Властивості інтегралів метод заміни змінної. Ця формула називається формули заміни змінної у певному інтегралі. Алгоритм методу заміни змінної

2. Заміна змінної (метод підстановки)

Суть методу підстановки у тому, що у результаті запровадження нової змінної заданий складнийінтеграл наводиться до табличного або такого, прийом обчислення якого відомий.

Нехай потрібно обчислити інтеграл. Існує два правила підстановки:

Загального правила добору функції
не існує, але є кілька типів підінтегральних функцій, для яких є рекомендації щодо підбору функції
.

Заміну змінних можна застосовувати кілька разів, доки не буде отримано результату.

приклад 1. Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
.

Рішення.

а) Серед табличних інтегралів немає які містять радикали різних ступенів, тому «хочеться позбутися», перш за все, від
і
. Для цього потрібно замінити хтаким виразом, з якого легко витягувалися б обидва корені:

б) Типовий приклад, коли виникає бажання «позбутися» показової функції
. Але в даному випадку зручніше за нову змінну взяти весь вираз, що стоїть у знаменнику дробу:

;

в) Помічаючи, що у чисельнику стоїть твір
, що є частиною диференціалу підкореного виразу, замінимо все це вираз нової змінної:

;

г) Тут, як і у випадку а), хочеться позбавитися радикала. Але оскільки, на відміну від пункту а), тут лише один корінь, то саме його і замінимо на нову змінну:

д) Тут вибору заміни сприяють дві обставини: з одного боку інтуїтивне бажання позбавитися логарифмів, з іншого боку – наявність виразу , що є диференціалом функції
. Але так само як і в попередніх прикладах, у заміну краще включити і супутні логарифму константи:

е) Тут, як і в попередньому прикладі, інтуїтивне бажання позбутися громіздкого показника в підінтегральній функції узгоджується з відомим фактом:
(Формула 8 таблиці 3). Тому маємо:

Заміна змінних для деяких класів функцій

Розглянемо деякі класи функцій, котрим можуть бути рекомендовані певні підстановки.

Таблиця 4.Раціональні функції

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
1.1.
1.2.
1.3.	Виділення повного квадрата:
1.4.	Рекурентна формула

Трансцендентні функції:

1.5.
- Підстановка t = e x ;

1.6.
- Підстановка t= log a x.

приклад 2.Знайти інтеграли від раціональних функцій:

а)
; б)
;

в)
; д)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл немає необхідності обчислювати за допомогою заміни змінних, тут простіше використовувати підведення під знак диференціалу:

б) Аналогічно, використовуємо підведення під знак диференціалу:

;

в) Перед нами інтеграл типу 1.3 таблиці 4, скористаємося відповідними рекомендаціями:

д) Аналогічно попередньому прикладу:

Приклад 3.Знайти інтеграли

а)
; б)
.

Рішення.

б) Підінтегральний вираз містить логарифм, тому скористаємося рекомендацією 1.6. Тільки в цьому випадку зручніше замінити не просто функцію
, а все підкорене вираз:

Таблиця 6. Тригонометричні функції (R

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
3.1.	Універсальна підстановка , , ,
3.1.1. , якщо	Підстановка
3.1.2. , якщо	Підстановка .
3.1.3. . , якщо (тобто є лише парні ступені функцій )	Підстановка
3.2.	Якщо - непарне, то див. 3.1.1; якщо - непарне, то див. 3.1.2; якщо – парне, див. 3.1.3; якщо – парні, то використовувати формули зниження ступеня ,
3.3. , ,	Використати формули

Приклад 4.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
; д)
.

Рішення.

а) Тут інтегруємо тригонометричну функцію. Застосуємо універсальну підстановку (таблиця 6, 3.1):

б) Тут також застосуємо універсальну підстановку:

Зауважимо, що у розглянутому інтегралі заміну змінних довелося застосувати двічі.

в) Обчислюємо аналогічно:

д) Розглянемо два прийоми обчислення даного інтегралу.

Як бачимо, отримали різні функції-первоподібні. Це не означає, що один із використаних прийомів дає невірний результат. Справа в тому, що використовуючи відомі тригонометричні тотожності, що пов'язують тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута, маємо

Таким чином, знайдені первісні збігаються один з одним.

Приклад 5.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
; г)
.

Рішення.

а) У цьому інтегралі також можна застосувати універсальну підстановку
, але оскільки косинус, що входить у підінтегральну функцію – парною мірою, то раціональніше використовувати рекомендації пункту 3.1.3 таблиці 6:

б) Спочатку наведемо всі тригонометричні функції, що входять до підінтегрального виразу до одного аргументу:

В отриманому інтегралі можна застосувати універсальну підстановку, але зауважуємо, що підінтегральна функція не змінює знак при зміні символів синуса та косинуса:

Отже, функція має властивості, зазначені в пункті 3.1.3 таблиці 6, тому найбільш зручною буде підстановка
. Маємо:

в) Якщо в заданій підінтегральній функції змінити знак у косинуса, то вся функція змінює символ:

Отже, підінтегральна функція має властивість, описану в пункті 3.1.2. Отже, раціонально скористатися підстановкою
. Але колись, як і в попередньому прикладі, перетворимо підінтегральну функцію:

г) Якщо в заданій підінтегральній функції поміняти знак у синуса, то вся функція поміняє знак, отже, маємо випадок, описаний у пункті 3.1.1 таблиці 6, тому новою змінною потрібно позначити функцію
. Але оскільки в підінтегральному вираженні не спостерігається наявність функції
, ні її диференціала, попередньо перетворимо:

Приклад 6.Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
г)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл відноситься до інтегралів виду 3.2 таблиці 6. Оскільки синус у непарній мірі, то згідно з рекомендаціями, зручно замінити функцію
. Але спочатку перетворимо підінтегральну функцію:

б) Цей інтеграл відноситься до того ж типу, що і попередній, але тут функції
і
мають парні ступеня, тому необхідно застосувати формули зниження ступеня:
,
. Отримаємо:

в) Перетворимо функцію:

г) Згідно з рекомендаціями 3.1.3 таблиці 6, в даному інтегралі зручно зробити заміну
. Отримаємо:

Таблиця 5.Ірраціональні функції (R- Раціональна функція своїх аргументів)

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
	Підстановка , де k – спільний знаменник дробів …, .
	Підстановка , де k-Спільний знаменник дробів …,
2.3.	Підстановка, , де k- загальний знаменник дробів-показників …,
2.4.	Підстановка .
2.5.	Підстановка ,
2.6.	Підстановка , .
2.7.	Підстановка , .
2.8. (диференціальний біном), інтегрується лише у трьох випадках: а) р- ціле (підстановка х = t k, де k- загальний знаменник дробів ті п); б) - ціле (заміна = t k, де k-Знаменник дробу р); в) - ціле (заміна = t k, де k-Знаменник дробу р).

Приклад 7.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл можна віднести до інтегралів виду 2.1, тому виконаємо відповідну підстановку. Нагадаємо, що сенс заміни в цьому випадку полягає в тому, щоб позбавитися ірраціональності. А це означає, що замінити слід підкорене вираз таким ступенем нової змінної, з якої витягувалися б всі наявні під інтегралом коріння. У нашому випадку це очевидно :

Під інтегралом вийшов неправильний раціональний дріб. Інтегрування таких дробів передбачає насамперед виділення цілої частини. Тому розділимо чисельник на знаменник:

Тоді отримуємо
, звідси

Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням

вдається не завжди. Одним з найефективніших прийомів

є метод підстановки чи заміни змінної інтегрування.

Сутність цього методу полягає в тому, що шляхом введення нової змінної інтегрування вдається звести заданий інтеграл

нового інтеграла, який береться безпосереднім інтегруванням.

Розглянемо цей метод:

Нехай – безперервна функція

необхідно знайти: (1)

Зробимо заміну змінної інтегрування:

де φ (t) - монотонна функція, яка має безперервну похідну

та існує складна функція f(φ(t)).

Застосувавши до F(х) = F(φ(t)) формулу диференціювання складної

функції, отримаємо:

﴾F(φ(t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′(t)

Але F′(x) = f(x) = f(φ(t)), тому

﴾F(φ(t))﴿′ = f(φ(t)) ∙ φ′(t) (3)

Таким чином, функція F(φ(t)) є первинною для функції

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), тому:

∫ f(φ(t)) ∙ φ′(t) dt = F(φ(t)) + C (4)

Враховуючи, що F(φ(t)﴿ = F(x), із (1) та (4) слідує формула заміни

змінної у невизначеному інтегралі:

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ′(t)dt (5)

Формально формула (5) виходить заміною х на φ(t) та dх на φ′(t)dt

В отриманому після інтегрування за формулою (5) результат слід

перейти знову до змінної x. Це завжди можливо, тому що за при-

ложению функція х = φ (t) монотонна.

Вдалий вибір підстановки зазвичай представляє відомі труд-

ності. Для їх подолання необхідно опанувати техніку дифферен-

чення та добре знати табличні інтеграли.

Але все ж таки можна встановити ряд загальних правил та деяких прийомів

інтегрування.

Правила інтегрування способом підстановки:

1. Визначають, до якого табличного інтеграла наводиться даний інтеграл (попередньо перетворивши підінтегральний вираз, якщо потрібно).

2. Визначають, яку частину підінтегральної функції слід замінити

нової змінної, та записують цю заміну.

3. Знаходять диференціали обох частин запису і виражають диференці-

циал старої змінної (або вираз, що містить цей диффе-

ренціал) через диференціал нової змінної.

4. Виробляють заміну під інтегралом.

5. Знаходять отриманий інтеграл.

6. В результаті переходять до старої змінної.

Приклади рішення інтегралів способом підстановки:

1. Знайти: ∫ х²(3+2х) dx

Рішення:

зробимо підстановку 3+2х = t

Знайдемо диференціал обох частин підстановки:

6x dx = dt, звідки

Отже:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Замінивши t на його вираз із підстановки, отримаємо:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + С

Рішення:

= = ∫ е = е + C = е + C

Рішення:

Поняття певного інтегралу.

Різниця значень для будь-якої первинної функції при зміні аргументу від називається певний інтегралом цієї функції в межах від а до b і позначається:

а і b називаються нижньою та верхньою межами інтегрування.

Щоб обчислити певний інтеграл, потрібно:

1. Знайти відповідний невизначений інтеграл

2. Підставити в отриманий вираз замість х спочатку верхню межу інтегрування, а потім нижню – а.

3. З першого результату підстановки відняти другий.

Коротко це правило записується у вигляді формул так:

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца.

Основні властивості певного інтегралу:

1. , де K = const

3. Якщо , то

4. Якщо функція невід'ємна на відрізку , де , то

При заміні у певному інтегралі старої змінної інтегрування на нову необхідно старі межі інтегрування замінити на нові. Ці нові межі визначаються обраною підстановкою.

Застосування певного інтегралу.

Площа криволінійної трапеції обмеженою кривою, віссю абсцис та двома прямими іобчислюється за такою формулою:

Об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженою кривою , що не змінює свій знак на , віссю абсцис і двома прямими іобчислюється за такою формулою:

За допомогою певного інтеграла можна вирішувати і низку фізичних завдань.

Наприклад:

Якщо швидкість прямолінійно рухається тіла є відомою функцією часу t, шлях S, пройдений цим тілом з моменту часу t = t 1 до моменту часу t = t 2 визначається формулою:

Якщо змінна сила є відомою функцією шляху S (при цьому передбачається, що напрямок сили не змінюється) то робота А, що здійснюється цією силою на шляху від визначається формулою:

Приклади:

1. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:

y =; y = (x-2) 2; 0x.

Рішення:

а) Побудуємо графіки функцій: y =; y = (x-2) 2

б) Визначимо фігуру, площу якої слід обчислити.

в) Визначимо межі інтегрування, розв'язуючи рівняння: = (x-2) 2; x = 1;

г) Обчислюємо площу заданої фігури:

S = dx + 2 dx = 1 од 2

2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:

Y = x 2; x = y2.

Рішення:

x 2 =; x 4 = x;

x (x 3 - 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = од 2

3. Обчислити обсяг тіла, одержаного обертанням навколо осі 0x фігури, обмеженою лініями: y = ; x = 1.

Рішення:

V = π dx = π) 2 dx = π = π │ = π/2 од. 3

Домашня контрольна робота з математики
Варіанти завдань.

Варіант №1

y = (x + 1) 2; y = 1 - x; 0x

Варіант №2

1. Розв'язати систему рівнянь трьома способами: