Ми з'ясували, що поведінка тригонометричних функцій і функції у = sin х зокрема, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 < х < π / 2 .

Тому перш за все ми побудуємо графік функції у = sin х саме у цьому інтервалі.

Складемо таку таблицю значень нашої функції;

Позначаючи відповідні точки на площині координат та з'єднуючи їх плавною лінією, ми отримуємо криву, представлену на малюнку

Отриману криву можна було б побудувати і геометрично, не становлячи таблиці значень функції у = sin х .

1. Першу чверть кола радіуса 1 розділимо на 8 рівних частин. Ординати точок поділу кола є синуси відповідних кутів.

2.Перша чверть кола відповідає кутам від 0 до π / 2 . Тому на осі хВізьмемо відрізок і розділимо його на 8 рівних частин.

3. Проведемо прямі, паралельні осі х, та якщо з точок поділу відновимо перпендикуляри до перетину з горизонтальними прямими.

4.Точки перетину з'єднаємо плавною лінією.

Тепер звернемося до інтервалу π / 2 < х < π .
Кожне значення аргументу хз цього інтервалу можна подати у вигляді

x = π / 2 + φ

де 0 < φ < π / 2 . За формулами наведення

sin ( π / 2 + φ ) = соs φ = sin ( π / 2 - φ ).

Точки осі хз абцисами π / 2 + φ і π / 2 - φ симетричні один одному щодо точки осі хз абсцисою π / 2 , і синуси у цих точках однакові. Це дозволяє отримати графік функції у = sin х в інтервалі [ π / 2 , π ] шляхом простого симетричного відображення графіка цієї функції в інтервалі щодо прямої х = π / 2 .

Тепер, використовуючи властивість непарності функції у = sin х,

sin (- х) = - sin х,

легко побудувати графік цієї функції в інтервалі [- π , 0].

Функція у = sin x періодична з періодом 2π ;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво та вправо періодично з періодом 2π .

Отримана внаслідок цього крива називається синусоїдою . Вона і є графіком функції у = sin х.

Малюнок добре ілюструє всі властивості функції у = sin х , які раніше було доведено нами. Нагадаємо ці властивості.

1) Функція у = sin х визначено для всіх значень х , Отже областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел.

2) Функція у = sin х обмежена. Усі значення, які вона набуває, укладені в інтервалі від -1 до 1, включаючи ці два числа. Отже, сфера зміни цієї функції визначається нерівністю -1 < у < 1. При х = π / 2 + 2k π функція набуває найбільших значень, рівні 1, а при х = - π / 2 + 2k π - Найменші значення, рівні - 1.

3) Функція у = sin х є непарною (синусоїда симетрична щодо початку координат).

4) Функція у = sin х періодична з періодом 2 π .

5) В інтервалах 2n π < x < π + 2n π (n - будь-яке ціле число) вона позитивна, а інтервалах π + 2k π < х < 2π + 2k π (k – будь-яке ціле число) вона негативна. При х = k π функція перетворюється на нуль. Тому ці значення аргументу х (0; ± π ; ±2 π ; ...) називаються нулями функції у = sin x

6) В інтервалах - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функція у = sin x монотонно зростає, а в інтервалах π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π вона монотонно зменшується.

Варто особливо звернути увагу на поведінку функції у = sin x поблизу точки х = 0 .

Наприклад, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Водночас слід зазначити, що за будь-яких значень х

| sin x| < | x | . (1)

Дійсно, нехай радіус кола, представленого на малюнку, дорівнює 1,
a / AОВ = х.

Тоді sin x= АС. Але АС< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Довжина цієї дуги дорівнює, очевидно, х, Так як радіус кола дорівнює 1. Отже, при 0< х < π / 2

sin х< х.

Звідси через непарність функції у = sin x легко показати, що при - π / 2 < х < 0

| sin x| < | x | .

Нарешті, при x = 0

| sin x | = | х |.

Отже, для | х | < π / 2 нерівність (1) доведено. Насправді це нерівність вірно і за | x | > π / 2 через те, що | sin х | < 1, а π / 2 > 1

Вправи

1.По графіку функції у = sin x визначити: a) sin 2; б) sin 4; в) sin(-3).

2.По графіку функції у = sin x визначити, яке число з інтервалу
[ - π / 2 , π / 2 ] має синус, рівний: а) 0,6; б) -0,8.

3. За графіком функції у = sin x визначити, які числа мають синус,
рівний 1/2.

4. Знайти приблизно (без використання таблиць): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2 ° 30 ").

Х y O Одиничне тригонометричне коло

3 =180 3,14 рад R R О Р М R Розглянемо коло радіуса R. Побудуємо MOP: МР = R 1 радіан Величина МОР дорівнює 1 радіан МР =1рад МОР 57 17= 1рад Радіанна міра кута

4 Довжина кола виражається формулою C=2 R, де R – радіус кола. 3, Кількість, радіус якої дорівнює 1, називається … Точки М, Р, К, N – назвемо вузловими. Зазначимо точки А,В,С. Довжину одиничного кола зручно вимірювати в радіанах. Якщо R=1, то С=2 радий! Найменування радіан зазвичай опускають. y х К Р С В А Довжина дуги половини кола дорівнює рад. М N рад – чверть довжини кола рад – три чверті довжини кола О 1 одиничної Радіанна міра кута uk-badge uk-margin-small-right"> 5 Градусна міра Радіанна міра0 Отже, величину кута повороту точки, а також величину дуги одиничного кола, можна задавати: I чверть II чверть III чверть IV чверть Про градусною мірою в радіанній мірі Радіанна міра кута 0 2 I чверть II чверть III чверть IV чверть Про 2

6 «Розмотаємо» коло як нитку на координатний промінь з початком у точці 0 Встановимо відповідність між безліччю дійсних чисел на числовій прямій і точками одиничного кола. Таке "розмотування" можна продовжувати нескінченно. 3,14 0 Побудова графіка х y=sin x

13 Перетворення графіків Функція Перетворення 1 y= f (x) + mПаралельний перенесення вздовж осі OY на m одиниць 2 y= f (x – n)Паралельний перенесення вздовж осі OX на n одиниць 3 y=А f (x) Розтягнення вздовж осі OY щодо осі OX в А разів 4 y= f (k x)Стиск уздовж осі OX щодо осі OY у k разів 5 y= – f (x) Симетричне відображення щодо осі OX 6 y= f (– x) Симетричне відображення щодо осі OY y = f(x)

20 Побудуємо графік функції y= 3 sin(2x+ /3)–2 Етапи побудови: 1. y= sin x – синусоїда 3. y= sin(2x+ /3) – перенесення на /3 одиниць вліво 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – розтяг у 3 рази вздовж осі Oy 2. y= sin 2x – стиск у 2 рази вздовж осі Ох 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – перенесення на 2 одиниці вниз

26 Перетворення графіків Функція Перетворення 1 y=sin(kx)Стиск уздовж осі OX щодо осі OY у k разів 2 y=sin(x–m)Паралельний перенесення вздовж осі OX на m одиниць 3 y=А sin x Розтягування вздовж осі OY відносно осі OX в А разів 4 y=sin x+nПаралельний перенесення вздовж осі OY на n одиниць 5 y= – sin x Симетричне відображення щодо осі OX 6 y= sin (–x) Симетричне відображення щодо осі OY y = Asin(kx–n )+m
28 1.Функція y=sin x існує за всіх дійсних значеннях x, причому, графік її є суцільною лінією (без розривів), тобто. функція безперервна. 2.Функція y=sin x непарна, її графік симетричний щодо початку координат 3.Найбільші та найменші значення. Усі можливі значення функції sinx обмежені нерівністю -1 sinx 1, причому 4. Нулі функції (точки перетину графіка функції з віссю абсцис): sinx=0 якщо x= n. (n Z) Деякі властивості функції y=sinx sin x= – 1, якщо sin x=1, якщо

|BD|- Довжина дуги кола з центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Сінус ( sin α) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини гіпотенузи | AC |
Косинус ( cos α) - це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

	y = sin x	y = cos x
Область визначення та безперервність	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Зростання
Зменшення
Максимуми, y = 1
Мінімуми, y = - 1
Нулі, y = 0
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косинусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціями до синуса і косинус є арксинус і арккосинус, відповідно.

Арксінус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Див. також:

На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.

Тема: Тригонометричні функції

Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік

При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.

Визначимо закон відповідності для .

Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).

Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.

З визначення синуса випливають очевидні властивості.

На малюнку видно, що т.к. це ордината точки одиничного кола.

Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.

Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)

Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).

Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.

Розглянемо властивості функції:

1) Область визначення:

2) Область значень:

3) Функція непарна:

4) Найменший позитивний період:

5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис:

6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:

7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:

8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:

9) Проміжки зростання:

10) Проміжки зменшення:

11) Точки мінімуму:

12) Мінімум функції:

13) Точки максимуму:

14) Максимум функції:

Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.

Список літератури

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

Домашнє завдання

Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.

А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Додаткові веб-ресурси

3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().

"Йошкар-Олінський технікум сервісних технологій"

Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y=sinx у табличному процесоріMS Excel

/методична розробка/

Йошкар – Ола

Тема. Побудова та дослідження графіка тригонометричної функціїy = sinx у табличному процесорі MS Excel

Тип уроку- Інтегрований (отримання нових знань)

Цілі:

Дидактична мета - дослідити поведінку графіків тригонометричної функціїy= sinxзалежно від коефіцієнтів за допомогою комп'ютера

Навчальні:

1. З'ясувати зміну графіка тригонометричної функції y= sin xзалежно від коефіцієнтів

2. Показати впровадження комп'ютерних технологій у навчання математики, інтеграцію двох предметів: алгебри та інформатики.

3. Формувати навички використання комп'ютерних технологій під час уроків математики

4. Закріпити навички дослідження функцій та побудови їх графіків

Розвиваючі:

1. Розвивати пізнавальний інтерес учнів до навчальних дисциплін та вміння застосовувати свої знання у практичних ситуаціях

2. Розвивати вміння аналізувати, порівнювати, виокремлювати головне

3. Сприяти підвищенню загального рівня розвитку студентів

Виховують :

1. Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість

2. Виховувати культуру діалогу

Форми роботи на уроці –комбінована

Дидактичне обладнання та обладнання:

1. Комп'ютери

2. Мультимедійний проектор

4. Роздатковий матеріал

5. Слайди презентації

Хід уроку

I. Організація початку уроку

· Привітання студентів та гостей

· Настрій на урок

II. Цілепокладання та актуалізація теми

Для дослідження функції та побудови її графіка потрібно багато часу, доводиться виконувати багато громіздких обчислень, це не зручно, на допомогу приходять комп'ютерні технології.

Сьогодні ми навчимося будувати графіки тригонометричних функцій серед табличного процесора MS Excel 2007.

Тема нашого заняття «Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y= sinxу табличному процесорі»

З курсу алгебри нам відома схема дослідження функції та побудови її графіка. Давайте згадаємо як це зробити.

Слайд 2

Схема дослідження функції

1. Область визначення функції (D(f))

2. Область значення функції Е(f)

3. Визначення парності

4. Періодичність

5. Нулі функції (y = 0)

6. Проміжки знакостійності (у>0, y<0)

7. Проміжки монотонності

8. Екстремуми функції

III. Первинне засвоєння нового навчального матеріалу

Відкрийте програму MS Excel 2007.

Побудуємо графік функції y=sin x

Побудова графіків у табличному процесоріMS Excel 2007

Графік цієї функції будуватимемо на відрізку xЄ [-2π; 2π]

Значення аргументу братимемо з кроком , щоб графік вийшов точнішим.

Т.к. редактор працює з числами, переведемо радіани до числа, знаючи що П ≈ 3,14 . (Таблиця перекладу в роздатковому матеріалі).

1. Знаходимо значення функції у точці х = -2П. Для решти значення аргументу відповідні значення функції редактор обчислює автоматично.

2. Тепер у нас є таблиця зі значеннями аргументу та функції. За допомогою цих даних ми маємо побудувати графік цієї функції за допомогою майстра діаграм.

3. Для побудови графіка треба виділити потрібний діапазон даних, рядки зі значеннями аргументу та функції

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 5)

Висновок. Графік функції виду у = sinx + k виходить із графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОУ на k одиниць

Якщо k >0, то графік зміщується вгору на k одиниць

Якщо k<0, то график смещается вниз на k единиц

Побудова та дослідження функції видуу=k*sinx,k- const

Завдання 2.На робочому Листе2в одній системі координат побудуйте графіки функцій y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

(Щоб заново не задавати значення аргументу, давайте скопіюємо наявні значення. Тепер вам треба задати формулу, і по отриманій таблиці побудувати графік.)

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 11)

Висновок. Графік функції виду у = sin (x + k) виходить з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОХ на одиниць

Якщо k >1, графік зміщується вправо вздовж осі ОХ

Якщо 0

IV. Первинне закріплення здобутих знань

Диференційовані картки із завданням на побудову та дослідження функції за допомогою графіка

	Y=6* sin (x)	Y=1-2 sinх	Y=- sin(3х+)
1. Область визначення
2. Область значення
3. Парність
4. Періодичність
5. Проміжки знакостійності
6. Проміжкимонотонності
Функція зростає
Функція зменшується
7. Екстремуми функції
Мінімум
Максимум

V. Організація домашнього завдання

Побудувати графік функції y=-2*sinх+1 , дослідити і перевірити правильність побудови серед електронної таблиці Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI. Рефлексія

Встановлення пристроїв