця дорівнюють нулю, то і визначник дорівнює нулю.
2. Визначник змінить знак, якщо поміняти місцями якісь 2 рядки або стовпці. Розглянемо це на невеликому прикладі:
3. Визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці.
4. Визначник дорівнює нулю, якщо елементи одного рядка дорівнюють відповідним елементам іншого рядка (для стовпців також). Найпростіший приклад цієї властивості визначників:
5. Визначник дорівнює нулю, якщо його 2 рядки пропорційні (також для стовпців). Приклад (1 та 2 рядок пропорційні):
6. Загальний умножувач рядка (стовпця) може бути винесений за знак визначника.
7) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на ту саму величину. Розглянемо це з прикладу:
Перегляди: 57258
Визначник (він же determinant (детермінант)) знаходиться лише у квадратних матриць. Визначник є ніщо інше, як значення, що поєднує в собі всі елементи матриці, що зберігається при транспонуванні рядків або стовпців. Позначатися він може як det(A), |А|, Δ(A), Δ, де А може бути як матрицею, так і літерою, що позначає її. Знайти його можна різними методами:
Усі запропоновані методи будуть розібрані на матрицях розміру від трьох і вище. Визначник двомірної матриці знаходиться за допомогою трьох елементарних математичних операцій, тому в жодний з методів знаходження визначника двомірної матриці не потрапить. Ну, крім як доповнення, але про це потім.
Знайдемо визначник матриці розміром 2х2:
Для того, щоб знайти визначник нашої матриці, потрібно відняти твір чисел однієї діагоналі з іншої, а саме, тобто
Приклади знаходження визначника матриць другого порядку
Розкладання рядком/стовпцем
Вибирається будь-який рядок або стовпець у матриці. Кожне число в обраній лінії множиться на (-1) i + j де (i, j - номер рядка, стовпця того числа) і перемножується з визначником другого порядку, складеного з елементів, що залишилися після викреслення i - рядки і j - стовпця. Розберемо на матриці
- Виберемо рядок/стовпець
Наприклад, візьмемо другий рядок.
Примітка: Якщо явно не вказано, за допомогою якої лінії знайти визначник, вибирайте ту лінію, у якої є нуль. Найменше буде обчислень.
- Складемо вираз
Не важко визначити, що знак числа змінюється через раз. Тому замість одиниць можна керуватися такою таблицею:
- Поміняємо знак у наших чисел
- Знайдемо визначники у наших матриць
- Вважаємо все це
Рішення можна написати так:
Приклади знаходження визначника розкладанням по рядку/стовпцю:
Метод приведення до трикутного виду (за допомогою елементарних перетворень)
Визначник знаходиться за допомогою приведення матриці до трикутного (ступінчастого) виду та перемноження елементів на головній діагоналі.
Трикутною матрицею називається матриця, елементи якої з одного боку діагоналі дорівнюють нулю.
При побудові матриці слід пам'ятати три прості правила:
- Щоразу при перестановці рядків між собою визначник змінює знак протилежний.
- При множенні/розподілі одного рядка на не нульове число, її слід розділити(якщо множили)/множити(якщо розділяли) на нього або ж зробити цю дію з отриманим визначником.
- При додаванні одного рядка помноженого на число до іншого рядка, визначник не змінюється (рядок, що множиться, приймає своє вихідне значення).
Спробуємо отримати нулі у першому стовпці, потім у другому.
Погляньмо на нашу матрицю:
Та-а-ак. Щоб обчислення були приємнішими, хотілося б мати найближче число зверху. Можна й кинути, але не треба. Окей, у нас у другому рядку двійка, а на першому чотири.
Поміняємо ж ці два рядки подекуди.
Поміняли рядки місцями, тепер ми повинні або змінити в одному рядку знак, або в кінці змінити знак у визначника.
Визначники. Обчислення визначників (стор. 2)
Зробимо це згодом.
Тепер, щоб отримати нуль у першому рядку - помножимо перший рядок на 2.
Віднімемо 1-й рядок із другого.
Відповідно до нашого 3-го правила повертаємо вихідний рядок у початкове положення.
Тепер зробимо нуль у 3-му рядку. Можемо примножити 1-ий рядок на 1.5 і відібрати від третього, але робота з дробами приносить мало задоволення. Тому знайдемо число, до якого можна привести обидва рядки – це 6.
Помножимо 3-й рядок на 2.
Тепер помножимо 1-й рядок на 3 і віднімемо з 3-го.
Повернемо наш 1-й рядок.
Не забуваймо, що множили 3-й рядок на 2, тому потім розділимо визначник на 2.
Один стовпець є. Тепер для того щоб отримати нулі в другому - забудемо про 1-й рядок - працюємо з 2-м рядком. Домножимо другий рядок на -3і додамо до третього.
Не забуваймо повернути другий рядок.
Ось ми й збудували трикутну матрицю. Що нам лишилося? А залишилося перемножити числа на головній діагоналі, чим і займемося.
Ну і залишилося згадати, що ми повинні розділити наш визначник на два і поміняти знак.
Правило Саррюса (Правило трикутників)
Правило Саррюса застосовується лише до квадратних матриць третього порядку.
Визначник обчислюється шляхом додавання перших двох стовпців праворуч від матриці, перемноженням елементів діагоналей матриці та їх складання, і віднімання суми протилежних діагоналей. З помаранчевих діагоналей віднімаємо фіолетові.
У правила трикутників те саме, тільки картинка інша.
Теорема Лапласа див. Розкладання рядком/стовпцем
Часто у ВНЗ трапляються завдання з вищої математики, в яких необхідно обчислити визначник матриці. До речі, визначник може бути лише у квадратних матрицях. Нижче розглянемо основні визначення, які властивості має визначник і як його правильно обчислити. Також на прикладах покажемо докладне рішення.
Що таке визначник матриці: обчислення визначника за допомогою визначення
Визначник матриці
Другого порядку – це число.
Визначник матриці позначається – (скорочено від латинської назви детермінант), або .
Якщо:, тоді виходить
Нагадаємо ще кілька допоміжних визначень:
Визначення
Упорядкований набір чисел, що складається з елементів, називається перестановкою порядку .
Для безлічі, що містить елементів є факторіал (n), який завжди позначається знаком оклику: . Перестановки відрізняються один від одного лише порядком прямування. Щоб вам було зрозуміліше, наведемо приклад:
Розглянемо безліч із трьох елементів (3, 6, 7). Усього перестановок 6, тому що .:
Визначення
Інверсія у перестановці порядку – це впорядкований набір чисел (його називають біекцією), де їх дві числа утворюють якийсь безлад. Це коли більша кількість чисел у цій перестановці розташована лівіше меншого числа.
Вище ми розглядали приклад із інверсією перестановки, де були числа . Так ось, візьмемо другий рядок, де судячи за даними числами виходить, що , а , тому що другий елемент більший за третій елемент . Візьмемо для порівняння шостий рядок, де розташовані числа: . Тут є три пари: , а так як title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}
Саму інверсію ми вивчати не будемо, а ось перестановки нам знадобляться у подальшому розгляді теми.
Визначення
Визначник матриці x – число:
– перестановка чисел від 1 до нескінченного числа, а – число інверсій у перестановці. Отже, в визначник входить доданків, які називаються “членами визначника”.
Можна обчислювати визначник матриці другого порядку, третього і четвертого. Також варто згадати:
Визначення
визначник матриці - це число, яке дорівнює
Щоб зрозуміти цю формулу, опишемо її докладніше. Визначник квадратної матриці x – це сума, що містить доданків, а кожне доданок є твором певної кількості елементів матриці. При цьому, у кожному творі є елемент кожного рядка і кожного стовпця матриці.
Перед певним доданком може з'явиться у тому випадку, якщо елементи матриці у творі йдуть по порядку (за номером рядок), а кількість інверсій у перестановці безліч номерів стовпців непарна.
Вище згадувалося у тому, що визначник матриці позначається чи , тобто, визначник часто називають детермінантом.
Отже, повернемося до формули:
З формули видно, що визначник матриці першого порядку - це елемент цієї матриці.
Обчислення визначника матриці другого порядку
Найчастіше практично визначник матриці вирішується методами другого, третього і рідше, четвертого порядку. Розглянемо, як обчислюється визначник матриці другого порядку:
У матриці другого порядку, звідси випливає, що факторіал. Перш ніж застосувати формулу
Необхідно визначити, які дані ми отримуємо:
2. перестановки множин: і;
3. кількість інверсій у перестановці : і , оскільки title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}
4. відповідні твори: і.
Виходить:
Виходячи з вищесказаного ми отримуємо формулу для обчислення визначника квадратної матриці другого порядку, тобто x:
Розглянемо на конкретному прикладі, як обчислювати визначник квадратної матриці другого порядку:
Приклад
Завдання
Обчислити визначник матриці x:
Рішення
Отже, у нас виходить , , , .
Для вирішення необхідно скористатися раніше розглянутою формулою:
Підставляємо числа з прикладу та знаходимо:
Відповідь
Визначник матриці другого порядку = .
Обчислення визначника матриці третього порядку: приклад та рішення за формулою
Визначення
Визначник матриці третього порядку - це число, отримане з дев'яти заданих чисел, розташованих у вигляді квадратної таблиці,
Визначник третього порядку перебуває майже як і, як і визначник другого порядку. Різниця лише у формулі. Тому якщо добре орієнтуватися у формулі, тоді і проблем з рішенням не буде.
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку *:
Виходячи з даної матриці, розуміємо, що відповідно факторіал = , а це означає, що всього перестановок виходить
Щоб застосувати правильно формулу, необхідно знайти дані:
Отже, всього перестановок безлічі:
Кількість інверсій у перестановці, а відповідні твори =;
Кількість інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}
Інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}
. ; інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; інверсій у перестановці title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}
Тепер у нас виходить:
Таким чином, у нас отримана формула для обчислення визначника матриці порядку x :
Знаходження матриці третього порядку за правилом трикутника (правило Саррюса)
Як мовилося вище, елементи визначника 3-го порядку розташовані у трьох рядках та трьох стовпцях. Якщо ввести позначку загального елемента , то перший елемент означає номер рядка, а другий елемент з індексів – номер стовпця. Є головна (елементи) та побічна (елементи) діагоналі визначника. Доданки у правій частині називаються членами визначника).
Видно, кожен член визначника перебуває у схемі лише з одному елементу у кожному рядку і кожного стовпця.
Обчислювати визначник можна за допомогою правила прямокутника, зображеного у вигляді схеми. Червоним кольором виділено члени визначника з елементів головної діагоналі, а також члени з елементів, що знаходяться у вершині трикутників, що мають по одній стороні, паралельні головній діагоналі (ліва схема), беруться зі знаком .
Члени із синіми стрілками з елементів побічної діагоналі, а також із елементів, що знаходяться у вершинах трикутників, що мають сторони, паралельні побічній діагоналі (права схема) беруться зі знаком .
На наступному прикладі навчимося, як обчислювати визначник квадратної матриці третього порядку.
Приклад
Завдання
Обчислити визначник матриці третього порядку:
Рішення
У цьому прикладі:
Обчислюємо визначник, застосовуючи формулу або схему, що розглядалися вище:
Відповідь
Визначник матриці третього порядку =
Основні властивості визначників матриці третього порядку
На підставі попередніх визначень та формул розглянемо основні властивості визначника матриці.
1. Розмір визначника не зміниться під час заміни відповідних рядків, стовпців (така заміна називається транспонуванням).
На прикладі переконаємося, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці:
Згадаймо формулу для обчислення визначника:
Транспонуємо матрицю:
Обчислюємо визначник транспонованої матриці:
Ми переконалися, що визначник транспортованої матриці дорівнює вихідній матриці, що говорить про правильне рішення.
2. Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями будь-які два його стовпці або два рядки.
Розглянемо з прикладу:
Дано дві матриці третього порядку ( x ):
Потрібно показати, що визначники цих матриць протилежні.
Рішення
У матриці і в матриці змінилися рядки (третій з першої, і з першої на третю). Відповідно до другої властивості визначники двох матриць повинні відрізнятися знаком. Тобто одна матриця з позитивним знаком, а друга – з негативним. давайте перевіримо цю властивість, застосувавши формулу для обчислення визначника.
Властивість правильна, тому що .
3. Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому є однакові відповідні елементи у двох рядках (стовпцях). Нехай у визначника однакові елементи першого та другого стовпців:
Помінявши місцями однакові стовпці, ми, згідно з властивістю 2, отримаємо новий визначник: = . З іншого боку, новий визначник збігається з початковим, оскільки однакові відповіді є елементами, тобто = . З цих рівностей ми виходить: = .
4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) нулі. Це твердження випливає з того, що у кожного члена визначника за формулою (1) є по одному, і лише по одному елементу з кожного рядка (стовпця), у якого одні нулі.
Розглянемо з прикладу:
Покажемо, що визначник матриці дорівнює нулю:
У нашій матриці є два однакові стовпці (другий і третій), тому, виходячи з цієї властивості, визначник повинен дорівнювати нулю. Перевіримо:
Визначник матриці з двома однаковими стовпцями дорівнює нулю.
5. Загальний множник елементів першого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника:
6. Якщо елементи одного рядка або одного стовпця визначника пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), такий визначник дорівнює нулю.
Дійсно, за властивістю 5 коефіцієнт пропорційності можна винести за знак визначника і тоді скористатися властивістю 3.
7. Якщо кожен з елементів рядків (стовпців) визначника є сумою двох доданків, цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників:
Для перевірки достатньо записати в розгорнутому вигляді по (1) визначник, що в лівій частині рівності, тоді окремо згрупувати члени, в яких містяться елементи і . Кожна з отриманих груп доданків буде відповідно першим та другим визначником з правої частини рівності.
8. Значення визначення не зміняться, якщо до елемента одного рядка або одного стовпця додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на те саме число:
Ця рівність виходить виходячи з властивостей 6 та 7.
9. Визначник матриці , , дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка або стовпця на їх додатки алгебри.
Тут мається на увазі алгебраїчне доповнення елемента матриці. За допомогою цієї властивості можна обчислювати не тільки матриці третього порядку, але і матриці вищих порядків ( x або x ). Іншими словами - це рекурентна формула, яка потрібна для того, щоб обчислити визначник матриці будь-якого порядку. Запам'ятайте її, оскільки вона часто застосовується практично.
Варто сказати, що з допомогою дев'ятого якості можна обчислювати визначники матриць як четвертого порядку, а й вищих порядків. Однак, при цьому потрібно робити дуже багато обчислювальних операцій і бути уважним, тому що найменша помилка у знаках призведе до неправильного рішення. Матриці вищих порядків найзручніше вирішувати методом Гауса, і про це поговоримо пізніше.
10. Визначник добутку матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників.
Розглянемо з прикладу:
Приклад
Завдання
Переконайтеся, що визначник двох матриць дорівнює твору їх визначників. Дано дві матриці:
Рішення
Спочатку знаходимо твір визначників двох матриць та .
Тепер виконаємо множення обох матриць і таким чином обчислимо визначник:
Відповідь
Ми переконалися, що
Обчислення визначника матриці за допомогою методу Гауса
Визначник матриціоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру
У випадку правило обчислення визначників $n$-го порядку є досить громіздким. Для визначників другого та третього порядку існують раціональні способи їх обчислень.
Обчислення визначників другого порядку
Щоб обчислити визначник матриці другого порядку, треба від добутку елементів головної діагоналі відібрати добуток елементів побічної діагоналі:
$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$
Приклад
Завдання.Обчислити визначник другого порядку $ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$
Рішення.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $
Відповідь.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$
Методи обчислення визначників третього порядку
Для обчислення визначників третього порядку існують такі правила.
Правило трикутника
Схематично це правило можна зобразити так:
Добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "плюс"; аналогічно, другого визначника - відповідні твори беруться зі знаком " мінус " , тобто.
$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$
$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$
Приклад
Завдання.Обчислити визначник $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | $ методом трикутників.
Рішення.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Відповідь.
Правило Саррюса
Праворуч від визначника дописують перші два стовпці та твори елементів на головній діагоналі та на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком "плюс"; а твори елементів побічної діагоналі та діагоналей, їй паралельних, зі знаком "мінус":
$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$
Приклад
Завдання.Обчислити визначник $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ за допомогою правила Саррюса.
Рішення. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$
Відповідь.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | = 54 $
Розкладання визначника по рядку або стовпцю
Визначник дорівнює сумі творів елементів рядка визначника на їх додатки алгебри . Зазвичай вибирають той рядок/стовпець, у якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, буде позначати стрілкою.
Приклад
Завдання.Розклавши по першому рядку, обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$
Рішення.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$
$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$
Відповідь.
Цей метод дозволяє обчислення визначника звести до обчислення визначника нижчого порядку.
Приклад
Завдання.Обчислити визначник $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$
Рішення.Виконаємо наступні перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перші, а з третього перший рядок, помножений на сім, в результаті, згідно з властивостями визначника, отримаємо визначник, рівний даному.
$$\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$
$$=\left| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$
Визначник дорівнює нулю, тому що другий і третій рядки є пропорційними.
Відповідь.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$
Для обчислення визначників четвертого порядку та вище застосовується або розкладання рядком/стовпцем, або приведення до трикутного вигляду, або за допомогою теореми Лапласа.
Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця
Приклад
Завдання.Обчислити визначник $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , розклавши його за елементами якогось рядка або якогось стовпця.
Рішення.Попередньо виконаємо елементарні перетворення над рядками визначника , зробивши якнайбільше нулів або в рядку, або в стовпці. Для цього спочатку від першого рядка віднімемо дев'ять третіх, від другого - п'ять третіх і від четвертого - три треті рядки, отримуємо:
$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$
Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:
$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$
Отриманий визначник третього порядку також розкладемо елементами рядка і стовпця, попередньо отримавши нулі, наприклад, у першому стовпці. Для цього від першого рядка віднімаємо два другі рядки, а від третього - другий:
$$\left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Відповідь.$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$
Зауваження
Останній і передостанній визначники можна було б і не обчислювати, а відразу зробити висновок про те, що вони дорівнюють нулю, оскільки містять пропорційні рядки.
Приведення визначника до трикутного вигляду
За допомогою елементарних перетворень над рядками або стовпцями визначник наводиться до трикутного вигляду і тоді його значення, згідно з властивостями визначника, дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.
Приклад
Завдання.Обчислити визначник $ Delta = left | \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ приведенням його до трикутного вигляду.
Рішення.Спочатку робимо нулі у першому стовпці під головною діагоналлю. Усі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент $a_(11)$ дорівнюватиме 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:
$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$
$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$
Далі отримуємо нулі у другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент дорівнюватиме $\pm 1$ , то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другий і третій рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):
$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$
Програми
