Як знайти суму перших. Сума арифметичної прогресії

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №3

Знайти суму ряду $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Складемо n-ю часткову суму низки, тобто. підсумуємо перші $n$ членів заданого числового ряду:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9cdot 11)+ldots+frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Чому я пишу саме $\frac(2)(3\cdot 5)$, а не $\frac(2)(15)$, буде ясно з подальшої розповіді. Проте запис часткової суми ні на йоту не наблизив нас до мети. Адже нам потрібно знайти $\lim_(n\to\infty)S_n$, але якщо ми просто запишемо:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

то цей запис, абсолютно вірний за формою, нічого нам не дасть по суті. Щоб знайти межу, вираз часткової суми попередньо потрібно спростити.

Для цього є стандартне перетворення, що полягає у розкладанні дробу $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, яка представляє загальний член ряду, елементарні дроби. Питання розкладання раціональних дробів на елементарні присвячено окрему тему (див., наприклад, приклад №3 на цій сторінці). Розкладаючи дріб $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ на елементарні дроби, матимемо:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Прирівнюємо чисельники дробів у лівій та правій частинах отриманої рівності:

$$ 2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1). $$

Щоб знайти значення $A$ та $B$ є два шляхи. Можна розкрити дужки та перегрупувати доданки, а можна просто підставити замість $n$ якісь відповідні значення. Суто для різноманітності в цьому прикладі підемо першим шляхом, а наступному будемо підставляти приватні значення $ n $. Розкриваючи дужки та перегруповуючи доданки, отримаємо:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B; 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

У лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль. Якщо завгодно, ліву частину рівності для наочності можна як $0\cdot n+ 2$. Так як у лівій частині рівності перед $n$ стоїть нуль, а в правій частині рівності перед $n$ стоїть $2A+2B$, то маємо перше рівняння: $2A+2B=0$. Відразу розділимо обидві частини цього рівняння на 2, отримавши $A+B=0$.

Оскільки лівої частини рівності вільний член дорівнює 2, а правої частини рівності вільний член дорівнює $3A+B$, то $3A+B=2$. Отже, маємо систему:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Доказ проводитимемо методом математичної індукції. На першому кроці потрібно перевірити, чи виконано доведену рівність $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ при $n=1$. Ми знаємо, що $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, але чи дасть вираз $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ значення $\frac(2 ) (15) $, якщо підставити в нього $ n = 1 $? Перевіримо:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-frac(1)(5)=frac(5-3)(15)=frac(2)(15). $$

Отже, при $n=1$ рівність $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ виконано. У цьому перший крок методу математичної індукції закінчено.

Припустимо, що з $n=k$ рівність виконано, тобто. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Доведемо, що ця ж рівність буде виконано за $n=k+1$. Для цього розглянемо $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Оскільки $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, то $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1)-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Відповідно до зробленого вище припущенню $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, тому формула $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ набуде вигляду:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=frac(1)(3)-frac(1)(2(k+1)+3). $$

Висновок: формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ правильна при $n=k+1$. Отже, згідно з методом математичної індукції, формула $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ вірна за будь-якого $n\in N$. Рівність доведена.

У стандартному курсі вищої математики зазвичай задовольняються "викреслюванням" доданків, що скорочуються, не вимагаючи жодних доказів. Отже, ми отримали вираз для n-ї часткової суми: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Знайдемо значення $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Висновок: заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.

Другий спосіб спрощення формули для часткової суми.

Чесно кажучи, я сам віддаю перевагу саме цьому способу:) Давайте запишемо часткову суму в скороченому варіанті:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Ми отримали раніше, що $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, тому:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Сума $S_n$ містить кінцеву кількість доданків, тому ми можемо переставляти їх так, як нам заманеться. Я хочу спочатку скласти всі доданки виду $\frac(1)(2k+1)$, а потім переходити до доданків виду $\frac(1)(2k+3)$. Це означає, що часткову суму ми представимо в такому вигляді:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Звичайно, розгорнутий запис вкрай незручний, тому представлена вище рівність можна оформити компактніше:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Тепер перетворюємо вирази $\frac(1)(2k+1)$ і $\frac(1)(2k+3)$ одного виду. Я вважаю зручним приводити до вигляду більшого дробу (хоча можна і до меншого, це справа смаку). Оскільки $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (чим більше знаменник, тим менший дріб), то будемо наводити дріб $\frac(1)(2k+3) $ на вигляд $\frac(1)(2k+1)$.

Вираз у знаменнику дробу $\frac(1)(2k+3)$ я представлю в такому вигляді:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

І суму $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ тепер можна записати так:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Якщо рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1)$ не викликає питань, то ходімо далі. Якщо ж питання є, прошу розгорнути примітку.

Як ми отримали перетворену суму? показати/сховати

У нас був ряд $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Давайте замість $k+1$ введемо нову змінну, наприклад $t$. Отже, $ t = k + 1 $.

Як змінювалася стара змінна $k$? А змінювалася вона від 1 до $ n $. Давайте з'ясуємо, як буде змінюватися нова змінна $t$. Якщо $k=1$, то $t=1+1=2$. Якщо $k=n$, то $t=n+1$. Отже, вираз $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ тепер став таким: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

У нас є сума $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Питання: а чи не все одно, яку літеру використовувати у цій сумі? :) Банально записуючи букву $k$ замість $t$, отримаємо наступне:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Отак і виходить рівність $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$.

Таким чином, часткову суму можна подати у такому вигляді:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Зауважте, що суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ і $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ відрізняються лише межами підсумовування. Зробимо ці межі однаковими. "Забираючи" перший елемент із суми $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ будемо мати:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Забираючи" останній елемент із суми $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, отримаємо:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3).$$

Тоді вираз для часткової суми набуде вигляду:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Якщо пропустити всі пояснення, то процес знаходження скороченої формули для n-ї часткової суми набуде такого вигляду:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+frac(1)(2n+3)right)=frac(1)(3)-frac(1)(2n+3). $$

Нагадаю, що ми наводили дріб $\frac(1)(2k+3)$ на вигляд $\frac(1)(2k+1)$. Вочевидь, можна і навпаки, тобто. уявити дріб $\frac(1)(2k+1)$ як $\frac(1)(2k+3)$. Кінцевий вираз для часткової суми не зміниться. Процес знаходження часткової суми в цьому випадку я приховаю під примітку.

Як знайти $S_n$, якщо приводити до вигляду іншого дробу? показати/сховати

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3). $$

Отже, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Знаходимо межу $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Заданий ряд сходиться і його сума $S=\frac(1)(3)$.

Відповідь: $S=\frac(1)(3)$.

Продовження теми знаходження суми ряду буде розглянуто у другій та третій частинах.

Перш ніж ми почнемо вирішувати завдання на арифметичну прогресіюРозглянемо, що таке числова послідовність, оскільки арифметична прогресія - це окремий випадок числової послідовності.

Числова послідовність – це числове безліч, кожен елемент якого має свій порядковий номер. Елементи цієї множини називаються членами послідовності. Порядковий номер елемента послідовності позначається індексом:

Перший елемент послідовності;

П'ятий елемент послідовності;

- "енний" елемент послідовності, тобто. елемент, "стоячий черги" під номером n.

Між значенням елемента послідовності та його порядковим номером існує залежність. Отже, можна розглядати послідовність як функцію, аргументом якої є порядковий номер елемента послідовності. Тобто можна сказати, що послідовність – це функція від натурального аргументу:

Послідовність можна задати трьома способами:

1 . Послідовність можна поставити за допомогою таблиці.І тут ми просто задаємо значення кожного члена послідовності.

Наприклад, Хтось вирішив зайнятися особистим тайм-менеджментом і для початку порахувати протягом тижня, скільки часу він проводить ВКонтакте. Записуючи час у таблицю, він отримає послідовність, що складається із семи елементів:

У першому рядку таблиці вказано номер дня тижня, у другому – час у хвилинах. Ми бачимо, що , тобто в понеділок хтось провів ВКонтакте 125 хвилин, тобто в четвер - 248 хвилин, а , тобто в п'ятницю всього 15 хвилин.

2 . Послідовність можна поставити за допомогою формули n-го члена.

І тут залежність значення елемента послідовності з його номера виражається безпосередньо як формули.

Наприклад, якщо , то

Щоб знайти значення елемента послідовності із заданим номером, ми номер елемента підставляємо формулу n-го члена.

Те саме ми робимо, якщо потрібно знайти значення функції, якщо відомо значення аргументу. Ми значення аргументу підставляємо замість рівняння функції:

Якщо, наприклад, , то

Ще раз зауважу, що у послідовності, на відміну довільної числової функції, аргументом може лише натуральне число.

3 . Послідовність можна встановити за допомогою формули, що виражає залежність значення члена послідовності з номером n від значення попередніх членів. У цьому випадку нам недостатньо знати лише номер члена послідовності, щоб знайти його значення. Нам потрібно встановити перший член або кілька перших членів послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність ,

Ми можемо знаходити значення членів послідовності один за іншим, починаючи з третього:

Тобто кожен раз, щоб знайти значення n-го члена послідовності, ми повертаємось до двох попередніх. Такий спосіб завдання послідовності називається рекурентнимвід латинського слова recurro- Повертатися.

Тепер ми можемо надати визначення арифметичної прогресії. Арифметична прогресія - це простий окремий випадок числової послідовності.

Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

Число називається різницею арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії може бути позитивною, негативною або рівною нулю.

Якщо title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} зростаючою.

Наприклад, 2; 5; 8; 11;...

Якщо , то кожен член арифметичної прогресії менший за попередній, і прогресія є спадаючою.

Наприклад, 2; -1; -4; -7;...

Якщо , то всі члени прогресії дорівнюють одному й тому ж числу, і прогресія є стаціонарний.

Наприклад, 2;2;2;2;...

Основна властивість арифметичної прогресії:

Подивимося на рисунок.

Ми бачимо, що

, у той же час

Склавши ці дві рівності, отримаємо:

Розділимо обидві частини рівності на 2:

Отже, кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх:

Більше того, оскільки

, у той же час

, то

, і, отже,

Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула члена.

Ми бачимо, що для членів арифметичної прогресії виконуються співвідношення:

і наприкінці,

Ми отримали формулу n-го члена.

ВАЖЛИВО!Будь-який член арифметичної прогресії можна виразити через і. Знаючи перший член і різницю арифметичної прогресії можна знайти її член.

Сума n членів арифметичної прогресії.

У довільній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від крайніх рівні між собою:

Розглянемо арифметичну прогресію, у якій n членів. Нехай сума n членів цієї прогресії дорівнює.

Розташуємо члени прогресії спочатку у порядку зростання номерів, а потім у порядку зменшення:

Складемо попарно:

Сума в кожній дужці дорівнює, число пар дорівнює n.

Отримуємо:

Отже, суму n членів арифметичної прогресії можна знайти за формулами:

Розглянемо вирішення задач на арифметичну прогресію.

1 . Послідовність задана формулою n-го члена: . Доведіть, що ця послідовність є арифметичною прогресією.

Доведемо, що різниця між двома сусідніми членами послідовності дорівнює тому самому числу.

Ми отримали, що різниця двох сусідніх членів послідовності не залежить від їхнього номера і є константою. Отже, за визначенням, ця послідовність є арифметичною прогресією.

2 . Дана арифметична прогресія -31; -27;

а) Знайдіть 31 член прогресії.

б) Визначте, чи входить до цієї прогресії число 41.

а)Ми бачимо, що ;

Запишемо формулу n-го члена нашої прогресії.

У загальному випадку

У нашому випадку тому

Сума арифметичної прогресії.

Сума арифметичної прогресії – штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання на цю тему бувають усілякі. Від елементарних до цілком солідних.

Спочатку розберемося зі змістом та формулою суми. А потім і вирішуємо. На своє задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії, треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без жодних формул. Але якщо багато, або дуже багато... додавання напружує.) У цьому випадку рятує формула.

Формула суми виглядає просто:

Розберемося, що за літери входять у формулу. Це багато чого прояснить.

S n - Сума арифметичної прогресії. Результат додавання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. Складаються саме Усечлени поспіль, без перепусток та перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)

a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першеЧисло ряду.

a n- Останнійчлен прогресії. Остання кількість ряду. Не дуже звична назва, але, стосовно суми, дуже годиться. Далі самі побачите.

n - Номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю членів, що складаються.

Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)

Для впевненої відповіді слід розуміти елементарний сенс арифметичної прогресії та... уважно читати завдання!)

У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.

Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена з номером n.Власне, повна назва формули виглядає так: сума n перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих перших членів, тобто. n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація часто зашифровується, так ... Але нічого, у прикладах нижче ми ці секрети розкриваємо.)

Приклади завдань у сумі арифметичної прогресії.

Насамперед, корисна інформація:

Основна складність у завданнях у сумі арифметичної прогресії полягає у правильному визначенні елементів формули.

Ці елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, просто їх розшифрувати. Докладно розберемо кілька прикладів. Почнемо із завдання на основі реального ДІА.

1. Арифметична прогресія задана умовою: an = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.

Гарне завдання. Легке.) Нам визначення суми за формулою чого треба знати? Перший член a 1, останній член a n, та номер останнього члена n.

Де взяти номер останнього члена n? Та там же, за умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Отже, замість a nу формулу будемо підставляти a 10, а замість n- десятку. Повторюю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.

Залишилось визначити a 1і a 10. Це легко вважається за формулою n-го члена, яка дана за умови завдання. Чи не знаєте, як це зробити? Завітайте на попередній урок, без цього - ніяк.

a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:

Ось і всі справи. Відповідь: 75.

Ще завдання з урахуванням ГИА. Трохи складніше:

2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.

Відразу пишемо формулу суми:

Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за номером. Шукаємо простою підстановкою:

a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1

Залишилося підставити всі елементи у формулу суми арифметичної прогресії та порахувати відповідь:

Відповідь: 423.

До речі, якщо у формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:

Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:

Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких завданнях ця формула чудово рятує, так... Можна цю формулу запам'ятати. А можна потрібний момент її просто вивести, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена треба пам'ятати.)

Тепер завдання у вигляді короткого шифрування):

3. Знайти суму всіх позитивних двоцифрових чисел, кратних трьом.

Ось як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі... Як жити?

Прийде думати головою і витягувати з умови всі елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двоцифрові числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, треба думати.) А останнєдвоцифрове число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть...

Кратні трьом... Гм... Це такі числа, що діляться на три націло, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться... 12... ділиться! Так, дещо вимальовується. Вже можна записати ряд за умовою завдання:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звичайно! Кожен член відрізняється від попереднього на трійку. Якщо члену додати 2, чи 4, скажімо, результат, тобто. нове число, що вже не поділиться націло на 3. До купи можна відразу і різницю арифметичної прогресії визначити: d=3.Стане в нагоді!)

Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:

А який буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 – фатально помиляється... Номери – вони завжди підряд йдуть, а члени у нас – через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.

Тут два шляхи вирішення. Один шлях – для надпрацьовитих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати кількість членів.) Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, то отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто. n = 30.

Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:

Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови завдання все необхідне розрахунку суми:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа у формулу та вважаємо:

Відповідь: 1665

Ще один тип популярних завдань:

4. Дана арифметична прогресія:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Знайти суму членів із двадцятого по тридцять четвертий.

Дивимося на формулу суми і... засмучуємось.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в завданні треба рахувати суму з двадцятого...Чи не спрацює формула.

Можна, звичайно, розписати всю прогресію до ряду, та поскладувати члени з 20 по 34. Але... якось тупо і довго виходить, правда?)

Є більш елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена до дев'ятнадцятого.Друга частина - з двадцятого до тридцять четвертого.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів першої частини S 1-19, так складемо із сумою членів другої частини S 20-34, отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обидві суми у правій частині вважаються з першогочлена, тобто. до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?

Витягуємо з умови завдання парметри прогресії:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Для розрахунку сум перших 19 та перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й та 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як у задачі 2:

a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28

Залишається нічого. Від суми 34 членів відібрати суму 19 членів:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Відповідь: 262,5

Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували те, що, здавалося б, не потрібне - S 1-19 .А вже потім визначили і S 20-34відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" часто рятує в злих завданнях.)

У цьому уроці ми розглянули завдання, на вирішення яких досить розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.

Практична порада:

При розв'язанні будь-якого завдання на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві основні формули цієї теми.

Формулу n-го члена:

Ці формули одразу підкажуть, що потрібно шукати, у якому напрямку думати, щоб вирішити завдання. Допомагає.

А тепер – завдання для самостійного вирішення.

5. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які не діляться націло на три.

Круто?) Підказка прихована у зауваженні до завдання 4. Та й завдання 3 допоможе.

6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.

Незвично?) Це рекурентна формула. Про неї можна прочитати у попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА часто зустрічаються.

7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати найулюбленішій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити гарно, ні в чому не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а кожен наступний день витрачати на 50 рублів більше, ніж у попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?

Складно?) Допоможе додаткова формула із завдання 2.

Відповіді (безладно): 7, 3240, 6.