Значення аргументу z при яких f(z) звертається в нуль зв. нульовою точкою, тобто. якщо f(a) = 0 , то а - нульова точка.

Опр.Точка, крапка азв. нулем порядкуn , якщо ФКП можна подати у вигляді f(z) = , де
аналітична функція та
0.

У цьому випадку розкладання функції в ряд Тейлора (43) перші n коефіцієнтів дорівнюють нулю

= =

Пр. Визначити порядок нуля для
і (1-cos z) при z = 0

=
=

нуль 1 порядку

1 – cos z =
=

нуль 2 порядку

Опр.Точка, крапка z =
зв. нескінченно віддаленою точкоюі нулемфункції f(z), якщо f(
) = 0. Така функція розкладається в ряд за негативними ступенями z : f(z) =
. Якщо перші n коефіцієнтів дорівнюють нулю, то приходимо до нулю порядку n у нескінченно віддаленій точці: f(z) = z - n
.

Ізольовані спеціальні точки поділяються на: а) усунуті особливі точки; б) полюси порядкуn; в) істотно особливі точки.

Точка, крапка азв. усувається особливою точкоюфункції f(z) , якщо при z
a lim f(z) = з -кінцеве число .

Точка, крапка азв. полюсом порядкуn (n 1) функції f(z), якщо зворотна функція
= 1/ f(z) має нуль порядку nу точці а.Таку функцію завжди можна подати у вигляді f(z) =
, де
- аналітична функція та
.

Точка, крапка азв. істотно особливою точкоюфункції f(z), якщо при z
a lim f(z) не існує.

Ряд Лорану

Розглянемо випадок кільцевої області збіжності r < | z 0 – a| < Rз центром у точці адля функції f(z). Введемо два нові кола L 1 (r) та L 2 (R) поблизу меж кільця з крапкою z 0 між ними. Зробимо розріз кільця, по краях розрізу з'єднаємо кола, перейдемо до однозв'язкової області і в

інтегральної формули Коші (39) отримаємо два інтеграли по змінній z

f(z 0) =
+
, (42)

де інтегрування йде у протилежних напрямках.

Для інтеграла по L 1 виконується умова | z 0 – a | > | z – a |, а інтеграла по L 2 зворотна умова | z 0 – a | < | z – a |. Тому множник 1/( z – z 0) розкладемо в ряд (а) в інтегралі за L 2 і в ряд (b) в інтегралі L 1 . В результаті отримуємо розкладання f(z) у кільцевій області ряд Лораназа позитивними та негативними ступенями ( z 0 – a)

f(z 0) =
A n (z 0 - a) n (43)

де A n =
=
;A -n =

Розкладання за позитивними ступенями (z 0 – а) зв. правильною частиноюряду Лорана (ряд Тейлора), а розкладання за негативними ступенями зв. головною частиноюряду Лорана.

Якщо всередині кола L 1 немає особливих точок і функція аналітична, то (44) перший інтеграл дорівнює нулю по теоремі Коші і в розкладі функції залишиться тільки правильна частина. Негативні ступені у розкладанні (45) виникають лише за порушення аналітичності не більше внутрішнього кола і служать описи функції поблизу ізольованих спеціальних точок.

Для побудови ряду Лорана (45) f(z) можна обчислювати коефіцієнти розкладання загальною формулоюабо використовувати розкладання елементарних функцій, що входять до f(z).

Число доданків ( n) головної частини ряду Лорана залежить від типу особливої ​​точки: усувна особлива точка (n = 0) ; істотно особлива точка (n
); полюсn- ого порядку(n - кінцеве число).

а для f(z) = точка, крапка z = 0 усувна особлива точка,т.к. головної частини немає. f(z) = (z -
) = 1 -

б) Для f(z) = точка, крапка z = 0 - полюс 1 – ого порядку

f(z) = (z -
) = -

с) Для f(z) = e 1 / zточка, крапка z = 0 - істотно особлива точка

f(z) = e 1 / z =

Якщо f(z) аналітична в області Dза винятком mізольованих особливих точок та | z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m| , то при розкладанні функції за ступенями zвся площина розбивається на m+ 1 кільце | z i | < | z | < | z i+ 1 | і ряд Лорана має різний вигляддля кожного кільця. При розкладанні за ступенями ( z – z i ) областю збіжності низки Лорану є коло | z – z i | < r, де r - Відстань до найближчої особливої ​​точки.

Пр. Розкладемо функцію f(z) =у ряд Лорана за ступенями zі ( z - 1).

Рішення. Уявімо функцію у вигляді f(z) = - z 2 . Використовуємо формулу для суми геометричної прогресії
. У колі | z |< 1 ряд сходится и f(z) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , тобто. розкладання містить тільки правильнучастина. Перейдемо до зовнішньої області кола |z| >1. Функцію представимо у вигляді
, де 1/| z| < 1, и получим разложение f(z) = z
=z + 1 +

Т.к. , розкладання функції за ступенями ( z - 1) має вигляд f(z) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) для всіх
1.

Пр. Розкласти в ряд Лорана функцію f(z) =
: а) за ступенями zу колі | z| < 1; b) по степеням z кільце 1< |z| < 3 ; c) по степеням (z – 2). Рішення. Розкладемо функцію на найпростіші дроби
= =+=
. З умов z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

а) f(z) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], за | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), при 1< |z| < 3.

с) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, При | 2 - z| < 1

Це коло радіусу 1 з центром у точці z = 2 .

У ряді випадків статечні ряди можна звести до набору геометричних прогресій і після цього легко визначити область їх збіжності.

Пр. Дослідити збіжність ряду

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Рішення. Це сума двох геометричних прогресій з q 1 = , q 2 = (). З умов їх збіжності випливає < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

2. Знайдемо нулі функції.

f(x) при х .

Відповідь f(x) при х .

2) х 2 >-4x-5;

x 2+4x+5>0;

Нехай f(x)=х 2 +4х +5 тоді Знайдемо такі х, при яких f(x)>0,

D=-4 Немає нулів.

4. Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними

1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї.

2) Безліч розв'язків нерівності f(х;у)>0 можна графічно зобразити на координатній площині. Зазвичай лінія, задана рівнянням f(х; у) = 0, розбиває площину на 2 частини, одна з яких є розв'язком нерівності. Щоб визначити, яка частина, треба підставити координати довільної точки М(х0;у0) , не що лежить лінії f(х;у)=0, в нерівність. Якщо f(х0; у0) > 0 то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f(х0; у0)<0, то другая часть плоскости.

3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї. Нехай, наприклад, задана система нерівностей:

.

Для першої нерівності безліч рішень є коло радіусом 2 і з центром на початку координат, а для другого-полуплощина, розташована над прямою 2х+3у=0. Безліч рішень цієї системи служить перетин зазначених множин, тобто. півколо.

4) Приклад. Вирішити систему нерівностей:

Рішенням 1-ї нерівності служить безліч, 2-го безліч (2; 7) і третьої - безліч.

Перетином зазначених множин є проміжок (2; 3], який і є безліч розв'язків системи нерівностей.

5. Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів

В основі методу інтервалів лежить наступна властивість двочлена (х-а): точка х = α ділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α двочлен (х-α)> 0, а ліворуч від точки α (х-α)<0.

Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, де α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом інтервалів надходять таким чином: на числову вісь наносять числа α 1 , α 2 ... n-1 , n ; у проміжку праворуч від найбільшого їх, тобто. числа ? Тоді безліч усіх розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «плюс», а безліч розв'язків нерівності (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Вирішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду P(x) Q(x) де - багаточлени) засновано на наступній властивості безперервної функції: якщо безперервна функція звертається в нуль у точках х1 і х2 (х1; х2) і між цими точками немає інших коренів, то в проміжках (х1; х2) функція зберігає свій знак.

Тому для знаходження проміжків знаковості функції y=f(x) на числовій прямій відзначають усі точки, в яких функція f(x) звертається в нуль або зазнає розриву. Ці точки розбивають числову пряму кілька проміжків, всередині кожного у тому числі функція f(x) безперервна і звертається на нуль, тобто. зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якій точці проміжку числової прямої.

2) Для визначення інтервалів знаковості раціональної функції, тобто. Для вирішення раціональної нерівності, відзначаємо на числовому прямому корені чисельника і корені знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції.

Вирішення нерівностей методом інтервалів

3. < 20.

Рішення. Область допустимих значень визначається системою нерівностей:

Для функції f(x) = – 20. Знаходимо f(x):

звідки x = 29 та x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3> 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10< 0.

Відповідь: . Основні методи розв'язання раціональних рівнянь. 1) Найпростіші: вирішуються шляхом простих спрощень - приведення до спільного знаменника, приведення подібних членів тощо. Квадратні рівняння ax2 + bx + c = 0 вирішуються за допомогою...

X змінюється на проміжку (0,1] і убуває на проміжку )